广东省海珠区2013届高三数学上学期综合测试（二）试题 理 新人教A版

用心 爱心 专心1 海珠区海珠区 20122012 学年高三综学年高三综合测试合测试 二 二 数学数学 理科 理科 本试卷共 6 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室 号 座 位号填写在答题卡上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷 上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指 定区 域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和 涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将答题卡一并交回 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 若在每次试验中 事件 A 发生的概率为 P 则在 n 次独立重复试验中 事件 WA 恰好发 生 k 次的概率为 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项 中 只 有一项是符合题目要求的 1 i 是虚数单位 复数对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第二象限D 第四象限 2 若集合 集合 则 a 3 是 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 3 已知函数 若 则 A a b cB c a bC b c aD a c 1 时 有 设有五个函数 其中既是偶函数又在 上是增函 数的有 2 个 其中真命题的序号是 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 点 A 的坐标为曲线 c 的方程 为 则 0A O 为极点 所在直线被曲线 C 所截弦的长度为 15 几何证明选讲选做题 D 如图 5 所示 过圆 C 外一点尸做一条直 线与圆 C 交于 A B 两 点 AB 2AP PT 与圆 c 相切于 T 点 已知圆 C 的半径为 2 则 PT 用心 爱心 专心4 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 1 求 f X 的最小正周期 2 求函数在区间上的最大值和最小值 并求此时 X 的值 17 本小题满分 12 分 现有 3 个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者选择 约定 每个 人 将质地均匀的硬币抛掷 2 次决定自己去参加哪个游戏 2 次抛出的硬币朝上的面均为正 面的 人去参加甲游戏 2 次抛出的硬币朝上的面为其它情形的去参加乙游戏 1 求这 3 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 2 求这 3 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 用心 爱心 专心5 18 用 分别表示这 3 个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 求随机变 量 的 分布列和数学期望 本小题满分 14 分 如图 6 四棱锥 P ABCD 中 PA 丄底面 ABCD M N 分别是 PB PC 的中点 PA AB 在四边形 ABCD 中 AB 丄 AD AB 丄 BC 1 求证 MN 平面 PAD 2 求证 平面 MN 丄平面 PBC 3 若 AD AB 1 求二面角 P AB N 的大小 19 本小题满分 14 分 设椭圆的左 右顶点分别为 A B 点尸在椭圆上且异于 A B 两点 O 为坐标原点 1 若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 求椭圆的离心率 2 对于由 1 得到的椭圆 C 过点 P 的直线 l 交 X 轴于点 Q 1 0 交 x 轴于点 M 若 求直线 l 的斜率 用心 爱心 专心6 20 本小题满分 14 分 已知点 在函数 的图象上 1 若数列是等差数列 求证数列是等比数列 2 若数列的前 项和是 过点的直线与两坐标轴所围二角 形面 积为 Cn 求最小的实数 t 使 恒成立 3 若数列为山 2 中 a 得到的数列 在与之间插入个 3 得 一新数列 问是杏存在这样的正整数 m 使数列的前 m 项的和 如果存在 求出 m 的值 如果不存在 请说明理由 21 本小题满分 14 分 已知函数的最小值为 0 其中 a 0 1 求 a 的值 2 若对任意的 有成立 求实数 k 的最小值 3 证明 用心 爱心 专心7 海珠区海珠区 20122012 学年高三综合测试学年高三综合测试 二二 理科数学参考答案与评分标准理科数学参考答案与评分标准 说明 1 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几 种解法供参考 如果考生的解法与参考答案不同 可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共8 8小题 每小题小题 每小题5 5分 满分分 满分4040分 分 题号题号 12345678 答案答案 BACDDAAA 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 其中分 其中 14 1514 15 