江苏省2012届高考数学二轮复习 专题一 集合 简单逻辑用语 函数 不等式 导数及应用专题训练

用心 爱心 专心1 专题一专题一 集合 简单逻辑用语 函数 集合 简单逻辑用语 函数 不等式 导数及应用不等式 导数及应用 集合与简单逻辑用语 第1讲 1 命题 x0 的否定是 2 已知集合 M x x 3 N x log2x 1 则 M N 3 若命题 x R R 使得 x2 a 1 x 1 0 是真命题 则实数 a 的取值范围是 4 若集合 A y y x 1 x 1 B y y 2 0 x 1 则 A B 1 3 1 x 5 已知 a b 均为实数 设集合 A xa x a B Error 且 A B 都是集合 4 5 x 0 x 1 的子集 如果把 n m 叫做集合 x m x n 的 长度 那么集合 A B 的 长 度 的最小值是 6 已知条件 p x2 x 60 关于 x 的不等式 且 p 是 q 的充分不 必要条件 则实数 m 的取值范围是 7 某班共 30 人 其中 15 人喜爱篮球运动 10 人喜爱兵乓球运动 8 人对这两项运动 都不喜爱 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 8 设集合 M x y y N x y y x a 若 M N 则实数 a 16 x2 的取值范围是 9 记函数 f x 的定义域为 A g x lg x a 1 2a x a0 则实数 a 的取值范围为 5 函数 f x 的定义域为 x 2 1 log2 x 1 6 函数 f x 对于任意实数 x 满足条件 f x 2 若 f 2 则 f 2 012 1 f x 1 2 7 设函数 f x x 1 x a 的图象关于直线 x 1 对称 则实数 a 的值为 8 已知 t 为实常数 函数 y x2 2x t 在区间 0 3 上的最大值为 2 则 t 9 已知 f x 3x 并且 f a 2 18 g x 3ax 4x的定义域为区间 1 1 a R R 1 求函数 g x 的解析式 2 判断 g x 的单调性 3 若方程 g x m 有解 求实数 m 的取值范围 用心 爱心 专心4 10 设函数 f x 对 x y R R 都有 f x y f x f y 且 x 0 时 f x 0 f 1 2 1 求证 f x 是奇函数 2 试问在 3 x 3 时 f x 是否有最值 如果有 求出最值 如果没有 说明理 由 用心 爱心 专心5 基本初等函数 第3讲 1 lg22 lg2lg5 lg50 2 y loga 2 ax a 0 a 1 在 0 1 上是关于 x 的减函数 则 a 的取值范围是 3 不等式 2x2 2x 4 的解集为 1 2 4 函数 y ax 2 1 a 0 a 1 的图象必过定点坐标为 5 函数 f x x2 2ax 1 a2在区间 2 上是增函数 则实数 a 的取值范围 是 6 函数 f x ax2 bx 3a b 为偶函数 其定义域为 a 1 2a 则 f x 的值域为 7 已知定义在 R R 上的奇函数 f x 满足 f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 f 25 f 11 f 80 的大小关系是 8 函数 y logax 1 a 0 a 1 的图象恒过定点 A 若点 A 在直线 mx ny 1 0 mn 0 上 则 的最小值为 1 m 1 n 用心 爱心 专心6 9 已知函数 f x x2 x 3 在区间 1 2 上的最大值 M 最小值 m 当实数 p 为 1 2p 何值时 2M m 3 10 函数 f x loga x 3a a 0 且 a 1 当点 P x y 是函数 y f x 图象上的点 时 Q x 2a y 是函数 y g x 图象上的点 1 写出函数 y g x 的解析式 2 当 x a 2 a 3 时 恒有 f x g x 1 试确定 a 的取值范围 用心 爱心 专心7 函数的实际应用 第4讲 1 已知函数 f x Error 若 f x 2 则 x 2 一种新型电子产品投产 计划两年后使成本降低 36 那么平均每年应降低成本 3 方程 x2 2mx m2 1 0 的一根在 0 1 内 另一根在 2 3 内 则实数 m 的取值范 围是 4 若函数 f x ax x a a 0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 5 某公司将进价 8 元 个的商品按 10 元 个销售 每天可卖 100 个 若这种商品的销 售价每个上涨 1 元 销售量就减少 10 个 为了获得最大利润 此商品的销售价应定为每个 元 6 