深度透视中考错题.docx

深度透视中考错题黄锦书（沈惠娟特级教师工作坊） 1. 题目呈现23（9分）（2015广元）如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦于点E，交O于点F，且CE=CB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF、BF，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径记得在前年秋季学期和去年春季学期，曾有几位老师在Q群上提到此题，表示对此题第（3）问产生了困惑与不解。笔者清楚地记得第一位提出来的是武鸣的刘强老师，刘老师酷爱钻研，笔者心中一直对刘老师充满敬意。当时刘老师在Q群上说，按照这2种方法计算的出来结果不一样，用方法一求得x=，方法二求得x=，刘老师产生了疑问。2. 初步分析 当时笔者在Q群上这样分析（为了方便计算，条件BE=10，sinA=不变）：如图所示，由已知条件易求CE=13，DE=2，AE=5.2，则AB=15.2。而又AD=4.8，AO=9.6，则AB=2AG=29.6，两次算得的AB的值不同，从而得出题目所给的条件有问题。再进一步分析，设DE=5x，由AB=AE+BE=2AG可得到方程13x+10=224x，解得x=，DE=5x=2，即得出CD15，所以第（3）小题的条件与题干中的条件CE=CB相矛盾。3. 深度透视近日，笔者荣幸地参加了以农学宁老师为组长的广西北部湾四市同城背景下中考数学命题的研究课题组，由于自己的爱好与课题的需要，笔者对近年的中考题进行研究，以对怎样才能命好中考题提出自己的一点点建议和看法。以此为契机，笔者对这道题再度进行深入研究。（其实笔者还在Q群上抛出几道题，供各位同仁思考。）经研究，笔者发现：这题为什么出错可用作图原理去进行分析说明。这道题是求半径，反过来逆向推理，若半径确定，即圆确定，又sinA=，即OAB确定，如图，作出OA后，假设AB在OA右侧，则B点也确定。作DE垂直平分OA于点D，按照题目的意思，点C为BE的垂直平分线和射线DE的交点，即点C也是确定的。当BE=10时，CD恰好等于15吗？若等，则题目没有问题，若不等，则题目出错。 在用作图原理分析的过程中，笔者又有意外的发现：如果半径确定，OAB确定，则BE也就确定。如下图所示，sinA=，BE=10，对此图进行放缩，即半径变化，则BE也跟着变化，就不再等于10。反过来，若OAB确定、BE确定，则半径也就确定，否则DE不再垂直AO。如下面2个图，sinA=，BE=10，但DE不垂直AO。 所以，通过上面的分析可知，只要知道OAB和BE，即可求出半径。计算过程如下：如下图所示，设DE=5x，由AB=AE+BE=2AG可得到方程13x+10=224x，解得x=，所以AO=24x=。 因此，原题中的条件CD=15不仅错误，而且多余，且此题提供的数据不符合“多思少算”的原则，若改成sinA=，BE=39或7.8就好算多了。4. 启示与反思就命题的角度而言，根据罗增儒教授提出的6条逻辑性要求：条件的真实性、条件的充分性、条件的相容性、条件与结论的相容性、条件的独立性和条件的最少性，这道题违背了条件的相容性。但我们可以思考得更深一些，为什么此题在命题形成之后能躲过众多命题和审题专家的“法眼”，说明我们在解题过程中反思与批判意识的薄弱性。事实上，如果我们能在解题之后带着结论返回原题进行分析，不难发现错误所在，刘老师就做到了这一点。当然，在命题时利用“几何画板”等辅助工具进行准确作图也有助于发现问题，但我们从理论上讲或者夸张一点说，当点与点、线与线无限接近时，我们就无法通过作图来用眼睛观察发现问题；况且，如果不是几何和数形结合的题目，即不是与图形有关的题目，那么我们也不能通过作图去发现问题，需要通过演