题题 是选做题 考生只能选做一题 是选做题 考生只能选做一题 9 160 10 025 0 180 11 1 12 34 55 13 14 22 15 3 第 10 题第一空2分 第二空3分 三 解答题解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 本小题主要考查三角两角和的正余弦公式 本小题主要考查三角两角和的正余弦公式 三角特殊值的运算三角特殊值的运算 函数函数 xAxfxAxfcossin或的周期的周期 最值等知识最值等知识 考查化归 转化 换考查化归 转化 换 元的数学思想方法 以及运算求解能力 元的数学思想方法 以及运算求解能力 解 1 cos 2cos 22sin cos 66 f xxxxx 6 sin2sin 6 cos2cos xx 6 sin2sin 6 cos2cos xx xxcossin2 2 分 x2cos 2 3 2 x2sin x2cos3 x2sin 3 分 用心 爱心 专心8 xx2sin 2 1 2cos 2 3 2 4 分 xx2sin 3 cos2cos 3 sin2 5 分 3 2sin2 x 6 分 f x的最小正周期为 2 2 T 7 分 2 由 1 知 xf 3 2sin2 x 由 33 x 得 3 2 3 x 8 分 当 23 2 x 即 12 x时 f x取得最大值2 10 分 当 33 2 x 即 3 x时 f x取得最小值3 12 分 17 本小题满分 12 分 本小题主要考查互斥事件 本小题主要考查互斥事件 古典概型古典概型 独立重复试验 数学期望等知识 考查随机思想以独立重复试验 数学期望等知识 考查随机思想以 及数据处理能力 抽象思维能力 运算求解能力和应用意识 及数据处理能力 抽象思维能力 运算求解能力和应用意识 解 将质地均匀的两枚硬币抛掷两次朝上的面有等可能的四种结果 正正 反正 正反 反反 1 分 所以3个人中 每个人去参加甲游戏的概率为 4 1 去参加乙游戏的概率为 4 3 2 分 设 这3个人中恰有i人去参加甲游戏 为事件 3 2 1 0 iAi 则 ii i i CAP 3 3 4 3 4 1 3 分 1 这3个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 64 9 4 3 4 1 232 2 32 CAP 5 分 2 设 这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 为事件B 则 23 AAB 用心 爱心 专心9 由于 23 AA 与互斥 故 23 APAPBP 32 5 64 9 64 1 4 3 4 1 4 1 2 2 3 3 3 3 CC 所以 这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 32 5 7 分 3 的所有可能取值为3 1 8 分 由于 1 A与 2 A 0 A与 3 A互斥 故 21 1APAPP 2 1 3 4 3 4 1 C 16 9 64 9 64 27 4 3 4 1 2 2 3 C 9 分 30 3APAPP 3 0 3 4 3 C 16 7 64 1 64 27 4 1 3 3 3 C 10 分 所以 的分布列为 13 P 16 9 16 7 11 分 所以随机变量 的数学期望 8 15 16 30 16 7 3 16 9 1 E 12 分 18 本小题满分 14 分 本小题主要考查空间线面关系 空间向量等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思 本小题主要考查空间线面关系 空间向量等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思 想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 解 1 证明 NM 分别是 PCPB 的中点 MN 是 PBC 的中位线 BCMN 又 ADAB AB BC ADBC ADMN 1 分 AD 平面PAD 2 分 MN 平面PAD 3 分 MN 平面PAD 4 分 2 ABPA M是PB的中点 O x y z H N M D C B A P 用心 爱心 专心10 PBAM 5 分 PA 底面ABCD BC 平面ABCD PABC 又 BC AB AABPA PA 平面PAB AB 平面PAB BC 平面PAB AM 平面PAB BCAM 6 分 BBCPB PB 平面PBC BC 平面PBC AM 平面PBC 7 分 又 AM 平面AMN 8 分 平面AMN 平面PBC 9 分 3 PA 底面ABCD AD 平面ABCD ADPA 又 ABPA 222 PDADPA 又 ABPA 5 PD 5 222 PDADAB 联立 5 1 22 ADAB ABAD 解得 2 1 AD AB 过点C作 ADCH 于H 在 DHCRt 中 1 450 ABCHCDH 1 DH 1 AHBC 10 分 方法一 向量法 以A为坐标原点 分别以直线 APABAD 为 x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 xyzO 如图所示 11 分 则 0 1 1 0 1 0 0 0 0CBA 2 1 2 1 2 1 1 0 0NP 0 0 1 BC 2 1 2 1 2 1 AN 0 1 0 AB 由 2 知 0 0 1 BC是平面PAB的一个法向量 用心 爱心 专心11 Q 设平面NAB的法向量为 zyxn 则 0 0 ABn ANn 即 0 0 2 1 2 1 2 1 y zyx 得 0y zx 