已知函数 f x ax 2a 1 当 x 1 1 时 f x 有正值也有负值 则实数 a 的 取值范围是 7 函数 y x2 a 2 x 3 x a b 的图象关于直线 x 1 对称 则 b 8 设函数 f x x x2 bx2 c 则下列命题中所有正确命题的序号是 当 b0 的解 集是 x 3 2 1 01234 y60 4 6 6 4 06 2 已知关于 x 的不等式 ax b0 的 ax b x 2 解集是 3 若变量 x y 满足约束条件Error 则 z x 2y 的最小值为 4 已知 x y R R 且 x 4y 1 则 x y 的最大值为 5 若 x 0 y 0 且 1 则 x y 的最小值是 1 x 4 y 6 当 x 1 2 时 不等式 x2 mx 4恒成立 则实数 x 的取值范围是 2x 1 x n n 1 用心 爱心 专心10 9 某隧道长 2 150 米 通过隧道的车速不能超过 20 米 秒 一个由 55 辆车身长都为 10 米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道 设车队的速度为 x 米 秒 根据安全和 车流的需要 相邻两车均保持米的距离 其中 a 为常数且 a 1 自第一辆车 a 6x2 1 3x 1 2 车头进入隧道至第 55 辆车车尾离开隧道所用时间为 y 秒 1 将 y 表示为 x 的函数 2 求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度 10 已知函数 f x 3x2 bx c 不等式 f x 0 的解集为 2 0 1 求函数 f x 的解析式 2 已知函数 g x f x mx 2 在 2 上单调增 求实数 m 的取值范围 3 若对于任意的 x 2 2 f x n 3 都成立 求实数 n 的最大值 用心 爱心 专心11 导数及其应用 第6讲 1 设 y f x 是二次函数 方程 f x 0 有两个相等的实根 且 f x 2x 2 则 y f x 的表达式是 第 2 题 2 如图 函数 y f x 的图象在点 P 处的切线是 l 则 f 2 f 2 3 曲线 y x3 2x 1 在点 1 0 处的切线方程为 4 设点 P 是曲线 y x3 x 上的任意一点 在 P 点处切线倾斜角为 则角 3 2 3 的取值范围是 5 已知函数 f x lnx 2x2 ax 1 是单调递增函数 则实数 a 的取值范围是 6 已知函数 f x x3 12x 8 在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为 M m 则 M m 7 若方程 x3 3x a 0 有 3 个不同的实根 则实数 a 的取值范围是 8 已知函数 f x ax3 3x 1 对于 x 1 1 总有 f x 0 成立 则实数 a 用心 爱心 专心12 9 设 t 0 点 P t 0 是函数 f x x3 ax 与 g x bx2 c 的图象的一个公共点 两函数的图象在点 P 处有相同的切线 1 用 t 表示 a b c 2 若函数 y f x g x 在 1 3 上单调递减 求实数 t 的取值范围 10 已知 a 0 b R R 函数 f x x3 ax g x x2 bx f x g x 是 f x g x 的导函数 若 f x g x 0 在区间 1 上恒成立 1 求实数 b 的取值范围 2 当 b 取最小值时 讨论函数 h x f x g x 在 1 上的单调性 用心 爱心 专心13 滚动练习 一 1 幂函数 f x 的图象过点 那么 f 8 4 1 2 2 命题 x R R 使得 x2 2x 5 0 的否定是 3 已知函数 f x Error 则不等式 x x 1 f x 1 1 的解集是 4 函数 f x 的最大值为 x x 1 5 函数 f x ln 的定义域为 1 2x2 3x 2 x2 3x 4 1 x 6 方程 2 x x2 3 的实数解的个数为 7 对于满足 0 a 4 的实数 a 使 x2 ax 4x a 3 恒成立的 x 取值范围是 8 若存在过点 1 0 的直线与曲线 y x3和 y ax2 x 9 a 0 都相切 则实数 15 4 a 9 已知 f 3x 4xlog23 233 则 f 2 f 4 f 8 f 28 的值等于 10 设 a 1 对于任意的 x a 2a 都有 y a a2 满足方程 logax logay 3 这 时 a 的取值范围为 11 如果条件 p x 4 6 条件 q x2 2x 1 m2 0 m 0 且p 是q 的必要 而不充分条件 求实数 m 的取值范围 12 设二次函数 f x x2 ax a 