广东省2010年高考数学 立体几何最新联考试题分类汇编（7）

用心 爱心 专心1 广东省各地市广东省各地市 20102010 年高考数学最新联考试题 年高考数学最新联考试题 3 3 月月 6 6 月 分类汇编第月 分类汇编第 7 7 部分部分 立体几何立体几何 一 选择题一 选择题 7 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研理科 届高三第三次调研理科 用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体 其正视 图 侧视图都是如图所示的图形 则这个几何体的最大体积与最小体积的差是 A 6 B 7 C 8 D 9 答案 A 解析 由正视图 侧视图可知 体积最小时 底层有 3 个小正方体 上面有 2 个 共5 个 体积最大时 底层有 9 个小正方体 上面有 2 个 共 11 个 故这个几何体的最大体积与最小体积的差是 6 故选 A 9 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研文科 届高三第三次调研文科 如图所示 一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形 俯视图是一个直径为 1 的圆 那 么这个几何体的全面积为 A B C D 3 2 2 3 4 答案 A 解析 由三视图知空间几何体为圆柱 全面积为 选 A 2 113 22 1 222 考点定位 本题考查立体几何中三视图 三视图是新课标的新增内容 在以后的高考中有加大的趋势 备考要点 复习时 仍要立足课本 务实基础 3 广东省江门市 广东省江门市 20102010 届高三数学理科届高三数学理科 3 3 月质量检测试题 月质量检测试题 如图 在矩形中 ABCD 是的中点 沿将折起 使二面EBCAB 3 4 CDAEADE 角 为 则四棱锥的体积是 A BAED 60ABCED A B C D 13 399 13 39279 13 1313 1327 2 2010 年年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题 月广东省广州市高三一模数学理科试题 设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O 球面上有两个点 的坐标分别为 则 C AB 1 2 2A 2 2 1B AB A B 12C D 183 22 3 5 2010年年3月广东省广州市高三一模数学理科试题 月广东省广州市高三一模数学理科试题 已知 直线与平面内无数条直线垂直 pa q 直线与平面垂直 则是的a pq A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 用心 爱心 专心2 答案 B 解析 由线面垂直的判定定理容易得出答案 B 考点定位 本题考查立体几何中垂直关系的判定以及简易逻辑的有关知识 这两部分知识都是高考的重 点 在高考中选择题 填空题和解答题出现 同时在知识的交汇点命题也是高考的热点 备考要点 立足课本 务实基础 同时要注意各部分知识的整合 3 2010 2010 年年 3 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科 如图 1 一个简单组合体的正视图和侧视图 都是 由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形 俯视图是一个半径为的圆 包括圆心 则该 3 组合体的表面积 各个面的面积的和 等于 C A B 15 18 C D 21 24 5 2010 2010 年年 3 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科 如图 一 个简单空间几何体的三视图其主视图 与侧视图都是边长为 2 的正三角形 俯视图轮廓为正方形 则此几 何体的表面积是 B A 44 3 B 12 C 4 3 D 8 2 2010 2010 年年 3 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科 已知 EF 是空间四点 命题甲 四点不共面 命题乙 直线和不相交 则甲GHEFGHEFGH 是乙成立的 A A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 二 填空题二 填空题 11 20102010 年广东省揭阳市高考一模试题理科 年广东省揭阳市高考一模试题理科 某师傅用铁皮制作一封闭的工件 其直观图的三视 图如右图示 单位长度 cm 图中水平线与竖线垂直 则制作该工件用去的铁皮的面积为 2 cm 制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计 用心 爱心 专心3 D C B A P 答案 2 100 35 cm 解析 由三视图可知 该几何体的形状如图 它是底面为正方形 各个侧面均为直角三角形 的四棱锥 用去的铁皮的面积即该棱锥的 表面积为 100 35 S 2 cm 考点定位 本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图 三视图是新课标的新增内容 在以后的高考中有加在的力度 13 2010 年年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题 月广东省广州市高三一模数学理科试题 