小学解工程问题的方法归纳总结

解工程问题的方法解工程问题的方法 工程问题是研究工作量 工作效率和工作时间三者之间关系的问题 这三者之 间的关系是 工作效率 工作时间 工作量 工作量 工作时间 工作效率 工作量 工作效率 工作时间 根据上面的数量关系 只要知道三者中的任意两种量 就可求出第三种量 由于工作量的已知情况不同 工程问题可分为整数工程问题和分数工程问 题两类 在整数工程问题中 工作量是已知的具体数量 解答这类问题时 只 要按照上面介绍的数量关系计算就可解题 计算过程中一般不涉及分率 在分 数工程问题中 工作量是未知数量 解这类题时 也要根据上面介绍的数量关 系计算 但在计算过程中要涉及到分率 一 工作总量是具体数量的工程问题一 工作总量是具体数量的工程问题 例例 1 建筑工地需要 1200 吨水泥 用甲车队运需要 15 天 用乙车队运需 要 10 天 两队合运需要多少天 适于四年级程度 解 这是一道整数工程问题 题中给出了总工作量是具体的数量 1200 吨 还给出了甲 乙两队完成总工作量的具体时间 先根据 工作量 工作时间 工 作效率 分别求出甲 乙两队的工作效率 再根据两队工作效率的和及总工作 量 利用公式 工作量 工作效率 工作时间 求出两队合运需用多少天 甲车队每天运的吨数 甲车队工作效率 1200 15 80 吨 乙车队每天运的吨数 乙车队工作效率 1200 10 120 吨 两个车队一天共运的吨数 80 120 200 吨 两个车队合运需用的天数 1200 200 6 天 综合算式 1200 1200 15 1200 10 1200 80 120 1200 200 6 天 答略 例例 2 生产 350 个零件 李师傅 14 小时可以完成 如果李师傅和他的徒弟 小王合作 则 10 小时可以完成 如果小王单独做这批零件 需多少小时 适 于四年级程度 解 题中工作总量是具体的数量 李师傅完成工作总量的时间也是具体的 李师傅 1 小时可完成 350 14 25 个 由 如果李师傅和他的徒弟小王合作 则 10 小时可以完成 可知 李师傅和 徒弟小王每小时完成 350 10 35 个 小王单独工作一小时可完成 35 25 10 个 小王单独做这批零件需要 350 10 35 小时 综合算式 350 350 10 350 14 350 35 25 350 10 35 小时 答略 例例 3 把生产 2191 打毛巾的任务 分配给甲 乙两组 甲组每小时生产毛 巾 128 打 乙组每小时生产毛巾 160 打 乙组生产 2 小时后 甲组也开始生产 两组同时完工时超产 1 打 乙组生产了多长时间 适于四年级程度 解 两组共同生产的总任务是 2191 160 2 1 1872 打 两组共同生产的时间是 1872 160 128 6 5 小时 乙组生产的时间是 6 5 2 8 5 小时 综合算式 2191 160 2 1 160 128 2 1872 288 2 6 5 2 8 5 小时 答略 1 筑路队疾患修筑一条长 2400 米的公路 甲队单独做需要 20 天完成 乙 队单独需要 30 天完成 如果两队同时开工共同修筑 只需几天就可以完成 2 甲 乙两个工程队合修一条长 42 千米的水泥路 甲队每天修 0 5 千米 比乙队的 2 倍多 0 1 千米 1 乙队每天修多少千米 2 两队合修多少天可以修完 3 红星服装厂计划生产 2800 套夏季学生服 已经生产了 5 天 每天生产 80 套 剩下的 20 天完成 平均每天要生产多少套 4 王师傅加工一种零件 由原来的每个用 12 分钟降低到每个 8 分钟 原 来每天加工 300 个 现在每天加工多少个 5 用两台机器生产 108 个齿轮 第一台 4 5 小时能生产 18 个 第二台 1 6 小时能生产 8 个 两台机器一同生产一段时间以后 还剩 45 个 两台机器一 