方程 f x x 0 的两实根 x1和 x2满足 0 x1 x2 1 1 求实数 a 的取值范围 2 试比较 f 0 f 1 f 0 与的大小 并说明理由 1 16 13 水库的蓄水量随时间而变化 现用 t 表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历 年数据 某水库的蓄水量 V 单位 亿立方米 关于 t 的近似函数关系式为 V t Error 1 该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期 以 i 1 t i 表示第 i 月份 i 1 2 12 同一年内哪几个月份是枯水期 用心 爱心 专心14 2 求一年内该水库的最大蓄水量 取 e 2 7 计算 14 已知函数 f x Error 1 求 f x 的值域 2 设函数 g x ax 2 x 2 2 若对于任意 x1 2 2 总存在 x0 2 2 使得 g x0 f x1 成立 求实数 a 的取值范围 专题一 集合 简单逻辑用语 函数 不等式 导数及应用 第 1 讲 集合与简单逻辑用语 1 x 0 有 x2 0 2 2 3 解析 M 3 N 2 M N 2 3 3 1 3 解析 不等式对应的二次函数开口向上 则 a 1 2 4 0 4 1 1 解析 集合 A 1 1 B 1 A B A 5 解析 Error 0 a Error b 1 利用数轴 分类讨论可得集合 2 15 1 5 1 3 A B 的 长度 的最小值为 1 3 1 5 2 15 6 解析 p x2 x 6 0 为真 则不等式的解集为 A 3 2 由 1 2 1 3 q mx 1 0 得 m 0 时 解集为 B R R m 0 时 解集为 B m 0 时 解集 1 m 为 B m 0 时 A B 成立 m 0 时 3 0 m m 0 时 1 m 1 m 1 3 2 m 0 综上 m 1 m 1 2 1 2 1 3 7 12 解析 这是一个典型的用韦恩图来求解的问题 如图 设两者都喜欢的人数为 x 则只喜爱篮球的有 15 x 只喜爱乒乓球的有 10 x 由此可得 15 x 10 x x 8 30 解得 x 3 所以 15 x 12 即所求人数为 12 8 4 4 解析 两集合分别表示半圆和直线 画图利用几何性 2 质可得答案 9 解 1 2 0 0 0 x 1 x 1 0 且 x 3 x 1 2x 2 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 或 x 1 集合 A x x 1 或 x 1 2 x a 1 2a x 0 a 1 x a 1 x 2a 0 a 1 2a a 1 2a x a 1 不等式的解为 2a x a 1 集合 B x 2a x a 1 B A 用心 爱心 专心15 2a 1 或 a 1 1 a 或 a 2 又 a0 且 a 1 有两个零点 就是函数 y ax a 0 且 a 1 与函数 y x a 有两 个交点 由图象可知当 0 a 1 时两函数只有一个交点 不符合要求 当 a 1 时 因为函 数 y ax a 1 的图象过点 0 1 而直线 y x a 所过的点一定在点 0 1 的上方 所以 一定有两个交点 所以实数 a 的取值范围是 a 1 5 14 解析 设每个销售定价为 x 元 此时销售量为 100 10 x 10 则利润 y x 8 100 10 x 10 10 x 8 20 x 10 2 360 当且仅当 x 8 20 x 2 x 14 时取等号 6 解析 由题意得 f 1 f 1 0 即 3a 1 a 1 1 1 3 0 1 a 1 3 7 6 解析 Error b 6 8 解析 函数 f x x x2 bx2 c 为偶函数 当 x 0 时 f x x3 bx2 c b 0 f x 3x 0 对 x 0 恒成立 x 0 时 x 2b 3 f x 在 R R 上有最大值 f 0 c 由于 f x 为偶函数 不正确 取 b 3 c 2 正确 若 b 0 取 a 0 若 b 0 取 a 故一定存在实数 a 使 f x 在 a 上单调 2b 3 减 9 1 证明 由条件知 f 2 4a 2b c 2 恒成立 又 x 2 时 f 2 4a 2b c 2 2 2 2 恒成立 f 2 2 1 8 2 解 Error 4a c 2b 1 b c 1 4a 1 2 又 f x x 恒成立 即 ax2 b 1 x c 0 恒成立 a 0 2 4a 1 4a 0 8a 1 2 0 1 2 1 解得 a b c f x x2 x 1 8 1 2 1 2 1 8 1 2 1 2 3 解 解法 1 由分析条件知道 只要 