吉林省2012届高三数学仿真模拟卷3 理

用心 爱心 专心1 吉林省吉林省 20122012 届高三数学理科仿真模拟卷届高三数学理科仿真模拟卷 3 3 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的代号填在括号内 1 已知全集U R R 若集合M x log2x 2 集合N x y 则M UN x 3 A x 0 x 3 B x 0 x 3 C x 3 x 4 D x 3 x 4 解析 由 log2x 2 得 0 x 4 M 0 x 4 N x y x x 3 M UN x 0 x 3 x 3 答案 A 2 若 a 2i i b i 其中a b R R i 是虚数单位 则a b A 1 B 1 C 3 D 3 解析 由 a 2i i 2 ai b i Error a b 1 答案 A 3 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积为 A 16 cm3 B 16 3 cm3 C 20 4 cm3 D 18 cm3 解析 由三视图知 该几何体的上部分是正四棱柱 下部分是圆柱 正四棱柱的底面 边长为 4 cm 高为 1 cm 其体积为 16 cm3 圆柱的底面半径为 1 cm 高为 3 cm 其体积 为 3 cm3 所以该几何体的体积为 16 3 cm3 答案 B 4 若函数y f 10 x 与函数y f 10 x 的图象关于直线l对称 则直线l的方程 是 A y 0 B x 0 C y 10 D x 10 用心 爱心 专心2 解析 y f 10 x 可以看作是由y f x 的图象向左平移 10 个单位得到的 y f 10 x f x 10 可以看作是由y f x 的图象向右平移 10 个单位得到 的 而y f x 的图象与y f x 的图象关于y轴 即直线x 0 对称 故函数 y f 10 x 与y f 10 x 的图象的对称轴l的方程是x 0 答案 B 5 若等比数列 an 的前n项和为Sn 32n 1 a 则常数a的值等于 A B 1 C D 3 1 3 1 3 解析 由Sn 32n 1 a知 当n 2 时 an Sn Sn 1 32n 1 32n 3 8 32n 3 当n 1 时 a1 S1 3 a 数列 an 是等比数列 3 a 8 32 1 3 a 8 3 1 3 答案 A 6 已知两条不重合的直线m n 两个互不重合的平面 给出下列命题 若m n 且m n 则 若m n 且m n 则 若m n 则m n 则 若m n 且m n 则 其中正确命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 命题 是正确的 命题 不正确 很容易找到反例 命题 也不正确 可以构 造出 的情形 命题 也不正确 可以构造出 的情形 答案 B 7 已知两单位向量a a b b的夹角为 60 则两向量p p 2a a b b与q q 3a 2b 的夹角为 答案 B 8 某电视台举行大型文艺晚会 晚会演出时 为了达到更好的演唱效果 演出团从 8 名歌唱演员中选派 4 名在舞台上站成一排伴唱 其中甲 乙 2 人中有且仅有 1 人参加 则 在舞台上伴唱队列的不同排列方法共有 用心 爱心 专心3 A 480 种 B 540 种 C 840 种 D 960 种 解析 先从甲 乙 2 人中选出 1 人 有 C 种方法 再从其他 6 人中选出 3 人 有 C 1 2 种方法 最后让选出的 4 人在舞台上站成一排 有 A 种排法 于是 在舞台上伴唱队列 3 64 4 的不同排列方法共有 C C A 960 种 1 23 64 4 答案 D 9 给出如下几个结论 命题 x R R sinx cosx 2 的否定是 x R R sinx cosx 2 命题 x R R sinx 2 的否定是 x R R sinx 2 1 sinx 1 sinx 对于 x 0 tanx 2 2 1 tanx x R R 使 sinx cosx 其中正确的为 2 答案 C 10 已知变量x y满足约束条件Error 则f x y 的取值范围是 x 2y 2x y A B 5 7 7 5 7 5 C D 5 7 7 5 5 7 解析 用心 爱心 专心4 画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示 则f x y x 2y 2x y 1 2 y x 2 y x 令 k 则f x y g k 2 y x 1 2k 2 k 3 2 k 而k 表示可行域内的点P x y 与坐标原点O的连线的斜率 观察图形可知 y x kOA k kOB 而kOA kOB 3 k 