2011-2012年高考数学一轮复习 第3章《数列》自测题

用心 爱心 专心1 第三章第三章 数列数列 时间 120 分钟 分值 150 分 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 数列 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 其相邻的两个 1 被 2 隔开 第 n 对 1 之间有 n 个 2 则该数列的前 1234 项的和为 A 2450 B 2419 C 4919 D 1234 解析 将数列 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 进行分组 第 1 组 1 2 第 2 组 1 2 2 第 3 组 1 2 2 2 第 n 组 前 n 组一共有 项 2 n 1 n 2 n n 3 2 当 n 48 时 有 1224 项 当 n 49 时 有 1274 项 48 51 2 49 52 2 即前 1234 项可以排满前 48 组 在第 49 组只能排前 10 项 故前 1234 项中含 49 个 1 其余的均为 2 故该数列前 1234 项的和为 49 1 1234 49 2 2419 故选 B 答案 B 2 数列 an 满足 a1 3a2 32a3 3n 1an 则 an n 2 A B 1 3 2n 1 1 2 3n 1 C D 1 2n n 3n 解析 令 n 1 得 a1 排除 A D 再令 n 2 得 a2 排除 C 故选 B 1 2 1 6 答案 B 3 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 a1 1 an 1 3Sn n 1 n N 第 k 项满足 750 ak 900 则 k 等于 A 8 B 7 C 6 D 5 用心 爱心 专心2 解析 依题意 由 an 1 3Sn及 an 3Sn 1 两式相减得 an 1 an 3 Sn Sn 1 3an 即 an 1 4an n 2 a2 3 所以 an Error Error 将 ak代入不等式 750 3 4k 2 900 验证 知 k 6 答案 C 4 数列 an 满足 an an 1 n N 且 a1 1 Sn是数列 an 的前 n 项和 则 S21 1 2 A B 6 21 2 C 10 D 11 解析 依题意得 an an 1 an 1 an 2 则 an 2 an 即数列 an 中的奇数项 偶数项分别相等 1 2 则 a21 a1 1 S21 a1 a2 a3 a4 a19 a20 a21 10 a1 a2 a21 10 1 6 选 B 1 2 答案 B 5 数列 an 中 a1 1 a2 2 当 n N 时 an 2等于 anan 1的个位数 若数列 an 的前 k 项和为 243 则 k A 61 B 62 C 63 D 64 解析 依题意得 a1 1 a2 2 a3 2 a4 4 a5 8 a6 2 a7 6 a8 2 a9 2 a10 4 a11 8 a12 2 a13 6 数列 an 除第一项外 其余的项形成以 6 为周期的数列 且从 a2到 a7这六项的和等于 24 注意到 243 1 24 10 2 因此 k 1 6 10 1 62 选 B 答案 B 6 把正整数排列成三角形数阵 如图甲 然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数 得到新 的三角形数阵 如图乙 再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列 得到一个数列 an 则 a2010 A 3955 B 3957 C 3959 D 3961 解析 注意到图乙中 第 n 行有 n 个数 且第 n 行的最后一个数是 n2 又 2010 因此 a2010位于图乙中第 63 行中的第 57 个数 第 63 行的最后一个数是 62 63 2 63 64 2 632 3969 且第 63 行的数自左向右依次形成公差为 2 的等差数列 于是 a2010 63 57 2 3969 a2010 3957 答案 B 用心 爱心 专心3 7 若 an 是公差为 1 的等差数列 则 a2n 1 2a2n 是 A 公差为 3 的等差数列 B 公差为 4 的等差数列 C 公差为 6 的等差数列 D 公差为 9 的等差数列 解析 设 an 的公差为 d 则 d 1 设 cn a2n 1 2a2n 则 cn 1 a2n 1 2a2n 2 cn 1 cn a2n 1 2a2n 2 a2n 1 2a2n 6d 6 选择 C 答案 C 8 在等比数列 