2011高考数学一轮复习精讲精练系列 集合教案（上册）

集合集合 一 集合的含义与表示 一 集合的含义与表示 1 了解集合的含义 元素与集合的 属于 关系 2 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 二 集合间的基本关系 二 集合间的基本关系 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 在具体情境中 了解全集与空集的含义 三 集合的基本运算 三 集合的基本运算 1 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 2 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 3 能使用韦恩图 Venn 表达集合的关系及运算 根据考试大纲的要求 结合 2009 年高考的命题情况 我们可以预测 2010 年集合部分在 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 列举法 描述法 确定性 包含关系 无序性 互异性 集 合 集合与集合的关系 集合的概念 元素的性质 分类 集合的表示法 集合运算 有限集 无限集 空集 子集 相 等 真子集 并集 交集 补集 高考导航高考导航 选择 填空和解答题中都有涉及 高考命题热点有以下两个方面 一是集合的运算 集合的 有关述语和符号 集合的简单应用等作基础性的考查 题型多以选择 填空题的形式出现 二是以函数 方程 三角 不等式等知识为载体 以集合的语言和符号为表现形式 结合简 易逻辑知识考查学生的数学思想 数学方法和数学能力 题型常以解答题的形式出现 第 1 课时 集合的概念 一 集合一 集合 1 集合是一个不能定义的原始概念 描述性定义为 某些指定的对象 就成为一个 集合 简称 集合中的每一个对象叫做这个集合的 2 集合中的元素属性具有 1 确定性 2 3 3 集合的表示法常用的有 和韦恩图法三种 有限集常用 无限集常用 图示法常用于表示集合之间的相互关系 二 元素与集合的关系二 元素与集合的关系 4 元素与集合是属于和 的从属关系 若 a 是集合 A 的元素 记作 若 a 不是集合 B 的元素 记作 但是要注意元素与集合是相对而言的 三 集合与集合的关系三 集合与集合的关系 5 集合与集合的关系用符号 表示 6 子集 若集合 A 中 都是集合 B 的元素 就说集合 A 包含于集合 B 或集合 B 包含集合 A 记作 7 相等 若集合 A 中 都是集合 B 的元素 同时集合 B 中 都是集合 A 的元素 就说集合 A 等于集合 B 记作 8 真子集 如果 就说集合 A 是集合 B 的真子集 记作 9 若集合 A 含有 n 个元素 则 A 的子集有 个 真子集有 个 非空 真子集有 个 10 空集 是一个特殊而又重要的集合 它不含任何元素 是任何集合的 是任何非空集合的 解题时不可忽视 例例 1 1 已知集合 8 6 AxNN x 试求集合A的所有子集 解 解 由题意可知6x 是8的正约数 所以 6x 可以是1 2 4 8 相应的x为 典型例题典型例题 基础过关基础过关 2 4 5 即 2 4 5A A的所有子集为 2 4 5 2 4 2 5 4 5 2 4 5 变式训练变式训练 1 1 若 a b R 集合 1 0 b ab ab a 求 b a 的值 解 解 由 1 0 b ab ab a 可知 a 0 则只能 a b 0 则有以下对应关系 0 1 ab b a a b 或 0 1 ab ba b a 由 得 1 1 a b 符合题意 无解 所以 b a 2 例例 2 2 设集合 2 2 3 23 Uaa 21 2 Aa 5 U C A 求实数 a 的值 解 解 此时只可能 2 235aa 易得2a 或4 当2a 时 2 3 A 符合题意 当4a 时 9 3 A 不符合题意 舍去 故2a 变式训练变式训练 2 2 1 P x x2 2x 3 0 S x ax 2 0 S P 求 a 取值 2 A 2 x 5 B x m 1 x 2m 1 B A 求 m 解 解 1 a 0 S P 成立 a 0 S 由 S P P 3 1 得 3a 2 0 a 2 3 或 a 2 0 a 2 a 值为 0 或 2 3 或 2 2 B 即 m 1 2m 1 m 2 A 成立 B 由题意得 121 21 521 mm m m 得 2 m 