3 即 f x y 1 0 3 0 1 3 3 0 1 0 1 3 5 7 7 5 答案 C 11 已知P是直线l 3x 4y 11 0 上的动点 PA PB是圆x2 y2 2x 2y 1 0 的两条切线 C是圆心 那么四边形PACB面积的最小值是 A B 2 C D 2 2233 解析 把圆的方程化为标准方程为 x 1 2 y 1 2 1 则可知直线与圆相离 如图 S四边形PACB S PAC S PBC 而S PAC PA CA PA 1 2 1 2 S PBC PB CB PB 1 2 1 2 又 PA PB PC 2 1 PC 2 1 当 PC 取最小值时 PA PB 取最小值 即S PAC S PBC取最小值 此时 CP l CP 2 则S PAC S PBC 即四边形 3 1 4 1 11 32 42 1 222 1 3 2 PACB面积的最小值是 3 答案 C 12 若函数y f x x R R 满足f x 2 f x 且x 1 1 时 f x 1 x2 函 数g x Error 则函数h x f x g x 在区间 5 10 内零点的个数为 A 12 B 14 C 13 D 8 解析 如图 当x 0 5 时 结合图象知f x 与g x 共有 5 个交点 共在区间 5 0 上共有 5 个交点 当x 0 10 时结合图象知共有 9 个交点 故函数h x f x 用心 爱心 专心5 g x 在区间 5 10 上共有 14 个零点 答案 B 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 请把答案填在题中横线上 13 已知 是第二象限的角 且 sin 则 tan2 的值为 3 5 解析 由 sin 得 sin 是第二象限的角 cos 3 5 3 5 4 5 从而得 tan 3 4 tan2 2tan 1 tan2 2 f 3 4 1 f 3 4 2 24 7 答案 24 7 14 如图所示的流程图 根据最后输出的变量S具有的数值 则S的末位数字是 解析 事实上S具有的数值为 20082009 根据题目要求只需考虑 8n的尾数变化即可 首先来观察 8n的末位数字的变化规律 n2345 8n的末位数字 4268 8n的末位数字的变化是以 4 为周期的规律循环出现 用心 爱心 专心6 2009 被 4 除余数为 1 所以 20082009的末位数字为 8 答案 8 15 若f x 2x 1 x 1 则满足f x 2 的x的取值范围为 解析 当x 1 时 不等式f x 2 可转化为 2x 1 x 1 2 得 x 0 此时无解 当 1 x 时 不等式f x 2 可转化为 2x 1 x 1 2 得x 此 1 2 2 3 时 不等式的解集为 x 2 3 1 2 当x 时 不等式f x 2 可转化为 2x 1 x 1 2 得x 4 此时 不等式 1 2 的解集为 x 4 1 2 由 得满足f x 2 的x的取值范围为 x x 4 2 3 答案 x x 4 2 3 16 椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质 如对于椭圆有如下命题 AB是椭圆 1 a b 0 的不平行于对称轴且不过原点的弦 M为AB的中点 则kOM kAB x2 a2 y2 b2 那么对于双曲线则有如下命题 AB是双曲线 1 a 0 b 0 的不平行于对称轴 b2 a2 x2 a2 y2 b2 且不过原点的弦 M为AB的中点 则kOM kAB 解析 设A x1 y1 B x2 y2 M x0 y0 则有Error 1 1 x2 1 a2 y2 1 b2 x2 2 a2 y2 2 b2 两式相减得 x2 1 x2 2 a2 y2 1 y2 2 b2 即 x1 x2 x1 x2 a2 y1 y2 y1 y2 b2 即 即kOM kAB y1 y2 y1 y2 x1 x2 x1 x2 b2 a2 b2 a2 答案 b2 a2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题 12 分 如图所示 质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前 进 现在投掷一个质地均匀 每个面上标有一个数字的正方体玩具 它的六个面上分别写 有两个 1 两个 2 两个 3 一共六个数字 质点P从A点出发 规则如下 当正方体上底面 出现的数字是 1 质点P前进一步 如由A到B 当正方体上底面出现的数字是 2 质点P 前进两步 如由A到C 当正方体上底面出现的数字是 3 质点P前进三步 如由A到 D 在质点P转一圈之前连续投掷 若超过一圈 则投掷终止 1 