an 中 若 a1 a2 a3 a4 a2a3 则 15 8 8 9 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 A B 5 3 3 5 C D 5 3 3 5 解析 依题意 设公比为 q 则 q 1 因此Error Error 又 构成以为首项 以 为公比的等比数列 所以 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a1 1 q 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a1 1 1 q 4 1 1 q 得 即 选择 C 1 q4 a1q3 1 q 1 q4 a1q3 1 q 5 3 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 5 3 答案 C 9 设 an 是等比数列 Sn是 an 的前 n 项和 对任意正整数 n 有 an 2an 1 an 2 0 又 a1 2 则 S101 A 200 B 2 C 2 D 0 解析 设等比数列 an 的公比为 q 因为对任意正整数 有 an 2an 1 an 2 0 an 2anq anq2 0 因为 an 0 所以 1 2q q2 0 q 1 S101 2 选择 B 2 1 1 1 1 答案 B 10 已知 an sin n N 则数列 an 的最小值为 n 6 16 2 sinn 6 A 6 B 7 C 8 D 19 3 解析 令 t 2 sin 1 t 3 则 an f t t 2 f t 1 2 an 1 an an 1 2 0 数列 an 是递增数列 3 2 7 4 37 16 a2010 a3 2 a2010 1 1 1 2 0 a99 33 则 a3 a10 解析 a2 a1 a1或 a2 a1 a1 1 由 a2 0 得 a1 0 或 a1 不符合题意 舍去 1 2 a3 a1 a2或 a3 a1 a2 1 由 a1 a2 0 a3 0 得 a3 1 a3 0 舍去 由条件 am n am an或 用心 爱心 专心5 am n am an 1 可知 an N a100 a99 a1或 a100 a99 a1 1 a99 33 a100 33 或 34 又 am n am an a100 10a10 a10 3 3 或 a10 3 4 而 a9 3a3 3 a10 a9 3 所以 a10 3 答案 1 3 14 考虑以下数列 an n N an n2 n 1 an 2n 1 an ln n n 1 其中满足性质 对任意的正整数 n an 1都成立 的数列有 写出所有满足条件 an 2 an 2 的序号 若数列 an 满足上述性质 且 a1 1 a20 58 则 a10的最小值为 解析 对于 a1 3 a2 7 a3 13 a2 因此 an 不满足 对任意的正整数 n a1 a3 2 an 1都成立 对于 易知数列 an 是等差数列 故有 an 1 因此 an 满足 an 2 an 2 an 2 an 2 对任意的正整数 n an 1都成立 对于 an 2 an ln 2an 1 ln an 2 an 2 n n 2 n 3 n 1 2 2 n 1 n 2 n n 2 n 3 n 1 n 1 n 2 n n 2 3 n 3 n 1 3 n 3 n 1 n 2 2 2n 3 n 3 n 1 n 2 2 0 即有 an 1 因此 an 满足 对任意的正整数 n an 1都成立 综上所述 满 an 2 an 2 an 2 an 2 足性质 对任意的正整数 n an 1都成立 的数列为 对于满足上述性质的数列 an 令 an 2 an 2 dn an 1 an 由 an 1得 an 1 an an 2 an 1 即 dn dn 1 又 an 2 an 2 a10 a1 d1 d2 d9 a1 9d9 a10 a20 d19 d18 d10 a20 10d10 即 d9 a10 a1 9 d10 所以 d9 d10 0 即 0 由此解得 a10 28 即 a10 a20 10 a10 a1 9 a10 a20 10 a10 1 9 a10 58 10 a10的最小值为 28 答案 28 15 设 an 是等比数列 公比 q Sn为 an 的前 n 项和 记 Tn n N 设 Tn0为数 2 17Sn S2n an 1 列 Tn 的最大项 则 n0 解析 根据等比数列的通项公式 Sn 故 Tn a1 1 qn 1 q 17 a1 1 qn 1 q a1 1 q2n 1 q a1qn qn 17 令 qn n t 则函数 g t t 当 t 4 时函数 g