f x 图象 在 y 轴右侧部分 包含与 y 轴交点 总 在直线 y x 上方即可 也就是直线的斜率 小于直线与抛物线相切时的斜率 Error m 2 1 4 m 2 解得 m 1 2 2 解法 2 g x x2 x 在 x 0 必须恒成立 1 8 1 2 m 2 1 2 1 4 用心 爱心 专心19 即 x2 4 1 m x 2 0 在 x 0 恒成立 0 即 4 1 m 2 80 故 f x 1 f x 单调递减 当 x 7 时 掌握程度的增长量 f x 1 f x 总是下降 2 解 由题意可知 0 1 15ln 0 85 整理得 e0 05 a a 6 a a 6 解得 a 6 20 50 6 123 0 123 0 121 127 e0 05 e0 05 1 由此可知 该学科是乙学科 用心 爱心 专心20 第 5 讲 不等式及其应用 1 2 3 2 1 2 解析 由已知得 a 0 b a 0 即为 0 得 0 ax b x 2 ax a x 2 x 1 x 2 得 1 x 2 3 6 解析 作出可行域 求出凸点坐标分别为 3 3 4 5 5 1 6 3 则最优解为 4 5 或让直线 t x 2y 平行移动 当直线过点 4 5 时 目标函数取最小值 4 解析 x y R R 1 x 4y 2 xy 当且仅当 x 4y 1 16x 4y 1 16 即 x y 时取等号 1 2 1 8 5 9 解析 x 0 y 0 1 x y x y 5 5 2 1 x 4 y 1 x 4 y y x 4x y 9 当且仅当 即 x 3 y 6 时取等号 y x 4x y y x 4x y 6 m 5 解析 x2 mx 4 0 x 1 2 可得 m 而函数 y 在 x 4 x x 4 x 1 2 上单调增 m 5 7 解析 变量 x y 满足约束条件构成的区域是以 1 3 1 6 三点 9 5 6 5 2 9 2 为顶点的三角形区域 含边界 表示区域内的点与原点连线的斜率 y x y x 9 5 6 8 x 1 解析 1 1 当 n 无限变大时 的值趋近于 1 不等式要 n n 1 1 n 1 n n 1 恒成立 显然 x 等价于 1 且 x 故 x 1 1 2 2x 1 x n n 1 2x 1 x 1 2 9 解 1 y 9ax 18 0 x 20 a 1 2 150 10 55 a 6x2 1 3x 55 1 x 2 700 x 1 2 2 当 a 1 时 y 2 18 180 18 3 4 2 700 x 9ax 3a 当且仅当 9ax 即 x 时取等号 2 700 x 300 a 即当 x 时 ymin 180 18 300 a3a 当 a 时 y 9a 0 故 y f x 在 0 20 上是减函数 1 2 3 4 2 700 x2 故当 x 20 时 ymin 180a 18 153 180a 2 700 20 答 若 a 则当车队速度为 20 m s 时 通过隧道所用时间最少 1 2 3 4 用心 爱心 专心21 若 a 1 时 则当车队速度为 m s 时 通过隧道所用时间最少 3 4 300 a 10 解 1 Error Error f x 3x2 6x 2 g x 3 2 2 3 2 2 m 18 x 1 m 6 1 m 6 1 m 6 3 f x n 3 即 n 3x2 6x 3 而 x 2 2 时 函数 y 3x2 6x 3 的最 小值为 21 n 21 实数 n 的最大值为 21 第 6 讲 导数及其应用 1 f x x2 2x 1 2 解析 f 2 切线方程为 y x f 2 9 8 4 5 4 9 8 9 8 9 2 9 4 3 y x 1 解析 y 3x2 2 k y x 1 1 则切线方程 y 0 1 x 1 x y 1 0 4 解析 y 3x2 tan 0 0 2 2 3 333 且 结合正切函数图象可得答案 2 5 a 4 解析 x 0 f x 4x a 0 恒成立 由基本不等式 1 x 4x a 4 a 当且仅当 x 时取等号 a 4 0 a 4 1 x 1 2 6 32 解析 f x x3 12x 8 f x 3 x 2 x 2 则 f x 的单调增区间是 3 2 2 3 减区间是 2 2 f 3 17 f 2 8 f 3 1 f 2 24 M 24 m 8 7 2 2 解析 设 f x x3 3x a f x 3 x 1 x 1 f x 在 x 1 取极大值 在 x 1 时取极小值 Error Error 2 a 2 8 4 解析 若 x 0 则不论 a 取何值 f x 0 显然成立 当 x 0 即 x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0 