如图4 点为正方体的中心 OABCDA B C D 点为面的中心 点为的中点 则空间四边形在该正方体的面上的正投影EB BCC FB C D OEF 可能是 填出所有可能的序号 三 解答题三 解答题 18 2010年年3月广东省广州市高三一模数学理科试题 月广东省广州市高三一模数学理科试题 本小题满分本小题满分14分分 如图 6 正方形所在平面与圆所在平面相交于 ABCDOCD 线段为圆的弦 垂直于圆所在平面 垂足是圆CDOAEOE 上异于 的点 圆的直径为 9 OCD3AE O 1 求证 平面平面 ABCD ADE 2 求二面角的平面角的正切值 DBCE 18 本小题满分本小题满分14分分 本小题主要考查空间线面关系 空间向量及坐标运算等知识 考 本小题主要考查空间线面关系 空间向量及坐标运算等知识 考 查数形结合 化归与转化的数学思想方法 以及空间想象能查数形结合 化归与转化的数学思想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力力 推理论证能力和运算求解能力 1 证明 证明 垂直于圆所在平面 在圆所在平面上 AEOCDO AE CD 在正方形中 ABCDCDAD 平面 ADAEA CD ADE 平面 CD ABCD 平面平面 ABCD ADE 2 解法解法 1 平面 平面 CD ADEDE ADE CDDE 为圆的直径 即 CEO9CE 设正方形的边长为 ABCDa 在 中 RtCDE 2222 81DECECDa 用心 爱心 专心4 在 中 RtADE 2222 9DEADAEa 由 解得 22 819aa 3 5a 22 6DEADAE 过点作于点 作交于点 连结 EEFAD FFGABABCGGE 由于平面 平面 AB ADEEF ADE EFAB ADABA 平面 EF ABCD 平面 BC ABCD BCFG EFFGF 平面 BC EFG 平面 EG EFG BCEG 是二面角的平面角 FGE DBCE 在 中 RtADE3 5AD 3AE 6DE AD EFAE DE 3 66 5 53 5 AE DE EF AD 在 中 RtEFG3 5FGAB 2 tan 5 EF EGF FG 故二面角的平面角的正切值为 DBCE 2 5 解法解法 2 平面 平面 CD ADEDE ADE CDDE 为圆的直径 即 CEO9CE 设正方形的边长为 ABCDa 在 中 RtCDE 2222 81DECECDa 在 中 RtADE 2222 9DEADAEa 由 解得 22 819aa 3 5a 22 6DEADAE G F 用心 爱心 专心5 以为坐标原点 分别以 所在的直线为轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则DEDCDxy 0 0 0D 6 0 0E 0 3 5 0C 6 0 3A 6 3 5 3B 设平面的法向量为 ABCD 1111 x y z n 则即 1 1 0 0 DA DC A A n n 11 1 630 3 50 xz y 取 则是平面的一个法向量 1 1x 1 1 0 2 nABCD 设平面的法向量为 BCE 2222 xyz n 则即 2 2 0 0 EB EC A A n n 22 22 3 530 63 50 yz xy 取 则是平面的一个法向量 2 2y 2 5 2 2 5 nABCD 12 12 12 1 0 25 2 2 5 5 cos 1 04542029 A An n n n nn 12 2 sin 29 n n 12 2 tan 5 n n 故二面角的平面角的正切值为 DBCE 2 5 17 2010年年3月广东省广州市高三一模数学文科试题 月广东省广州市高三一模数学文科试题 本小题满本小题满 分分14分分 如图 6 正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相 交于CD AE 平面CDE 且3AE 6AB 1 求证 AB 平面ADE 2 求凸多面体ABCDE的体积 17 本小题满分本小题满分14分分 本小题主要考查空间线面关系 几何体的体积等知识 考查数 本小题主要考查空间线面关系 几何体的体积等知识 考查数 形结合 化归与形结合 化归与转化的数学思想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力转化的数学思想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 1 证明 证明 AE 平面CDE CD 平面CDE AE CD 在正方形ABCD中 CDAD ADAEA CD 平面ADE xy z A B C D E 图 5 用心 爱心 专心6 ABCDA AB 平面ADE 故所求凸多面体ABCDE的体积为18 3 解法解法 2 在Rt ADE中 3AE 6AD 22 3 3DEADAE 连接BD 则凸多面体ABCDE分割为三棱锥BCDE 和三棱锥BADE 由 1 知 CD DE 11 6 3 39 3 22 CDE SCDDE 又ABCDA AB 平面CDE CD 平面CDE ABA平面CDE 点B到平面CDE的距离为AE的长度 11 9 3 39 3 33 B CDECDE VSAE AB 平面ADE 119 3 69 3 332 B ADEADE VSAB ABCDEB CDEB ADE VVV 9 39 318 3 A B C D E 用心 爱心 专心7 故所求凸多面体ABCDE的体积为18 3 18 