t 取得 q2n 17qn 16 1 q qn 1 1 q 16 qn2 16 t 最小值 此时 n 4 而 0 故此时 Tn最大 所以 n0 4 1 1 q 1 1 2 答案 4 用心 爱心 专心6 16 若数列 an 满足 d n N d 为常数 则称数列 an 为 调和数列 已知数列 1 an 1 1 an 1 xn 为 调和数列 且 x1 x2 x20 200 则 x3x18的最大值是 解析 因为数列 为 调和数列 所以 xn 1 xn d n N d 为常数 即数列 xn 为等差数列 1 xn 由 x1 x2 x20 200 得 200 即 x3 x18 20 易知 x3 x18都为正 20 x1 x20 2 20 x3 x18 2 数时 x3x18取得最大值 所以 x3x18 2 100 即 x3x18的最大值为 100 x3 x18 2 答案 100 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn nan an c c 是常数 n N 1 2 a2 6 1 求 c 的值及 an 的通项公式 2 证明 1 a1a2 1 a2a3 1 anan 1 1 8 解析 1 因为 Sn nan an c 1 2 所以当 n 1 时 S1 a1 a1 c 解得 a1 2c 1 2 当 n 2 时 S2 a2 a2 c 即 a1 a2 2a2 c 解得 a2 3c 所以 3c 6 解得 c 2 则 a1 4 数列 an 的公差 d a2 a1 2 所以 an a1 n 1 d 2n 2 2 证明 因为 1 a1a2 1 a2a3 1 anan 1 1 4 6 1 6 8 1 2n 2 2n 4 1 2 1 4 1 6 1 2 1 6 1 8 1 2 1 2n 2 1 2n 4 1 2 1 4 1 6 1 6 1 8 1 2n 2 1 2n 4 1 2 1 4 1 2n 4 1 8 1 4 n 2 因为 n N 所以 42 4n 成立的 n 的最小值 文 若 bn log2an 1 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 解析 1 设等比数列 an 的公比为 q 依题意有 2 a3 2 a2 a4 又 a2 a3 a4 28 将 代入得 a3 8 所以 a2 a4 20 于是有Error Error 解得Error Error 或Error Error 又 an 是递增的 故 a1 2 q 2 所以 an 2n 2 理 bn log22n 1 n 1 Sn 故由题意可得 42 4n 解得 n 12 或 n1 且 a2 3 S3 13 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 n n 2 求数列 bn 的前 n 项和 Tn b1 a1 b2 a2 b3 a3 bn an 用心 爱心 专心8 解析 1 由已知 有Error Error q 3 a1 1 an a1qn 1 3n 1 2 n n 2 n N b1 a1 b2 a2 b3 a3 bn an 当 n 1 时 3 b1 3 b1 a1 当 n 2 时 n 1 n 1 b1 a1 b2 a2 b3 a3 bn 1 an 1 n n 2 n 1 n 1 2n 1 bn an 即 bn 2n 1 3n 1 经检验 得 bn 2n 1 3n 1 n N Tn 3 30 5 31 7 32 2n 1 3n 1 3Tn 3 31 5 32 2n 1 3n 1 2n 1 3n 两式相减 得 2Tn 3 2 31 32 3n 1 2n 1 3n 3n 2n 1 3n Tn n 3n 21 本小题满分 12 分 在数列 an 中 a1 1 an 1 an 1 1 n n 1 2n 1 设 bn 求数列 bn 的通项公式 an n 2 求数列 an 的前 n 项和 Sn 解析 1 由已知得 b1 a1 1 且 an 1 n 1 an n 1 2n 即 bn 1 bn 从而 b2 b1 1 2n 1 2 b3 b2 1 22 bn bn 1 n 2 1 2n 1 于是 bn b1 2 n 2 1 2 1 22 1 2n 1 1 2n 1 又 b1 1 故所求数列 bn 的通项公式为 bn 2 1 2n 1 2 由 1 知 an n 2n 2 1 2n 1 n 2n 1 令 Tn 则 2Tn k 2k 1 k 2k 2 于是 Tn 2Tn Tn 4 1 2k 1 n 2n 1 n 2 2n 1 又 2k n n 1 用心 爱心 专心9 所以 Sn n n 1 4 n 2 2n 1 22 本小题满分 12 分 设各项均为正数的数列