2012《新高考全案》高考数学 4-3课外学生练与悟 人教版

用心 爱心 专心 1 第第 4 4 章章 第第 3 3 讲讲 一 选择题 1 函数f x x3 3x2 2 在区间 1 1 上的最大值是 A 2 B 0 C 2 D 4 解析 f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0 得x 0 或x 2 而 2 1 1 只需比较f 0 f 1 f 1 大小即可 f 0 2 f 1 0 f 1 2 f x max 2 故选 C 答案 C 2 已知实数a b c d成等比数列 且曲线y 3x x3的极大值点坐标为 b c 则ad 等于 A 2 B 1 C 1 D 2 解析 y 3 3x2 令y 0 得x 1 可判断函数y 3x x3在x 1 处取得极 大值 因此 极大值点的坐标为 1 2 即b 1 c 2 又ad bc 所以ad 2 答案 A 3 已知函数f x x3 px2 qx的图象与x轴切于 1 0 点 则f x 的极值为 A 极大值为 极小值为 0 4 27 B 极大值为 0 极小值为 4 27 C 极小值为 极大值为 0 5 27 D 极小值为 0 极大值为 5 27 解析 由题设知 Error Error Error 所以f x x3 2x2 x 进而可求得f 1 是极小值f 是极大值 故选 A 1 3 用心 爱心 专心 2 答案 A 4 设f x xlnx 若f x0 2 则x0 A e2 B e C D ln2 ln2 2 答案 B 5 2008 广东 设a R R 若函数y ex ax x R R 有大于零的极值点 则 A a 1 B a 1 C a D a 1 e 1 e 解析 y ex a 0 ex a x ln a x 0 ln a 0 且a 0 a 1 即a 1 答案 A 6 如果函数y f x 的图象如下图 那么导函数y f x 的图象可能是 答案 A 二 填空题 7 2009 辽宁 若函数f x 在x 1 处取极值 则a x2 a x 1 解析 f x 2x x 1 x2 a x 1 2 f 1 0 a 3 2 2 1 a 22 答案 3 用心 爱心 专心 3 8 已知函数y f x x3 3ax2 3bx c在x 2 处有极值 其图象在x 1 处的切线平 行于直线 6x 2y 5 0 则f x 极大值与极小值之差为 解析 y 3x2 6ax 3b Error Error y 3x2 6x 令 3x2 6x 0 则x 0 或x 2 f x 最大值 f x 极小值 f 0 f 2 4 答案 4 9 2008 江苏 f x ax3 3x 1 对于x 1 1 总有f x 0 成立 则 a 解析 本小题考查函数单调性的综合运用 若x 0 则不论a取何值 f x 0 显然 成立 当x 0 即x 1 1 时 f x ax3 3x 1 0 可化为 a 3 x2 1 x3 设g x 则g x 3 x2 1 x3 3 1 2x x4 所以g x 在区间 0 上单调递增 在区间 1 上单调递减 因此g x max g 1 2 1 2 1 2 4 从而a 4 当x 0 即 1 0 时 f x ax3 3x 1 0 可化为a g x 3 x2 1 x3 0 3 1 2x x4 g x 在区间 1 0 上单调递增 因此g x max g 1 4 从而a 4 综上a 4 答案 4 10 2010 江苏 8 函数y x2 x 0 的图象在点 ak ak2 处的切线与x轴的交点的横 坐标为ak 1 其中k N N 若a1 16 则a1 a3 a5的值是 解析 对函数y x2 y 2x 函数y x2 x 0 在点 ak ak2 处的切线方程为y ak2 2ak x ak 令y 0 得 ak 1 ak 1 2 又 a1 16 a3 a2 a1 4 a5 a3 1 1 2 1 4 1 4 a1 a3 a5 16 4 1 21 答案 21 三 解答题 11 2008 全国 设a R R 函数f x ax3 3x2 用心 爱心 专心 4 1 若x 2 是函数y f x 的极值点 求a的值 2 若函数g x f x f x x 0 2 在x 0 处取得最大值 求a的取值范围 解 1 f x 3ax2 6x 3x ax 2 因为x 2 是函数y f x 的极值点 所以f 2 0 即 6 2a 2 0 因此a 1 经验证 当a 1 时 x 2 是函数y f x 的极值点 2 由题设 g x ax3 3x2 3ax2 6x ax2 x 3 3x x 2 当g x 在区间 0 2 上的最大值为g 0 时 g 0 g 2 即 0 20a 24 故得a 6 5 反之 当a 时 对任意x 0 2 6 5 g x x2 x 3 3x x 2 2x2 x 10 6 5 3x 5 2x 5 x 2 0 3x 5 而g 0 0 故g x 在区间 0 2 上的最大值为g 0 综上 a的取值范围为 6 5 12 2010 全国 21 已知函数f x x3 3ax2 3x 1 1 设a 2 求f x 的单调区间 2 设f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求a的取值范围 解 1 当a 2 时 f x x3 6x2 3x 1 f x 3 x 2 x 2 33 当x 2 时f x 0 f x 在 2 上单调增加 33 当x 2 2 时f x 0 f x 在 2 2 上单调减少 3333 当x 2 时f x 0 f x 在 2 上单调增加 33 综上 f x 的单调增区间是 2 和 2 f x 的单调减区间是 2 33 2 33 2 f x 3 x a 2 1 a2 当 1 a2 0 时 f x 0 f x 为增函数 故f x 无极值点 当 1 a2 0