可化为 a 3 x2 1 x3 设 g x 则 g x 所以 g x 在区间上单调递增 在区 3 x2 1 x3 3 1 2x x4 0 1 2 间上单调递减 因此 g x max g 4 从而 a 4 1 2 1 1 2 当 x 0 即 x 1 0 时 f x ax3 3x 1 0 可化为 a 设 g x 3 x2 1 x3 则 g x 0 显然 g x 在区间 1 0 上单调递增 因此 g x 3 x2 1 x3 3 1 2x x4 min g 1 4 从而 a 4 综上 a 4 9 解 1 因为函数 f x g x 的图象都过点 t 0 所以 f t 0 即 t3 at 0 因为 t 0 所以 a t2 g t 0 即 bt2 c 0 所以 c ab 又因为 f x g x 在点 t 0 处有相同的切线 所以 f t g t 而 f x 3x2 a g x 2bx 所以 3t2 a 2bt 将 a t2代入上式得 b t 因此 c ab t3 故 a t2 b t c t3 2 y f x g x x3 t2x tx2 t3 y 3x2 2tx t2 3x t x t 因为函 数 y f x g x 在 1 3 上单调递减 所以Error 即Error 解得 t 9 或 t 3 所以 t 用心 爱心 专心22 的取值范围为 9 3 10 解 1 f x x3 ax g x x2 bx f x 3x2 a g x 2x b x 1 f x g x 0 即 x 1 3x2 a 2x b 0 a 0 3x2 a 0 x 1 2x b 0 即 x 1 b 2x b 2 则所求实数 b 的取值范围是 2 2 b 的最小值为 2 h x x3 x2 ax 2x h x 3x2 2x a 2 3 2 a x 1 3 当 a 时 h x 3x2 2x a 2 0 对 x 1 恒成立 h x 在 1 7 3 7 3 上单调增 当 0 a 时 由 h x 3x2 2x a 2 0 得 7 3 x 1 h x 在上单调增 在 1 7 3a 3 1 1 7 3a 3 上单调减 在上单调增 1 7 3a 3 1 7 3a 3 1 7 3a 3 用心 爱心 专心23 滚动练习 一 1 解析 f x x f 4 f x x f 8 2 4 1 2 1 2 1 2 2 4 2 x R R 都有 x2 2x 5 0 3 0 解析 x 1 时 不等式可化为 x x 1 x 1 1 1 x2 1 x 1 x 1 时 不等式可化为 x x 1 1 x 0 1 x 0 综上 x 0 4 解析 考虑 x 0 时 f x 当且仅当 x 1 时取等号 1 2 x x 1 1 x 1 x 1 2 5 4 0 0 1 解析 Error 上面式中等号不能同时成立 6 2 解析 在同一个直角坐标系中作出函数 y x y 3 x2的图象 两个函数图 1 2 象有两个交点 7 1 3 解析 x2 ax 4x a 3 可化为 x 1 a x2 4x 3 0 对 a 0 4 恒成立 设 f a x 1 a x2 4x 3 Error 解得 x 1 或 x 3 8 1 或 解析 设过 1 0 的直线与 y x3相切于点 x0 x 所以切线方程 25 643 0 为 y x 3x x x0 即 y 3x x 2x 又 1 0 在切线上 则 x0 0 或 x0 当 3 02 02 03 0 3 2 x0 0 时 由直线 y 0 与抛物线 y ax2 x 9 相切可得 a 当 x0 时 由直线 15 4 25 64 3 2 y x 与曲线 y ax2 x 9 相切可得 a 1 27 4 27 4 15 4 9 2 008 解析 令 3x t 则 x log3t 则 f 2 f 4 f 8 f 28 4log23 log321 2 8 233 8 2 008 10 a 2 解析 由 logax logay 3 得 y 函数 y 在 x a 2a 上单调递 a3 x a3 x 减 得其值域为 由题知 a a2 a 2 a3 2a a3 a a3 2a a3 a 11 解 p 为真 则 x 4 6 的解集为 A 2 10 q 为真 x2 2x 1 m2 0 m 0 的解集为 B 1 m 1 m p 是q 的必要而不充分条件 p 是 q 的充分而不必要条件 A 2 10 B 1 m 1 m Error 两式中等号不能同时成立 又 m 0 m 9 12 解 1 令 g x f x x x2 a 1 x a 则由题意可得Error Error 0 a 3 2 故所求实数 a 的取值范围是 2 0 3 2 2 2 f 0 f 1 f 0 2a2 令 h a 2a2 当 a 0 时 h a 单调递增