同生产了多少小时 综合算式 答略 二 工作总量不是具体数量的工程问题二 工作总量不是具体数量的工程问题 工程问题方法总结 一 基本数量关系 工效 时间 工作总量 二 基本特点 设工作总量为 1 工效 1 时间 三 基本方法 算术方法 比例方法 方程方法 四 基本思想 分做合想 合做分想 五 类型与方法 一 分做合想 1 合想 2 假设法 3 巧抓变化 比例 4 假设法 二 等量代换 方程组的解法 代入法 加减法 三 按劳分配思路 每人每天工效 每人工作量 按比例分配 四 休息请假 方法 1 分想 划分工作量 2 假设法 假设不休息 五 休息与周期 1 已知条件的顺序 先工效 再周期 先周期 再天数 2 天数 近似天数 准确天数 3 列表确定工作天数 六 交替与周期 估算周期 注意顺序 七 注水与周期 1 顺序 2 池中原来是否有水 3 注满或溢出 八 工效变化 九 比例 1 分比与连比 2 归一思想 3 正反比例的运用 4 假设法思 想 周期 十 牛吃草问题 1 新生草量 2 原有草量 3 解决问题 工程问题 当知道了两者工作效率之比 从比例角度考虑问题 也 需时间是 因此 在下面例题的讲述中 不完全采用通常教科书中 把工作量设为整体 1 的做法 而偏重于 整数化 或 从比例角度出发 也许会使我们的解题思路 更灵活一些 两个人的问题 标题上说的 两个人 也可以是两个组 两个队等等的两个集体 一 两个人的问题 一 两个人的问题 例例 1 1 1 1 一件工作 由 A 做 20 天完成 B 做 15 天完成 1 两队合做 5 天可以完成工程的几分之几 2 两队合做 6 天 还剩下工程的几分之几 3 两队合做几天完成 解 1 12 7 5 15 1 20 1 2 10 3 6 15 1 20 1 1 3 7 4 8 7 60 15 1 20 1 1天 答 1 两队合做 5 天可以完成工程的 2 两队合做 6 天 还剩 12 7 下工程的 3 两队合做 8天完成 10 3 7 4 解析解析 此题是工作效率问题 A 用 20 天完成 总工程是 1 所以甲队的工作 效率是 乙对的工作效率是 20 1 201 15 1 151 问题 1 要求完成的工程量 用工作效率 工作时间 问题 2 要求剩余工程量 可先求出已做的工程量 用总工程量 1 减 去已做工程量 问题 3 要求完成时间 用总工程量 1 总工效 例例 1 2 一工作 甲做 9 天可以完成 乙做 6 天可以完成 现在甲 乙做了 3 天 余下的工作由乙继续完成 乙需要做几天可以完成全部工作 解 1 6 1 3 6 1 9 1 1 2 1 6 1 6 1 天 答 乙需要做 1 天可以完成全部工作 解析解析 要解决此题 就要清楚此工程的过程 此工程是甲和乙完成一件工作 先 是甲和乙一起做 之后转由乙单独完成 求的是乙单独完成剩下的工作时间 总工程是 1 就可以知道 甲的工作效率是 乙对的工作效 9 1 91 率是 6 1 61 求乙单独完成剩下的工作时间 还需要知道乙的工作总量 乙的工作总量 1 甲乙一起 3 天做的工作量 甲和乙 3 天的工作总量 工作效率 工作时间 工作总量 3 6 1 9 1 剩下 6 1 3 6 1 9 1 1 乙完成剩下的工作时间 利用工作总量 工作效率 工作时间 1 6 1 6 1 天 练习一练习一 1 一项工程 甲队单独做 24 天完成 乙队单独做 16 天完成 甲 乙两 队合做 多少天可以完成 适于六年级程度 解 把这项工程的工作总量看作 1 甲队单独做 24 天完成 做 1 天完成 答略 2 一项工程 由甲工程队修建需要 20 天 由乙工程队修建需要 30 解 把这项工程的工作总量看作 1 由甲工程队修建需要 20 天 知甲工 3 一项工程 甲 乙合做 5 天可以完成 甲单独做 15 天可以完成 乙单 独做多少天可以完成 适于六年级程度 解 