3 m 2 或 2 m 3 即 m 3 为取值范围 注 1 特殊集合 作用 常易漏掉 例例 3 3 已知集合 A x mx2 2x 3 0 m R 1 若 A 是空集 求 m 的取值范围 2 若 A 中只有一个元素 求 m 的值 3 若 A 中至多只有一个元素 求 m 的取值范围 解 解 集合 A 是方程 mx2 2x 3 0 在实数范围内的解集 1 A 是空集 方程 mx2 2x 3 0 无解 4 12m1 3 2 A 中只有一个元素 方程 mx2 2x 3 0 只有一个解 若 m 0 方程为 2x 3 0 只有一解 x 3 2 若 m 0 则 0 即 4 12m 0 m 1 3 m 0 或 m 1 3 3 A 中至多只有一个元素包含 A 中只有一个元素和 A 是空集两种含义 根据 1 2 的结 果 得 m 0 或 m 1 3 变式训练变式训练 3 3 1 已知 A a 2 a 1 2 a2 3a 3 且 1 A 求实数 a 的值 2 已知 M 2 a b N 2a 2 b2 且 M N 求 a b 的值 解 解 1 由题意知 a 2 1 或 a 1 2 1 或 a2 3a 3 1 a 1 或 2 或 0 根据元素的互异性排除 1 2 a 0 即为所求 2 由题意知 2 2aa bb 或 2 0 12 aab bba 或 0 0 a b 或 1 4 1 2 a b 根据元素的互异性得 0 1 a b 或 1 4 1 2 a b 即为所求 例例 4 4 若集合 A 2 4 32 27aaa B 1 a 1 2 22aa 2 1 38 2 aa 32 37aaa 且 A B 2 5 试 求实数a的值 解解 2 5 2 A 且 5 A 则 32 27aaa 5 a 2 a 1 a 1 0 a 1 或 a 1 或 a 2 当 a 1 时 B 1 0 5 2 4 与 A B 2 5 矛盾 a 1 当 a 1 时 B 1 2 1 5 12 与集合中元素互异性矛盾 a 1 当 a 2 时 B 1 3 2 5 25 满足 A B 2 5 故所求 a 的值为 2 变式训练变式训练 4 4 已知集合 A a a d a 2d B a aq 2 aq 其中 a 0 若 A B 求 q 的值 解 解 A B 2 2aqda aqda 或 aqda aqda 2 2 由 得 q 1 由 得 q 1 或 q 2 1 当 q 1 时 B 中的元素与集合元素的互异性矛盾 q 2 1 1 1 本节的重点是集合的基本概念和表示方法 对集合的认识 关键在于化简给定的集合 确定集合的元素 并真正认识集合中元素的属性 特别要注意代表元素的形式 不要将点集 和数集混淆 2 2 利用相等集合的定义解题时 特别要注意集合中元素的互异性 对计算的结果要加以检 验 3 3 注意空集 的特殊性 在解题时 若未指明集合非空 则要考虑到集合为空集的可能 性 4 4 要注意数学思想方法在解题中的运用 如化归与转化 分类讨论 数形结合的思想方法 在解题中的应用 第 2 课时 集合的运算 一 集合的运算一 集合的运算 1 交集 由 的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集 记作 A B 即 A B 2 并集 由 的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的并集 记作 A B 即 A B 3 补集 集合 A 是集合 S 的子集 由 的元素组成的集合 叫做 S 中子集 A 的补 集 记作 S C A 即 S C A 二 集合的常用运算性质二 集合的常用运算性质 1 A A A A B B A A A 基础过关基础过关 小结归纳小结归纳 归纳小结归纳小结 A A B B A 2 U AC A U AC A U C C A 3 U CAB U CAB 4 A B A A B A 例例 1 1 设全集UR Mm 方程 2 10mxx 有实数根 Nn 方程 2 0 xxn 有实数根 求 U C MN 解 解 当0m 时 1x 即0M 当0m 时 140 m 即 1 4 m 且0m 1 4 m 1 4 U C Mm m 而对于N 140 n 即 1 4 n 1 4 Nn n 1 4 U C MNx x 变式训练变式训练 1 1 已知集合 A 6 1 R 1 xx x B 2 20 x xxm 1 当 m 3 时 求 R AC B 2 若 A B 14xx 求实数 m 的值 解 解 由 6 