广东省广州市天河区2012届高三数学第三次模拟试题 理

用心 爱心 专心1 20122012 届天河区普通高中毕业班综合测试 三 届天河区普通高中毕业班综合测试 三 理科数学理科数学 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 共 4 页 满分 150 分 考试时 间 120 分钟 注意事项 注意事项 1 选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上 非选择题应在答题卡上对应的位置 作答 超出答题区域书写的答案无效 2 作选考题时 按照题目要求作答 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号 涂黑 参考数据 锥体的体积公式 锥体 其中是锥体的底面积 是锥体的高 V 1 3 Sh Sh 第第 I I 卷 选择题卷 选择题 共共 4040 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 设全集 集合 则等于 xNxU 6 1 3 3 5AB U CAB A B C D 4 1 5 1 5 2 4 2 2 是虚数单位 若 则等于i i1 iz z A 1 B C D 2 3 2 2 2 1 3 函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍 纵坐标不变 再向左平移个cosyx 1 26 单位 则所得函数的解析式是 A B 1 cos 26 yx cos 2 3 yx C D 1 cos 212 yx cos 2 6 yx 4 已知数列为等差数列 且 为数列的前项和 n a 2712 24aaa n S n an 则 S13的值为 Nn A 100 B 99 C 104 D 102 5 实数满足若目标函数取得最大值 4 则实数的值为yx 0 1 1 yx aay x yxz a A 2 B 3 C 4 D 2 3 6 某工厂将甲 乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间 每个车间至少分配一名员工 若甲 乙两名员工必须分到同一个车间 则不同分法的种数为 A 24 B 36 C 48 D 60 用心 爱心 专心2 7 一个几何体的三视图如右图所示 则该几何体的体积为 A B C D 5 3 3 4 3 3 5 3 6 3 8 已知函数 1 lg 1 1 1 xx f x g x x 的图象关于点P对称 且函数 1 1yf x 为奇函数 则下列结论 点P的 坐标为 1 1 当 0 x 时 0g x 恒成立 关 于x的方程 f xa aR 有且只有两个实根 其中正确结论的题号为 A B C D 第第 IIII 卷 非选择题卷 非选择题 共共 110110 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 一 必做题 9 13 题题 9 已知向量 的夹角为 且 则 a b 0 1206a 5b ba 10 运行如右图所示的程序框图 则输出的值为 S 11 直线与抛物线围成的图形的面积等于 2yx 2 yx 12 已知双曲线 的离心率为 2 1 2 2 2 2 b y a x 0 0ab 一个焦点与抛物线的焦点相同 则双曲线的渐 2 16yx 近线方程为 13 以下三个命题 若 则 1ab 1ab 若 则 a bR 2abaab 若 则 其中正确命题的序号是 2 3xy 2 3 x y 二 选做题 二 选做题 14 14 1515 题 考生只能从中选做一题题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 1 C 在极坐标系 以原点为极点 以轴正半轴为极轴 为参数 sin3 cos3 y x Ox 中 曲线的方程为 则与两交点的距离为 2 C cos 2 4 1 C 2 C 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如右图 已知圆的半径为 从圆O3 外一点引切线和割线 圆心到的距离为OAADABCOAC 则切线的长为 2 23AB AD 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分分 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 用心 爱心 专心3 已知函数 1 3sin coscos2 2 f xxxx xR I 求函数的最小正周期及单调增区间 f x 在中 角 A B C 所对的边分别是 又 ABC abc 4 235 A f 的面积等于 求边长的值 2b ABC 3a 17 本小题满分 本小题满分 l2l2 分 分 如图 一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域 用力旋 转转盘 转盘停止转动时 箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所 得的分数 箭头指向两个区域的边界时重新转动 且箭头 A 指向每 个区域的可能性都是相等的 在一次家庭抽奖的活动中 要求每个 家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘 得分情况 记为 a b 假设儿童和成人的得分互不影响 且每个家庭只能参加 一次活动 求某个家庭得分为 5 3 的概率 若游戏规定 一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和 且得分大于等于 8 的家庭可以获得一份奖品 求某个家庭获奖的概率 若共有 4 个家庭参加家庭抽奖活动 在 的条件下 记获奖的家庭数为 X 求 X 的分布列及数学期望 18 本小题满分 本小题满分 l4l4 分 分 如图 在矩形中 为的中点 将沿折起 ABCD212ABBC ECDDAE AE 使 再过点作 且 DAEABCE 于于D DQAB 1 2 DQAB 求证 DAEBEQ 于于 求直线与所成角的正弦值 BDDAE于 求点到的距离 QDAE于 19 本小题满分 本小题满分 l4l4 分 分 为了加强环保建设 提高社会效益和经济效益 广州市计划用若干时间更换一万 辆燃油型公交车 每更换一辆新车 则淘汰一辆旧车 替换车为电力型和混合动力型 车 今年初投入了电力型公交车 128 辆 混合动力型公交车 400 辆 计划以后电力型 车每年的投入量比上一年增加 50 混合动力型车每年比上一年多投入辆 