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研理科 届高三第三次调研理科 本小题满分 14 分 如图所示 在正方体 中 E 为 AB 的中点 1111 ABCDABC D 1 若为的中点 求证 面 F 1 AAEF 11 DDC C 2 若为的中点 求二面角的余弦值 F 1 AA 1 AECD 3 若在上运动时 与 不重合 F 1 AAFA 1 A 求当半平面与半平面成的角时 线段的比 1 D EFADE 4 1 AFFA与 为等腰梯形 5 分 又 7 分 1 13 29 3 2 222 EFD C S 梯形 1 2 33 2 ADCE S 梯形 二面角的余弦值为 9 分 1 32 cos 9 3 2 ADCE EFD C S S 梯形 梯形 1 AECD 2 3 3 建立如图所示的坐标系 设正方体的棱长为 2 则 20 xxAF 1 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 2 2 0 DAEDFx 1 DDADE 面 取 11 分 的法向量为面ADEDD2 0 0 1 设面的法向量为 1 D EF n 111 x y z A1 A B1 C1 D1 B C D F E A1 A B1 C1 D1 B C D F E x z y 用心 爱心 专心8 1 D EEF 2 1 20 1 x 取 则 111 11 220 0 xyz yxz 1 2z n 2 x 2x 2 半平面与半平面成角 1 D EFADE 4 1 222 1 42 cos 4 548 2224 DD n DDnxx xx 13 分 即 线段的比为 14 分 4 5 x 1 446 2 555 FAAF 1 AFFA与 3 2 注 本题的方法多样 不同的方法请酌情给分 18 广东省惠州市 广东省惠州市 20102010 届高三第三次调研文科 届高三第三次调研文科 本题满分 14 分 证明 1 ABCDACABCDPA面面 ACPA 2 分 又PABABPABPAAACPAACAB面面 PABABPABPAAACPAACAB面面 5 分 PABAC面 PBAC 7 分 2 连结BD交AC于点O 并连结 EO 四边形ABCD 为平行四边形 O为BD的中点 又E 为PD的中点 在PDB 中 EO 为中位线 PBEO AECEOAECPB面面 AECPB面 14 分 18 20102010 年广东省揭阳市高考一模试题理年广东省揭阳市高考一模试题理 科 科 本题满分 本题满分 14 分 分 右图为一简单组合体 其底面 ABCD 为正方形 平面 PD ABCD 且 ECPD2PDEC 1 求证 BE 平面 PDA 2 若 N 为线段的中点 求证 平面 PBEN PDB P B C A D E 用心 爱心 专心9 N E D C B A P F z y x N E D C B A P P A B C D E 3 若 求平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的大小 2 PD AD 18 解 1 证明 平面 平面 ECPDPD PDAEC PDA EC 平面 PDA 同理可得 BC 平面 2 分PDA EC平面 EBC BC平面 EBC 且 ECBCC 平面 平面 3 分BECPDA 又 BE平面 EBC BE 平面 PDA 4 分 2 证法 1 连结 AC 与 BD 交于点 F 连结 NF F 为 BD 的中点 且 6 分 NFPD 1 2 NFPD 又且 ECPD 1 2 ECPD 且 NFECNFEC 四边形 NFCE 为平行四边形 7 分 NEFC 平面 DBAC PD ABCD 面 AC ABCDACPD 又PDBDD 面 面 9 分AC PBDNE PDB 证法 2 如图以点 D 为坐标原点 以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示 设该简单 组合体的底面边长为 1 PDa 则 1 1 0 0 1 0 0 0 BCPa 6 分 0 1 2 a E 1 1 2 2 2 a N 11 0 22 EN 1 1 PBa 1 1 0 DB 11 1100 22 EN PBa 用心 爱心 专心10 P A B C D E 11 11 0 00 22 EN DB 17 20102010 年广东省揭阳市高考一模试题文科 年广东省揭阳市高考一模试题文科 本题满分 本题满分 1414 分 分 右图为一简单组合体 其底面 ABCD 为正方形 平面 PD ABCD 且 2 ECPD2PDADEC 1 答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图 请在方框 内画出该几何体的正 主 视图和侧 左 视图 2 求四棱锥 B CEPD 的体积 3 求证 平面 BEPDA 用心 爱心 专心11 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 17 解 1 该组合体的主视图和侧视图如右图示 3 分 2 平面 平面PD ABCDPD PDCE 平面平面 ABCDPDCE BC平面 5 分BCCD PDCE 6 分 11 3 23 22 SPDECDC 梯形PD C E 四棱锥 B CEPD 的体积 8 分 11 3 22 33 B CEPDPDCE VSBC 梯形 3 证明 平面 ECPDPD PDA 平面EC PDA EC 平面 10 分同理可得 BC 平面 11 分PDAPDA EC平面 