1 1x 得 5 0 1 x x 1 x 5 A 15xx 1 当 m 3 时 B 13xx 则 R C B 13x xx 即 R AC B 35xx 典型例题典型例题 2 A 15 14 xxABxx 有 42 2 4 m 0 解得 m 8 此时 B 24xx 符合题意 故实数 m 的值为 8 例例 2 2 已知 3 Ax axa 1Bx x 或5 x 1 若AB 求a的取值范围 2 若ABB 求a的取值范围 解解 1 AB 1 35 a a 解之得12a 2 ABB AB 31a 或5a 4a 或5a 若AB 则a的取值范围是 1 2 若ABB 则a的取值范围是 4 5 变式训练变式训练 2 2 设集合 A 2 320 x xx B 22 2 1 5 0 x xaxa 1 若 A B 2 求实数 a 的值 2 若 A B A 求实数 a 的取值范围 3 若 U R A U C B A 求实数 a 的取值范围 解解 由 x2 3x 2 0 得 x 1 或 x 2 故集合 A 1 2 1 A B 2 2 B 代入 B 中的方程 得 a2 4a 3 0 a 1 或 a 3 当 a 1 时 B 2 402 2 x x 满足条件 当 a 3 时 B 2 4402 x xx 满足条件 综上 a 的值为 1 或 3 2 对于集合 B 4 a 1 2 4 a2 5 8 a 3 A B A B A 当 0 即 a 3 时 B 满足条件 当 0 即 a 3 时 B 2 满足条件 当 0 即 a 3 时 B A 1 2 才能满足条件 则由根与系数的关系得 2 1 22 1 1 25 a a 即 2 5 2 7 a a 矛盾 综上 a 的取值范围是 a 3 3 A U C B A A U C B A B 若 B 则 0 3 a 适合 若 B 则 a 3 时 B 2 A B 2 不合题意 a 3 此时需 1 B 且 2 B 将 2 代入 B 的方程得 a 1 或 a 3 舍去 将 1 代入 B 的方程得 a2 2a 2 013 a a 1 且 a 3 且 a 13 综上 a 的取值范围是 a 3 或 3 a 1 3或 1 3 a 1 或 1 a 1 3或 a 1 3 例例 3 3 已知集合 A 2 2 10 R x xa xx B R 0 xx 试问是否存在实数 a 使得 A B 若存在 求出 a 的值 若不存在 请说明理由 解解 方法一 假设存在实数 a 满足条件 A B 则有 1 当 A 时 由 A B B R 0 xx 知集合 A 中的元素为非正数 设方程 x2 2 a x 1 0 的两根为 x1 x2 则由根与系数的关系 得 01 0 0 2 04 2 21 21 2 xx aaxx a 解得 2 当 A 时 则有 2 a 2 4 0 解得 4 a 0 综上 1 2 知存在满足条件 A B 的实数 a 其取值范围是 4 方法二 假设存在实数 a 满足条件 A B 则方程 x2 2 a x 1 0 的两实数根 x1 x2至少 有一个为正 因为 x1 x2 1 0 所以两根 x1 x2均为正数 则由根与系数的关系 得 2 12 2 40 2 0 a xxa 解得 04 4 2 aa a a 即 即 又 集合 4a a 的补集为 4 a a 存在满足条件 A B 的实数 a 其取值范围是 4 变式训练变式训练 3 3 设集合 A x y y 2x 1 x N B x y y ax2 ax a x N 问是否存在 非零整数 a 使 A B 若存在 请求出 a 的值 若不存在 说明理由 解 解 假设 A B 则方程组 2 21yx yaxaxa 有正整数解 消去 y 得 ax2 a 2 x a 1 0 由 0 有 a 2 2 4a a 1 0 解得 2 3 2 3 33 a 因 a 为非零整数 a 1 当 a 1 时 代入 解得 x 0 或 x 1 而 x N 故 a 1 当 a 1 时 代入 解得 x 1 或 x 2 符合题意 故存在 a 1 使得 A B 此时 A B 1 1 2 3 例例 4 4 已知 A x x2 2ax 4a 3 0 x R 又 B x x2 22ax a2 a 2 0 x R 是否存在实数 a 使得 A B 若存在 求出 实数的值 若不存在 说明理由 解 解 1 a 2 即实数 a 1 2 时 BA 变式训练变式训练 4 4 设集合A为函数 2 ln 28 yxx 的定义域 集合B为函数 1 1 yx x 的值 域 集合C为不等式 1 4 