求质点P恰好返回到A点的概率 2 在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中 用随机变量 表示点P恰能返回 用心 爱心 专心7 到A点的投掷次数 求 的数学期望 解析 1 投掷一次正方体玩具 每个数字在上底面出现都是等可能的 其概率为 P1 2 6 1 3 只投掷一次不可能返回到A点 若投掷两次质点P就恰好能返回到A点 则上底面出 现的两个数字应依次为 1 3 3 1 2 2 三种结果 其概率为P2 2 3 1 3 1 3 若投掷三次质点P恰能返回到A点 则上底面出现的三个数字应依次为 1 1 2 1 2 1 2 1 1 三种结果 其概率为P3 3 3 1 3 1 9 若投掷四次质点P恰能返回到A点 则上底面出现的四个数字应依次为 1 1 1 1 其概率为P4 4 1 3 1 81 所以 质点P恰好返回到A点的概率为 P P2 P3 P4 1 3 1 9 1 81 37 81 2 由 1 知 质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的 7 种情况 且 的可能取值为 2 3 4 则P 2 P 3 P 4 3 7 3 7 1 7 所以 E 2 3 4 3 7 3 7 1 7 19 7 18 本小题 12 分 已知函数f x a2x3 ax2 g x ax 1 其中a 0 1 3 2 3 1 若函数f x 的图象与函数g x 的图象有公共点 且在公共点处有相同的切线 试 求实数a的值 2 在区间 0 上至少存在一个实数x0 使f x0 g x0 成立 试求实数a的取值范 1 2 围 解析 1 设函数f x 的图象与函数g x 的图象的公共点为M x0 y0 则Error 即Error 由 得a ax 2x0 1 0 a 0 且x0 0 2 0 a 2x0 1 x2 0 由 得a2x ax ax0 0 1 33 02 0 1 3 把 代入 得 2 x x x0 0 化简得 1 3 2x0 1 x2 03 0 2x0 1 x2 02 0 2x0 1 x2 0 1 3 x 2x0 1 0 解得x0 1 2 0 当x0 1 时 a 1 2 1 1 12 于是 所求实数a的值为 1 2 设F x f x g x a2x3 ax2 ax x 0 1 3 1 3 1 2 对F x 求导 得F x a2x2 2ax a a2x2 a 1 2x 0 a 0 F x 在 0 1 2 上为增函数 则F x max F 1 2 依题意 只需F x max 0 即a2 a a 0 1 3 1 8 1 4 1 2 1 3 a2 6a 8 0 用心 爱心 专心8 解得a 3 或a 3 舍去 1717 于是 所求实数a的取值范围是 3 17 19 本小题 12 分 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为菱形 PA 平面 ABCD ABC 60 E F分别是BC PC的中点 1 证明 AE PD 2 若H为PD上的动点 EH与平面PAD所成最大角的正切值为 求二面角 6 2 E AF C的余弦值 解析 1 由四边形ABCD为菱形 ABC 60 可得 ABC为正三角形 因为E为BC的中点 所以AE BC 又BC AD 所以AE AD 因为PA 平面ABCD AE 平面ABCD 所以PA AE 而PA 平面PAD AD 面PAD且PA AD A 所以AE 平面PAD 又PD 面PAD 所以 AE PD 2 设AB 2 H为PD上任意一点 连接AH 如图 用心 爱心 专心9 由 1 知AE 平面PAD 则 EHA为EH与平面PAD所成的角 在 Rt EAH中 AE 所以当AH最短时 EHA最大 即当AH PD时 EHA最 3 大 此时 tan EHA 因此AH 又AD 2 所以 ADH 45 所以PA 2 AE AH 3 AH 6 22 解法一 因为PA 平面ABCD PA 平面PAC 所以平面PAC 平面ABCD 过E作EO AC于O 则EO 平面PAC 过O作OS AF于S 连接ES 则 ESO为二面 角E AF C的平面角 在 Rt AOE中 EO AE sin30 AO AE cos30 又 3 2 3 2 F是PC的中点 则AF PC FAO 45 则在 Rt ASO中 SO AO sin45 又 3 2 4 SE 在 Rt ESO中 cos ESO 即所求二面角 EO2 SO2 3 4 9 8 30 4 SO SE 3 2 4 30 4 15 5 的余弦值为 15 5 解法二 因为AE AD AP两两垂直 故以A为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐 