2012全国各地中考数学试题分类解析汇编 定值问题

用心 爱心 专心1 精编版精编版 2012 2012 全国各地中考数学试题分类解析汇编定值问题全国各地中考数学试题分类解析汇编定值问题 1 2012 江西南昌 8 分 如图 已知二次函数 L1 y x2 4x 3 与 x 轴交于 A B两点 点 A 在点 B 左边 与 y 轴交于点 C 1 写出二次函数 L1的开口方向 对称轴和顶点坐标 2 研究二次函数 L2 y kx2 4kx 3k k 0 写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质 若直线 y 8k 与抛物线 L2交于 E F 两点 问线段 EF 的长度是否发生变化 如果不会 请求出 EF 的长度 如果会 请说明理由 答案 解 1 抛物线 2 2 yx4x3x21 二次函数 L1的开口向上 对称轴是直线 x 2 顶点坐标 2 1 2 二次函数 L2与 L1有关图象的两条相同的性质 对称轴为 x 2 都经过 A 1 0 B 3 0 两点 线段 EF 的长度不会发生变化 直线 y 8k 与抛物线 L2交于 E F 两点 kx2 4kx 3k 8k k 0 x2 4x 3 8 解得 x1 1 x2 5 EF x2 x1 6 线段 EF 的长度不会发生变化 考点 二次函数综合题 二次函数的性质 分析 1 抛物线 y ax2 bx c 中 a 的值决定了抛物线的开口方向 a 0 时 抛物线的 开口向上 a 0 时 抛物线的开口向下 抛物线的对称轴方程和顶点坐标 可化为顶点式 或用公式求解 2 新函数是由原函数的各项系数同时乘以 k 所得 因此从二次函数的图象与解 析式的系数的关系入手进行分析 用心 爱心 专心2 联立直线和抛物线 L2的解析式 先求出点 E F 的坐标 从而可表示出 EF 的 长 若该长度为定值 则线段 EF 的长不会发生变化 2 2012 江苏苏州 9 分 如图 正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合 将正方 形 ABCD 以 1cm s 的速度沿 FG 方向移动 移动开始前点 A 与点 F 重合 在移动过程中 边 AD 始终与 边 FG 重合 连接 CG 过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P 连接 PD 已知正方形 ABCD 的边长为 1cm 矩形 EFGH 的边 FG GH 的长分别为 4cm 3cm 设正方形移动时间为 x s 线段 GP 的长为 y cm 其中 0 x 2 5 试求出 y 关于 x 的函数关系式 并求出 y 3 时相应 x 的值 记 DGP 的面积为 S1 CDG 的面积为 S2 试说明 S1 S2是常数 当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时 求线段 PD 的长 答案 解 1 CG AP CGD PAG 则tanCGD tanPAG CDPG GDAG GF 4 CD DA 1 AF x GD 3 x AG 4 x 1y 3x4x 即 4x y 3x y 关于 x 的函数关系式为 4x y 3x 当 y 3 时 4x 3 3x 解得 x 2 5 2 12 11 4x11113 S GP GD 3xx 2S GD CD 3x1x 22 3x22222 12 1131 SS x 2x 2222 为常数 用心 爱心 专心3 3 延长 PD 交 AC 于点 Q 正方形 ABCD 中 AC 为对角线 CAD 45 PQ AC ADQ 45 GDP ADQ 45 DGP 是等腰直角三角形 则 GD GP 4x 3x 3x 化简得 2 x5x 5 0 解得 55 x 2 0 x 2 5 55 x 2 在 Rt DGP 中 0 GD552 10 PD 2 3x 2 3 22cos45 考点 正方形的性质 一元二次方程的应用 等腰直角三角形的性质 矩形的性质 解 直角三角形 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析 1 根据题意表示出 AG GD 的长度 再由tanCGD tanPAG 可解出 x 的值 2 利用 1 得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1 S2 然后作差即可 3 延长 PD 交 AC 于点 Q 然后判断 DGP 是等腰直角三角形 从而结合 x 的范 围得出 x 的值 在 Rt DGP 中 解直角三角形可得出 PD 的长度 3 2012 山东潍坊 11 分 如图 已知抛物线与坐标轴分别交于 A 2 O B 2 0 C 0 l 三点 过坐标原点 O 的直线 y kx 与抛物线交于 M N 两点 分别过点 C D 0 2 作平行于 x 轴的直线 1 l 2 l 1 求抛物线对应二次函数的解析式 2 求证以 ON 为直径的圆与直线 1 l相切 3 求线段 MN 的长 用 k 表示 并证明 M N 两点到直线 2 l的距离之和等于线段 MN 的 长 用心 爱心 专心4 答案 解 1 设抛物线对应二次函数的解析式为 y ax2 bx c 则 4a2b c 0 4a 2b c 0 c 1 解得 1 a 4 b 0 c 1 抛物线对应二次函数的解析式 所以 2 1 y x1 4 2 设 M x1 y1 N x2 y2 因为点 M N 在抛物线上 