a 用心 爱心 专心4 求经过年 该市被更换的公交车总数 n S n 若该市计划 7 年内完成全部更换 求的最小值 a 20 本小题满分本小题满分 l4l4 分分 设mR 在平面直角坐标系中 已知向量向量 3 axmy 3 bxy ab 动点 M x y的轨迹为曲线 E I 求曲线 E 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 II 已知 直线与曲线 E 交于不同的两点M N 3 4 m 0 1 F 1l ykx 则的内切圆的面积是否存在最大值 若存在 求出这个最大值及此时FMN 的实数的值 若不存在 请说明理由 k 21 本小题满分本小题满分 l4l4 分分 设是定义在区间上的函数 其导函数为 如果存在实数和 f x 1 fxa 函数 其中对任意的都有 使得 h x h x 1 x 0h x 则称函数具有性质 2 1 fxh x xax f x P a I 设函数 其中为实数 2 ln 1 b f xx x 1x b 求证 函数具有性质 f x P b 求函数的单调区间 f x II 已知函数具有性质 给定 g x 2 P 12 1 x x 12 xx 设为实数 且 m 12 1 mxm x 12 1 m xmx 1 1 若 求的取值范围 12 ggg xg x m 20122012 年广州市天河区普通高中毕业班综合测试年广州市天河区普通高中毕业班综合测试 三三 数数 学学 理科理科 参考答案参考答案 一 选择题 D C B C A B A C 二 填空题 用心 爱心 专心5 9 10 11 12 13 312 4 3 3yx 14 15 2 715 三 解答题 16 解 1 因为 2 分 31 sin2cos2sin 2 226 f xxxx 故的最小正周期为 3 分 f x 222 262 kxkkz 即 5 分 63 kxkkz 所以 函数的增区间为 6 分 63 kkkz 2 8 分 4 235 A f 0 A 43 cos sin 55 AA 13 sin3 2 sin 25 SbcAbA 10 分5c 由余弦定理 222 2cos13abcbcA 12 分13a 17 解 记事件 A 某个家庭得分情况为 5 3 111 339 P A 所以某个家庭得分情况为 5 3 的概率为 2 分 1 9 记事件 B 某个家庭在游戏中获奖 则符合获奖条件的得分包括 5 3 5 5 3 5 共 3 类情况 所以 1111111 3333333 P B 所以某个家庭获奖的概率为 4 分 1 3 由 可知 每个家庭获奖的概率都是 5 分 11 4 33 XB所以 004 4 1216 0 3381 P XC 13 4 1232 1 3381 P XC 222 4 1224 2 3381 P XC 33 4 128 3 3381 P XC 用心 爱心 专心6 10 分 440 4 121 4 3381 P XC 所以 X 分布列为 X01234 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 12 分 4 3 EXnp 期望 18 1 证明 折叠前 矩形中 ABCD 连接 中 BEABE 6 2AEBE 12AB 222 AEBEAB 即 1 分AEBE 交线为 DAEABCE 于于AE 3 分 DAEBE 于 而BEBEQ 于 4 分 DAEBEQ 于于 2 由 1 知 是直线与所成的角 6 分DAEBE 于 BDE DAE于 在中 Rt BDE 6 2BE 6DE 6 3BD 8 分 BE6 26 sinBDE BD36 3 故直线与所成角的正弦值为 9 分BDDAE于 6 3 3 设点到的距离为 QDAE于h 且 DQ EC DQ EC 四边形为平行四边形 DQCE 从而 QC DE QC DAE于 故点到的距离等于点到的距离 11 分QDAE于CDAE于 ADE 1 SAD DE 18 2 AEC 1 SEC AD 18 2 用心 爱心 专心7 作 DHAEH 于 交线为 DAEABCE 于于AE 则是 D 到面 ABCE 的距离 而 12 分 AHABCE 于AHDH 3 2 由 Q ADEC ADED AEC VVV ADEAEC 11 ShSDH 33 13 分 h3 2 点到的距离为 14 分 QDAE于3 2 19 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 解 1 设分别为第年投入的电力型公交车 混合动力型公交车的数量 nn ba n 依题意 是首项为 128 公比为的等比数列 2 分 n a 2 3 501 是首项为 400 公差为的等差数列 3 分 n ba 的前项和 5 分 n an 1 2 3 256 2 3 1 2 3 1128 n n n S 的前项和 6 分 n bn ann nTn 2 1 400 所以经过年 该市更换的公交车总数为n 8 分 ann nTSnS n nn 2 1 4001 2 3 256 2 若计划 7 年内完成全部更换 所以 9 分 100007 S 所以 11 分 10000 2 67 74001 2 3 256 7 a 即 所以 13 分308221 a 21 16 146 a 又 所以的最小值为 147 14 分 Naa 用心 爱心 专心8 20 解 1 向量 ab 3 axmy 3 bxy 所以 即 21 世纪教育网 2 分 22 30a bxmy 22 3xmy 当 m 0 时 方程表示两直线 方程为 3x 当1m 时 方程表示的是圆 当时 方程表示椭圆 0m 当0 m时 方程表示双曲线 6 分 2 当时 曲线 E 方程为椭圆 为椭圆的下焦点 3 4 m 22 1 43 yx 0 1 F 直线过椭圆的上焦点 则的周长 4a 8 7 分 1l ykx 0 1 FFMN 设的内切圆的径 FMN r 因此最大 就最大 8 分 1 4 2 FMN SMNFMFN rr AFMN SAr 设M N 不妨 0 0 所以对任意的 1 x 都有 0g x g x 在 1 上递增 8 分 又 1212 21 xxmxx 9 分 当 1 1 2 mm 时 且 112212 1 1 1 1 xmxm xxm xmx 11 分 12 分 13 分 综合以上讨论 得 所求m的取值范围是 0 1 14 分 方法二 由题设知 g x 的导函数 2 21 g xh x xx 其中函数 0h x 对于 任意的 1 x 都成立 所以 当 1x 时 2 1 0g xh x x 从而 g x 在区 间 1 上单调递增 8 分 当 0 1 m 时 有 12111 1 1 mxm xmxm xx