EBC BC平面 EBC 且 ECBCC 平面 平面 13 分BECPDA 又 BE平面 EBC BE 平面 PDA 14 分 18 广东省江门市 广东省江门市 20102010 届高三数学理科届高三数学理科 3 3 月质量检测试题 月质量检测试题 本题满分 14 分 如图 棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD PA AD 2 BD 22 求点 C 到平面 PBD 的距离 在线段上是否存在一点 使与平面所成的角的正弦值为PDQCQPBD 若存在 指出点的位置 若不存在 说明理由 9 62 Q 18 在 Rt BAD中 AD 2 BD 22 AB 2 ABCD 为正方形 因此 BD AC 1 分 PA AB AD 2 PB PD BD 2 分22 设 C 到面 PBD 的距离为 d 由 有 PBDCBCDP VV 11 33 BCDPBD SPASd 即 4 分 20 111 1 2 2 2 2 2 sin60 323 2 d 得 5 分3 3 2 d 如图建立空间直角坐标系 因为在上 所以可设 6 分QDP 10 DPDQ 又 2 2 0 DP 2 22 02 2 00 2 0 DPADDQADAQ 8 分 2 22 0 Q 122 2 2 CQ y z D P A BC x D P A BC 用心 爱心 专心12 易求平面的法向量为 10 分 应有过程 PBD 1 1 1 n 所以设与平面所成的角为 则有 CQPBD 12 分 2 213 1 cossin nCQ nCQ nCQ 所以有 13 分6 9 2 213 1 2 16 1 2 10 4 1 所以存在且 14 分DPDQ 4 1 18 广东省深圳高级中学 广东省深圳高级中学 20102010 届高三一模理科 届高三一模理科 本题满分 本题满分 1414 分 分 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是一直角梯 aBCABBCADBAD 90 与底面成 30 角 PDABCDPAaAD 2底面 1 若为垂足 求证 EPDAE PDBE 2 在 1 的条件下 求异面直线AE与CD所成 角的余弦值 3 求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值 18 本小题满分本小题满分 14 分分 解法一 1 ADBABAD 90 BAEPD AAEBAAEPDBAPD PADPD PADBA AADPAPABAABCDPA 平面 且又 平面 平面 又底面 4 分 PDBEBEPD 即 2 过点E作EM CD交PC于M 连结AM 则AE与ME所成角即为AE与CD所成角 用心 爱心 专心13 4 2 3 34 3 3 2 2 3 3 3 34 3 32 3 34 2 3 32 3 34 3 32 2 30 90 30 30 2 2 a a aa PD PECD ME aCDa a a PD PA PE a a aa PD ADPA AE aPDaPA aADPDAPADPADRt PDA ABCDPDABCDPA 中在 角成与底面且底面 4 2 cos 90 2 2 2 222 AE ME MEAAMERt AMME PACMAPACME PAMECDPA ABCDPA ACMEACCDACD CDACAD aCDaACaADACD AC 中在 平面平面 底面又 中在 连结 异面直线AE与CD所成角的余弦值为 4 2 9 分 3 延长AB与DC相交于G点 连PG 则面PAB 与面PCD的交线为PG 易知CB 平面PAB 过B作 PGCFCFFPGBF 则连点于 2 1 ADCB APGCCFB 的平面角为二面角 用心 爱心 专心14 2 2 tan 22 1 30 2 3 32 30 a a BFC a GBBF PGA aAGaPAPDAaABGB 3 易知 PACBABCB 则的法向量 PABBCPABCB是平面平面 用心 爱心 专心15 2 tan 5 5 5 3 1100 30110 cos 3 1 1 1 3 0 0 3 32 0 0 0 3 32 0 0 222222 a a a a mBC mBC mBC my yz yx ayax azayax CDmPCm aaCDaaaPCCDmPCm zyxmPCD aBC 则 所成角为与设向量 令 得 由 而则 的一个法向量为又设平面 平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的正切值为 2 14 分 17 2010 2010 年年 3 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科 本小题满分 12 分 如图 5 已知直角梯形所在的平面垂直于平面 ACDEABC90BACACD 60EAC ABACAE 1 在直线上是否存在一点 使得平面 请证明你的结论 BCP DPEAB 2 求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 EBDABC A B C DE 5图 用心 爱心 专心16 解解 1 线段的中点就是满足条件的点 1 分BCP 证明如下 取的中点连结 则ABFDPPFEF ACFP ACFP 2 1 2 分 取的中点 连结 ACMEMEC 且 ACAE 60EAC 是正三角形 EACACEM 四边形为矩形 EMCD 又ACMCED 2 1 3 分ACED 且 FPED EDFP 四边形是平行四边