0axx a 的解集 1 求AB 2 若 R CC A 求a的 取值范围 解 解 1 解得 A 4 2 B 31 所以 4 31 2AB 2 a 的范围为 2 2 a 0 1 1 在解决有关集合运算题目时 关键是准确理解题目中符号语言的含义 善于转化为文字 语言 2 2 集合的运算可以用韦恩图帮助思考 实数集合的交 并运算可在数轴上表示 注意在运 算中运用数形结合思想 3 3 对于给出集合是否为空集 集合中的元素个数是否确定 都是常见的讨论点 解题时要 有分类讨论的意识 小结归纳小结归纳 归纳小结归纳小结 集合单元测试题集合单元测试题 一 选择题一 选择题 1 设全集 U R A x N 1 x 10 B x R x 2 x 6 0 则下图中阴影表示的集合 为 A 2 B 3 C 3 2 D 2 3 2 当 x R 下列四个集合中是空集的是 A x x2 3x 2 0 B x x2 x C x x2 2x 3 0 C x sinx cosx 6 5 3 设集合 2 5 log 3 Aa 集合 Ba b 若 2 AB 则AB 等于 A 1 2 5 B 1 2 5 C 2 5 7 D 7 2 5 4 设集合 2 1Ay yx 2 1Bx yx 则下列关系中正确的是 A AB B AB C BA D 1 AB 5 设 M P 是两个非空集合 定义 M 与 P 的差集为 M P x x M 且 x p 则 M M P 等于 A P B M P C M P D M 6 已知 2 230 Ax xxBx xa 若AB 则实数a的取值范围是 A 1 B 3 C 3 D 3 7 集合 M x x sin 3 n n Z N x x cos 2 n n Z M N A 1 0 1 B 0 1 C 0 D 8 已知集合 M x Zk k x 4 1 2 N x Zk k x 2 1 4 则 A M NB M N C M ND M N 9 设全集 x 1 x 9 x N 则满足 1 3 5 7 81 3 5 7 U C B 的所有集合 B 的个数有 A 1 个 B 4 个 C 5 个 D 8 个 10 已知集合 M x y y 2 9x N x y y x b 且 M N 则实数b 应满足的条件是 A b 23 B 0 b 2 C 3 b 23 D b 23或b 3 二 填空题二 填空题 11 设集合 32 Axx 2121 Bxkxk 且AB 则实数k的取值范 围是 12 设全集 U R A 2 21 ln 1 x x xBx yx 则右图中阴影部分表示的集合为 13 已知集合 A 4 3 2 1 那么 A 的真子集的个数是 14 若集合 Rx 1 2 1 y yS x 1x 1x logy yT 2 则TS 等于 15 满足 0 1 2 0 1 2 3 4 5 A 的集合 A 的个数是 个 16 已知集合 1 3 2 Pxx 函数 2 2 log 22 f xaxx 的定义域为 Q 1 若 1 2 2 3 2 3 PQPQ 则实数 a 的值为 2 若PQ 则实数a的取值范围为 三 解答题三 解答题 17 已知函数 1 2 x f x x 的定义域集合是 A 函数 22 lg 21 g xxaxaa 的定 义域集合是 B 1 求集合 A B 2 若 AB B 求实数a的取值范围 18 设UR 集合 2 320Ax xx 2 1 0Bx xmxm 若 BACU 求m的值 19 设集合 4232 1 x xA 0123 22 mmmxxxB 1 当Zx 时 求 A 的非空真子集的个数 2 若 B 求 m 的取值范围 3 若BA 求 m 的取值范围 20 对于函数 f x 若 f x x 则称 x 为 f x 的 不动点 若 xxff 则称 x 为 f x 的 稳定点 函数 f x 的 不动点 和 稳定点 的集合分别记为 A 和 B 即 xxfxA xxffxB 1 求证 A B 2 若 2 1 f xaxaR xR 且AB 求实数 a 的取值范围 单元测试参考答案单元测试参考答案 一 选择题一 选择题 1 答案 A 2 答案 C 3 答案 A 4 提示 0 Ay y 11 Bx xx 或 答案 D 5 答案 B 6 答案 B 7 由 3 n 与 2 n 的终边位置知 M 2 3 0 2 3 N 1 0 1 故选 C 8 C 9 D 10 D 11 提示 2121kk B 答案 1 1 2 k 12 答案 0 2 1 AB 图中阴影部分表示的集合为 1 2 U AB 13 答