2012-2013学年高中数学 第一章 解三角形 单元测试2 新人教A版必修5

第一章第一章 解三角形解三角形 单元测试单元测试 2 2 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符号题目要求的 1 在 ABC中 A 30 a b 2 则此三角形解的情况是 2 A 一解 B 两解 C 无数个解 D 不存在 答案 B 解析 bsinA 1 aAC C 30 C 60 或 120 从而A 90 或 30 S ABC AB ACsinA 1 2 或 3 2 3 4 3 2010 2011 湖南邵阳二中高二期中 若A为 ABC的内角 则下列函数中一定取正 值的是 A sinA B cosA C tanA D sinA cosA 答案 A 解析 在 ABC中 当A为钝角时 cosA 0 tanA 0 当A 0 时 4 sinA cosA 0 无论A取何值 0 A0 故选 A 4 在 ABC中 C 90 A 75 CD AB 垂足D 则 CD AB A B 1 2 1 3 C D 1 4 3 2 答案 C 解析 如图 C 90 A 75 B 15 cot75 cot15 AD CD BD CD cot75 cot15 AD CD BD CD AB CD cot75 cot15 tan15 tan75 tan 45 30 tan 45 30 2 2 4 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 333 CD AB 1 4 点评 因为 ABC是直角三角形 又CD AB 因此应充分利用直角三角形的边角关系 以简化运算 在 Rt ACD中 sin75 CD AC sin75 CD AC 在 Rt ABC中 cos75 AB AC AB AC cos75 sin75 cos75 CD AB AC sin75 AC cos75 sin150 sin30 1 2 1 2 1 4 5 在 ABC中 sinA sinB sinC 2 3 4 则 cosA cosB cosC A 2 3 4 B 14 11 4 C 4 3 2 D 7 11 2 答案 B 解析 由正弦定理a b c 2 3 4 设a 2x 则b 3x c 4x x 0 cosA b2 c2 a2 2bc 7 8 同理 cosB cosC 11 16 1 4 cosA cosB cosC 7 8 11 16 1 4 14 11 4 6 在 ABC中 a 2 c 1 则角C的取值范围是 A 0 B 2 6 3 C D 0 6 2 6 答案 D 解析 a c b a c 1 b 3 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 1 4 b2 4bcosC cosC b b2 3 4b 1 4 3 b b 在 1 上单调递减 在 3 上单调递增 1 4 3 b33 cosC 00 且当CA与 B相切时 角C最大 0 C 6 7 在 ABC中 B 60 最大边与最小边之比为 1 2 则最大角为 3 A 45 B 60 C 75 D 90 答案 C 解析 设最大角为A 最小角为C 由B 60 得 A C 120 A 120 C 根 据正弦定理得 a c sinA sinC sin 120 C sinC 3 1 2 2sin 120 C 1 sinC 3 即 cosC sinC sinC sinC 33 tanC 1 C 45 A 75 8 在 ABC中 若 2 5 5 则S ABC AB AC AB AC A B 5 3 23 C D 5 5 2 答案 A 解析 cosA 10cosA 5 AB AC AB AC cosA sinA 1 2 3 2 S ABC sinA 1 2 AB AC 5 3 2 9 ABC三边长分别是 3 4 6 则它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 A 1 1 B 1 2 C 1 4 D 4 3 答案 B 解析 不妨设a b c长分别为 3 4 6 较大锐角为AC边对的角B 由平几知识知 BD分对边AC的比 CD AD BC AB 3 6 1 2 S BCD S ABD 1 2BC BD sin DBC 1 2AB BD sin ABD BC AB CD AD 1 2 点评 审题时要注意细节 本题改为求 它的较大角的平分线分三角形成两部分的面积比 则答案为 D 10 要使斜边一定的直角三角形周长最大 它的一个锐角应是 A B 4 3 C D 正弦值为 的锐角 6 1 3 答案 A 解析 设C 90 为锐角 则周长l c ccos csin c csin 2 4 时 l最大 4 11 关于x的方程x2 xcosA cosB cos2 0 有一个根为 1 则此三角形为 C 2 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形 答案 A 解析 由题设 1 cosAcosB cos2 0 C 2 sin2 cosAcosB cosAcosB C 2 1 cosC 2 1 cos A B 2cosAcosB cos A B 1 A B是三角形内角 A B 0 即A B 12 ABC中 tan 则 ABC的形状为 A B 2 a b a b A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰或直角三角形 D 等腰直角三角形 答案 C 解析 由正弦定理得 tan A B 2 sinA sinB sinA sinB sinA B 2 cosA B 2 2sinA B 2 cosA B 2 2sinA B 2 cosA B 2 sin 0 或 tan 1 A B 2 A B 2 A B为三角形内角 A B 或A B 2 二 填空题 本大题共 4 个小题 每个小题 4 分 共 16 分 将正确答案填在题中横线上 13 钝角三角形的三边a k b k 2 c k 4 则k的取值范围是 答案 2 k 6 解析 显然最大边为c 由余弦定理及三角形基本性质知Error Error 2 k1 C是钝角 cosC 0 a2 b2 c2 2ab n 4 2 n 1 1 n 4 n N N n 2 或 3 当n 2 时 a 1 b 2 c 3 不能构成三角形 当n 3 时 a 2 b 3 c 4 能构成三角形 把该木杆截下长度分别为 2 3 4 的三段 然后三段首尾顺次连接即可 18 本题满分 12 分 在 ABC中 a b c分别为角A B C的对边 4sin2 cos2A B C 2 7 2 1 求A的度数 2 若a b c 3 求b与c的值 3 解析 1 由条件得 2 1 cos B C 2cos2A 1 7 2 4 1 cosA 4cos2A 5 2cosA 1 2 0 cosA 0 A 180 A 60 1 2 2 由余弦定理得 b2 c2 a2 2bc 1 2 化简并整理得 b c 2 a2 3bc 将a b c 3 代入上式 得bc 2 3 联立b c 3 与bc 2 解得b 1 c 2 或b 2 c 1 19 本题满分 12 分 在 ABC中 角A B C对边分别为a b c且 cosC cosB 3a c b 1 求 sinB 2 若b 4 a c 求 ABC的面积 2 解析 1 在 ABC中 由正弦定理可得 a b sinA sinB c b sinC sinB 又 cosC cosB 3a c b cosC cosB 3sinA sinC sinB 即 sinBcosC 3sinAcosB sinCcosB sin B C 3sinAcosB 又B C A sin B C sinA sinA 3sinAcosB sinA 0 cosB 又 0 B0 sin 0 sin 0 又 BC AC 即 tan tan 0 h asin sin sin sin 22 本题满分 14 分 如图 在海岸A处发现北偏东 45 方向 距A点 1 海里的B 3 处有一艘走私船 在A处北偏西 75 方向 与A距离 2 海里的C处的我方缉私船 奉命以 10海里 时的速度追截走私船 此时走私船正以 10 海里 时的速度 从B处向北偏东 30 3 方向逃窜 问 缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 并求出所需时间 解析 设缉私船应沿CD方向行驶t小时 才能最快截获 在D点 走私船 则CD 10t海里 BD 10t海里 3 BC2 AB2 AC2 2AB AC cosA 1 2 22 2 1 2cos120 6 33 BC 6 BC sinA AC sin ABC sin ABC AC sinA BC 2sin120 6 2 2 ABC