取 1 0 1 n 12 分 2 2 101001 100011 cos 2 22222 nBC nBC nBC 13 分 结合图可知 二面角 NABP 的大小为 0 45 14 分 方法二 几何法 由 2 知 BC 平面PAB PB 平面PAB BCPB N 是直角三角形Rt PBC 斜边上的中线 1 2 BNPC 同理易证 1 2 ANPC ANBN 取AB的中点Q 连 AQ 则 ABNQ 连MQ 易知 MQPA MQAB MQ 平面PAB NQ 平面NAB MQN 即是二面角 NABP 的平面角 11 分 在Rt PBC 中 2222 2 3PBABPAPCPBBC 3 2 BN 用心 爱心 专心12 在Rt BQN 中 22 311 442 NQBNBQ 11 22 MQPA 11 22 MNBC 12 分 在 MQN 中 222 MQMNNQ 又有MN MQ MQN 是以 NMQ 为直角的等腰直角三角形 MQN 0 45 13 分 二面角NABP 的大小为 0 45 14 分 19 本小题 14 分 本小题主要考查直线斜率 椭圆的方程 离心率 向量的运算等知识 考查数形结合 本小题主要考查直线斜率 椭圆的方程 离心率 向量的运算等知识 考查数形结合 化归与转化 方程的思想方法 考查综合运用能力以及运算求解能力 化归与转化 方程的思想方法 考查综合运用能力以及运算求解能力 解 1 由已知 0 0 aBaA 设 axyxP 000 1 分 则直线AP的斜率 ax y kAP 0 0 直线BP的斜率 ax y kAP 0 0 由1 2 2 0 2 2 0 y a x 得 2 2 0 2 2 0 2 a xa y 2 分 AP k AP k ax y 0 0 22 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0 0 2 2 axa a xa ax y ax y 3 分 2 12 2 a 得4 2 a 4 分 2 1 4 24 2 e 5 分 椭圆的离心率 2 2 e 6 分 2 由题意知直线l的斜率存在 7 分 设直线l 的斜率为k 直线l的方程为 1 xky 8 分 用心 爱心 专心13 则有 kM 0 设 axyxP 000 由于QMP 三点共线 且PQMP2 根据题意 得 0000 12 yxkyx 9 分 解得 ky x 0 0 2 或 3 3 2 0 0 k y x 11 分 又点P在椭圆上 又由 1 知椭圆C的方程为1 24 22 yx 所以 1 24 2 22 k 或1 2 3 4 3 2 22 k 由 解得0 2 k 即0 k 此时点P与椭圆左端点A重合 0 k舍去 12 分 由 解得16 2 k 即4 k 13 分 直线直线l的斜率4 k 14 分 20 本小题满分 14 分 本小题主要考查等差 等比数列的定义 通项 求和 对数的运算 直线方程与不等式 本小题主要考查等差 等比数列的定义 通项 求和 对数的运算 直线方程与不等式 等知识 考查化归 转化 方程的数学思想方法 以及抽象概括能力 运算求解能力 创等知识 考查化归 转化 方程的数学思想方法 以及抽象概括能力 运算求解能力 创 新能力和综合应用能力 新能力和综合应用能力 解 1 证明 数列 n b是等差数列 设公差为d 则 1nn bbd 对 nN 恒成立 1 分 依题意 1 2 log nn ba 1 2 n b n a 2 分 所以 1 1 11 22 nn bbd n n a a 是定值 3 分 用心 爱心 专心14 从而数列 n a是等比数列 4 分 2 解 当1n 时 1 1 2 a 当2n 时 1 1 2 n nnn aSS 1n 也适合此式 即数列 n a的通项公式是 1 2 n n a 5 分 由 1 2 log nn ba 数列 n b的通项公式是 n bn 6 分 所以 1 2 n n Pn 1 1 1 1 2 n n Pn 过这两点的直线方程是 1 1 2 11 1 22 n nn x yn nn 可得与坐标轴的交点是 1 2 0 2 n n n A 和 0 2 n Bn 7 分 2 2 1 2 22 nnn n n cOAOB 8 分 由于 2222 1 233 2 3 2 2 3 222 nn nnn nnnn cc 2 3 21 0 2n nn 9 分 即数列 n c的各项依次单调递减 所以 1 9 8 tc 10 分 3 数列 n d中 k b 含 k b项 前的所有项的和是 121 12 333 k k 133 22 k k k 11 分 估算知 当7k 时 其和是 7 33 2811202008 2 12 分 当8k 时 其和是 8 33 3633152008 2 又因为2008 1120888296 3 是 3 的倍数 故存在这样的m 使得2008 m S 用心 爱心 专心15 13 分 此时 25 7 1 333 296667m 14 分 21 本小题满分 14 分 本小题主要考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性 不等式等基础知识 考查函 本小题主要考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性 不等式等基础知识 考查函 数思想 分类讨论思想 以及抽象概括能力 运算求解能力 创新能力和综合应用能力 数思想 分类讨论思想 以及抽象概括能力 运算求解能力 创新能力和综合应用能力 解 解 xf的定义域为 a 1 分 ax ax ax xf 11 1 2 分 由 0 xf得aax 1 当x变化时 xfxf的变化情况如下表 x 1 aa a 1 1 a xf 0 xf 极小值 3 分 因此 xf在ax 1处取