标系 连接BD 因为E F分别为BC PC的中点 所以A 0 0 0 B 1 0 3 C 1 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 0 F 1 33 3 2 1 2 所以 0 0 1 AE 3 AF 3 2 1 2 设平面AEF的一个法向量为m m x1 y1 z1 则 因此Error 取z1 1 则m m 0 2 1 又可知BD AC BD PA PA AC A 所以BD 平面AFC 故为平面AFC的一个法向量 又 3 0 BD BD 3 所以 cos m m BD 2 3 5 12 15 5 用心 爱心 专心10 因为二面角E AF C为锐角 所以所求二面角的余统值为 15 5 20 本小题 14 分 2009 太原模拟 设等比数列 an 的前n项和为Sn 首项a1 1 公比q f 1 0 1 1 证明 Sn 1 an 2 若数列 bn 满足b1 bn f bn 1 n 2 n N N 求数列 bn 的通项公式 1 2 3 在 2 的条件下 若 1 记Cn an 1 数列 Cn 的前n项和为Tn 求证 1 bn 当n 2 时 2 Tn 4 解析 1 由题意得Sn 1 1 qn 1 1 a1 1 qn 1 q 1 qn 1 1 1 1 an n 1 n n 1 1 n 1 Sn 1 an 2 f bn 1 1 bn 1 1 bn 1 1 bn 1 bn 1 是首项为 2 公差为 1 的等差数列 1 bn 1 b1 2 n 1 n 1 bn 1 bn 1 n 1 3 1 时 an n 1 1 2 Cn an 1 n 1n 1 bn 1 2 Tn 1 2 3 2 n n 1 1 2 1 2 1 2 Tn 2 2 3 3 n n 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 得 Tn 1 2 3 n 1 n n 2 1 n n n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 用心 爱心 专心11 Tn 4 1 n 2n n 4 n 2 n n 1 4 设f n Tn 则易知函数f n 1 2 1 2 1 2 1 2 单调递增 故当n 2 时 Tn T2 2 故当n 2 时 2 Tn 4 21 本小题 14 分 已知离心率为的椭圆C 1 a b 0 过点M 1 O 2 2 x2 a2 y2 b26 为坐标原点 1 求椭圆C的方程 2 已知直线l与椭圆C交于不同的两点A B 若直线l是圆O x2 y2 的一条切 8 3 线 试证明 AOB 它的逆命题成立吗 若成立 请给出证明 否则 请说明理由 2 解析 1 因为椭圆C 1 a b 0 过点M 1 且离心率为 x2 a2 y2 b26 2 2 所以Error 解得Error 故椭圆C的方程为 1 x2 8 y2 4 2 若直线l的斜率存在 则设直线l的方程为y kx m 直线l与椭圆C交于不同 的两点A x1 y1 B x2 y2 由直线l与圆O相切得r 即r2 m 1 k2 m2 1 k2 8 3 联立方程组Error 得x2 2 kx m 2 8 即 1 2k2 x2 4kmx 2m2 8 0 则 16k2m2 4 1 2k2 2m2 8 8 8k2 m2 4 0 即 8k2 m2 4 0 由方程根 与系数的关系得 Error 从而y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 m2 k2 2m2 8 1 2k2 4k2m2 1 2k2 要证 AOB 即 只需证x1x2 y1y2 0 即证 m2 8k2 1 2k2 2 OA OB 0 即证 3m2 8k2 8 0 而 所以 3m2 8k2 8 0 成立 即 2m2 8 1 2k2 m2 8k2 1 2k2 m2 1 k2 8 3 AOB 2 而当直线l的斜率不存在时 直线l为x 此时直线l与椭圆 1 的两 2 6 3 x2 8 y2 4 个交点为 或 满足 综上 有 AOB 2 6 3 2 6 3 2 6 3 2 6 3 OA OB 2 逆命题 已知直线l与椭圆C交于不同的两点A B 若 AOB 则直线l是圆 2 O x2 y2 的一条切线 结论成立 8 3 证明 当直线l的斜率存在时 设直线l y kx m 直线l与椭圆C 1 的 x2 8 y2 4 两个交点为A x1 y1 B x2 y2 联立方程组Error 得x2 2 kx m 2 8 即 1 2k2 x2 4kmx 2m2 8 0 则 16k2m2 4 1 2k2 2m2 8 8 8k2 m2 4 0 即