把这项工程的工作量看作 1 甲 乙合做 5 天可以完成 甲 乙合 需要多长的时间 7 5 天 答 乙单独做 7 5 天可以完成 例例2 1 一件工作 甲做9天可以完成 乙做6天可以完成 现在甲先做了3 天 余下的工作由乙继续完成 乙需要做几天可以完成全部工作 解一 把这件工作看作1 甲每天可完成这件工作的九分之一 做3天完成 的1 3 乙每天可完成这件工作的六分之一 1 1 3 1 6 4 天 答 乙需要做4天可完成全部工作 解二 9与6的最小公倍数是18 设全部工作量是18份 甲每天完成2份 乙每 天完成3份 乙完成余下工作所需时间是 18 2 3 3 4 天 解三 甲与乙的工作效率之比是 6 9 2 3 甲做了3天 相当于乙做了2天 乙完成余下工作所需时间是6 2 4 天 练习练习 二二 1 一项工程 甲独做需 15 天 乙独做需 12 天 现在甲乙合作若干天后 乙再 接着做 3 天 就完成了全部工程 问甲乙合作了多少天 2 一项工程 甲队单独做需 20 天完成 如果甲乙合作 12 天可以完成 如果乙 队单独做 多少天可以完成 例例3 1 一件工作 甲 乙两人合作30天可以完成 共同做了6天后 甲离开 了 由乙继续做了40天才完成 如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天 解 共做了6天后 原来 甲做 24天 乙做 24天 现在 甲做0天 乙做40 24 16 天 这说明原来甲24天做的工作 可由乙做16天来代替 因此甲的工作效率 如果乙独做 所需时间是 50天 如果甲独做 所需时间是 75天 答 甲或乙独做所需时间分别是75天和50天 练习三练习三 1 甲乙两人合作生产一批零件 6 天可以完成任务 甲先做 5 天 因有事外出 这时只完成任务的 如果接下来由乙完成 还需要多少天 1 4 2 一批零件 先由 20 人生产了 10 天完成任务的 余下的工程要提前 10 天完 1 4 成 还要增加多少人 3 甲乙二人合作一批零件需 20 天 甲比乙多做了这批零件的 1 9 甲单独做 需多少天完成 4 一项工程 甲乙两队需 10 天完成 甲乙两队合作了几天 因乙队有事调离 由甲队又干了 8 天 又知甲队独做需 20 天完成 问甲 乙两队合干了多少天 例例4 1 一件工程 甲队单独做10天完成 乙队单独做30天完成 现在两队 合作 其间甲队休息了2天 乙队休息了8天 不存在两队同一天休息 问开始 到完工共用了多少天时间 解一 甲队单独做8天 乙队单独做2天 共完 成工作量 余下的工作量是两队共同合作的 需要的天数是 2 8 1 11 天 答 从开始到完工共用了11天 解二 设全部工作量为30份 甲每天完成3份 乙每天完成1份 在甲队单独做 8天 乙队单独做2天之后 还需两队合作 30 3 8 1 2 3 1 1 天 解三 甲队做1天相当于乙队做3天 在甲队单独做 8天后 还余下 甲队 10 8 2 天 工作量 相当于乙队 要做2 3 6 天 乙队单独做2天后 还余下 乙队 6 2 4 天 工作量 4 3 1 其中3天可由甲队1天完成 因此两队只需再合作1天 解四 方法 分休合想 题中说甲乙两队没有在一起休息 我们就假设他们在 一起休息 甲队每天工作量为1 10 乙为1 30 因为甲休息了2天 而乙休 息了8天 因为8 2 所以我们假设甲休息两天时 乙也在休息 那么甲开始工 作时 乙还要休息 8 2 6 天 那么这6天内甲独自完成了这项工程的 1 10 6 6 10 剩下的工作量为1 6 10 4 10 而这剩下的4 10为甲乙两人一起合 作完成的工程量 所以 工程量的4 10 需要甲乙合作 4 10 1 10 1 30 3天 所以从开始到完工共需 8 3 11 天 例例4 2 一项工程 甲队单独做20天完成 乙队单独做30天完成 现在他们 两队一起做 其间甲队休息了3天 乙队休息了若干天 从开始到完成共用了16 天 问乙队休息了多少天 解一 如果16天两队都不休息 可以完成的工 作量是 1 20 16 1 30 16 4 3 由于两队休息期间未做的工作量是4 3 1 1 3 乙队休息期间未做的工作量是 1 3 1 20 3 11 60 乙队休息的天数是 11 60 1 30 11 2 答 乙队休息了5天半 解二 设全部工作量为60份 甲每天完成3份 乙每天完成2份 两队休息期间未做的工作量是 3 2 16 60 20 份 因此乙休息天数是 20 3 3 2 5 5 天 解三 甲队做2天 相当于乙队做3天 甲队休息3天 相当于乙队休息4 5天 如果甲队16天都不休息 只余下甲队4天工作量 相当于乙队6天工作量 乙休息天数是 16 6 4 5 5 5 天 练习四练习四 1 一件工程 甲队单独做 10 天完成 乙队单独做 30 天完成 现在两队合 作 其间甲队休息了 2 天 乙队休息了 8 天 不存在两队同一天休息 问开始 到完工共用了多少天时间 2 加工一批零件 甲单独做 20 天完成 乙单独做 30 天完成 现在两人合作完 成 中间甲休息了 2 5 天 乙休息了若干天 两人没有同事休息一天 这样共 用 14 天完工 问乙休息了多少天 3 一件工作 甲单独做需要 12 天完成 乙单独做需要 10 天完成 现在甲乙合 作 8 天完成任务 已知这段时间甲休息了 2 天看 那么乙休息了多少天 4 一项工程 甲单独做需要 12 天完成 乙单独做需要 8 天完成 现在两人合 作 中途休息了 2 天 乙没有休息 完成这件工程共用了多少天 例题例题 5 一项工程 甲 乙两队合作 15 天完成 若甲队做 5 天 乙队做 3 天 只能完成工程的 乙队单独完成全部工程需要几天 7 30 思路导航思路导航 此题已知甲 乙两队的工作效率和是 只要求出甲队货乙队的 1 15 工作效率 则问题可解 然而这正是本题的难点 用 组合法 将甲队独做 5 天 乙队独做 3 天 组合成甲 乙两队合作了 3 天 后 甲队独做 2 天来考虑 就可以求出甲队 2 天的工作量 3 从而求出甲队的工作效率 所以 7 30 1 15 1 30 1 3 5 3 20 天 1 15 7 30 1 15 答 乙队单独完成全部工程需要 20 天 练习五练习五 1 师 徒二人合做一批零件 12 天可以完成 师傅先做了 3 天 因事外出 由徒弟接着做 1 天 共完成任务的 如果这批零件由师傅单独做 多少 3 20 天可以完成 2 某项工程 甲 乙合做 1 天完成全部工程的 如果这项工程由甲队独做 5 24 2 天 再由乙队独做 3 天 能完成全部工程的 甲 乙两队单独完成这 13 24 项工程各需多少天 3 甲 乙两队合做 20 天可完成一项工程 先由甲队独做 8 天 再由乙队独 做 12 天 还剩这项工程的 甲 乙两队独做各需几天完成 8 15 例题例题 6 一项工程 甲队独做 12 天可以完成 甲队先做了 3 天 再由乙队做 2 天 则能完成这项工程的 现在甲 乙两队合做若干天后 再由乙队单独做 做完 1 2 后发现两段所用时间相等 求两段一共用了几天 思路导航思路导航 此题很容易先求乙队的工作效率是 3 2 再由 1 2 1 12 1 8 条件 做完后发现两段所用时间相等 的题意 可组合成由两个 乙队和一个甲队合做需若干天完成 即可求出相等的时间 1 乙队每天完成这项工程的 3 2 1 2 1 12 1 8 2 两段时间一共是 1 2 2 6 天 1 8 1 12 答 两段时间一共是 6 天 练习六练习六 1 一项工程 甲队独做 15 天完成 若甲队先做 5 天 乙队再做 4 天能完成这 项工程的 现由甲 乙两队合做若干天后 再由乙队单独做 做完后发现 8 15 两段时间相等 这两段时间一共是几天 2 一项工程 甲 乙合做 8 天完成 如果先让甲独做 6 天 再由乙独做 完成 任务时发现乙比甲多了 3 天 乙独做这项工程要几天完成 3 某工作 甲单独做要 12 天 乙单独做要 18 天 丙单独做要 24 天 这件工 作先由甲做了若干天 再由乙接着做 乙做的天数是甲 3 倍 再由丙接着做 丙做的天数是乙的 2 倍 终于完成了这一工作 问总共用了多少天 二 二 多人的工程问题 多人的工程问题 例例 1 一件工作 甲 乙两人合作 36 天完成 乙 丙两人合作 45 天完成 甲 丙两人合作要 60 天完成 问甲一人独做需要多少天完成 解 30 1 2 60 1 45 1 36 1 天 90 45 1 30 1 1 天 60 60 1 30 1 1 天 180 36 1 30 1 1 答 独做完成 甲需 90 天 乙需 60 天 丙需 180 天 解析解析 此题有别与以上 3 题 是要对工作效率更深刻的理解 寻找数学量之间的 关系 1 有一项工程 甲队独做需 8 天 乙队独做需 10 天 丙队独做需 20 天 现在 由丙队先独做 9 天后 再由甲乙合作 问再需多少天可以完成 2 一项工程 甲乙两人合作 8 天完成 乙丙两人合作 9 天完成 甲丙两人合作 18 天完成 如果丙一人来做 完成这项工程需要多少天 3 一项工程 甲乙两人合作 8 天完成 乙丙两人合作 6 天完成 丙丁两人合作 12 天完成 那么甲丁两人合作多少天可以完成 4 一项工程 甲乙两人合作 6 天完成 乙丙两人合作 9 天完成 甲丙两人 合作 15 天完成 现在甲乙丙三人合作需多少天 5 生产一批零件 甲乙两人合作 12 小时完成 乙丙两人合作 15 小时完成 甲 丙两人合作 20 小时完成 现在甲乙丙三人合作需多少小时 6 某工程如果由甲乙丙合作 18 天完成 有乙丙丁队合作 15 天完成 由甲乙丁 队合作 12 天完成 有甲丙丁队合作 20 天完成 由甲队单独做需要多少天完成 例题例题 2 一项工作 甲 乙 丙 3 人合做 6 小时可以完成 如果甲工作 6 小时后 乙 丙合做 2 小时 可以完成这项工作的 如果甲 乙合做 3 小时后 丙做 6 小时 2 3 也可以完成这项工作的 如果由甲 丙合做 需几小时完成 2 3 思路导航思路导航 将条件 甲工作 6 小时后 乙 丙合做 2 小时 可以完成这项工 作的 组合成 甲工作 4 小时 甲 乙 丙合做 2 小时可以完成 2 3 这项工作的 则求出甲的工作效率 同理 运用 组合法 再 2 3 求出丙的工作效率 甲每小时完成这项工程的几分之几 2 6 2 2 3 1 6 1 12 丙每小时完成这项工程的几分之几 3 6 3 2 3 1 6 1 18 甲 丙合做需完成的时间为 1 7 小时 1 12 1 18 1 5 答 甲 丙合做完成需要 7 小时 1 5 练习二练习二 1 一项工作 甲 乙 丙三人合做 4 小时可以完成 如果甲做 4 小时后 乙 丙合做 2 小时 可以完成这项工作的 如果甲 乙合做 2 小时后 13 18 丙再做 4 小时 可以完成这项工作的 这项工作如果由甲 丙合做需几 11 18 小时完成 2 一项工程 甲 乙合做 6 天可以完成 乙 丙合做 10 天可以完成 现在 先由甲 乙 丙合做 3 天后 余下的乙再做 6 天则可以完成 乙独做这项 工程要几天就可以完成 3 一项工程 甲 乙两队合做 10 天完成 乙 丙两队合做 8 天完成 现在 甲 乙 丙三队合做 4 天后 余下的工程由乙队独做 5 天完成 乙队单 1 2 独做这项工程需多少天可以完成 4 一件工作 甲 乙合做 4 小时完成 乙 丙合做 5 小时完成 现在由甲 丙合做 2 小时后 余下的由乙 6 小时完成 乙独做这件工作需几小时才能 完成 例题例题 3 一条公路 甲队独修 24 天可以完成 乙队独修 30 天可以完成 先由甲 乙两队合修 4