22 1122 11 y x1y x1 44 x22 4 y2 1 又 2 2222 22222 ONxy4 y1yy2 2 ONy2 又 y2 l ON 2 y2 设 ON 的中点 E 分别过点 N E 向直线 1 l作垂线 垂足为 P F 则 2 2yOCNP EF 22 ON 2EF 即 ON 的中点到直线 1 l的距离等于 ON 长度的一半 以 ON 为直径的圆与 1 l相切 3 过点 M 作 MH NP 交 NP 于点 H 则 22 222 2121 MNMHNHxxyy 又 y1 kx1 y2 kx2 y2 y1 2 k2 x2 x1 2 MN2 1 k2 x2一 xl 2 又 点 M N 既在 y kx 的图象上又在抛物线上 用心 爱心 专心5 2 1 kx x1 4 即 x2 4kx 4 0 x2 x1 4k x2 x1 4 MN2 1 k2 x2一 xl 2 1 k2 x2 xl 2 4x2 xl 16 1 k2 2 MN 4 1 k2 延长 NP 交 2 l于点 Q 过点 M 作 MS 2 l交 2 l于点 S 则 MS NQ y1 2 y2 2 22 12 11 x1 x1 4 44 2 22222 121212 111 x x 2 x x2xx 2 16k 8 2 4k 4 4 1 k 444 MS NQ MN 即 M N 两点到 2 l距离之和等于线段 MN 的长 考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 中点坐标的求法 直线与圆相切的条件 一元二次方程根与系数的关系 勾股定理 分析 1 根据点在曲线上 点的坐标满足方程的关系 用待定系数法即可求出抛物线 对应二次函数的解析式 2 要证以 ON 为直径的圆与直线 1 l相切 只要证 ON 的中点到直线 1 l的距离等于 ON 长的一半即可 3 运用一元二次方程根与系数的关系 求出 MN 和 M N 两点到直线 2 l的距离之 和 相比较即可 4 2012 浙江义乌 12 分 如图 1 已知直线 y kx 与抛物线 2 422 y x x 273 交于点 A 3 6 1 求直线 y kx 的解析式和线段 OA 的长度 2 点 P 为抛物线第一象限内的动点 过点 P 作直线 PM 交 x 轴于点 M 点 M O 不重合 交直线 OA 于点 Q 再过点 Q 作直线 PM 的垂线 交 y 轴于点 N 试探究 线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值 如果是 求出这个定值 如果不是 说明理由 3 如图 2 若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点 点 E 在线段 OA 上 与点 O A 不重合 点 D m 0 是 x 轴正半轴上的动点 且满足 BAE BED AOD 继续探究 m 在什么范 围时 符合条件的 E 点的个数分别是 1 个 2 个 用心 爱心 专心6 答案 解 1 把点 A 3 6 代入 y kx 得 6 3k 即 k 2 y 2x 22 OA3 6 3 5 2 线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值 理由如下 如图 1 过点 Q 作 QG y 轴于点 G QH x 轴于点 H 当 QH 与QM 重合时 显然 QG 与 QN 重合 此时 QMQHQH tanAOM 2 QNQGOH 当 QH 与 QM 不重合时 QN QM QG QH 不妨设点 H G 分别在 x y 轴的 正半轴上 MQH GQN 又 QHM QGN 90 QHM QGN QMQHQH tanAOM 2 QNQGOH 当点 P Q 在抛物线和直线上不同位置时 同理可得 QM 2 QN 线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值 3 如图 2 延长 AB 交 x 轴于点 F 过点 F 作 FC OA 于点 C 过点 A 作 AR x 轴于点 R AOD BAE AF OF OC AC 15 OA 5 22 ARO FCO 90 AOR FOC AOR FOC OFAO3 5 5 OCOR3 OF 515 55 22 用心 爱心 专心7 点 F 15 2 0 设点 B x 2 422 x x 273 过点 B 作 BK AR 于点 K 则 AKB ARF BKAK FRAR 即 2 422 6x x x3273 7 536 解得 x1 6 x2 3 舍去 点 B 6 2 BK 6 3 3 AK 6 2 4 AB 5 在 ABE 与 OED 中 BAE BED ABE AEB DEO AEB ABE DEO BAE EOD ABE OED 设 OE x 则 AE 3 5 x 0 x3 5 由 ABE OED 得 AEOD ABOE 即 3 5xm 5x 2 2 113 5139 m x 3 5x x x x5 0 x3 5 555524 顶点为 39 x5 24 如图 3 当 9 m 4 时 OE x 3 5 2 此时 E 点有 1 个 当 9 0m 4 时 任取一个 m 的值都对应着两个 x 值 此时 E 点有 2 个 当 9 m 4 时 E 点只有 1 个 当 9 0m 4 时 E 点有 2 个 考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 锐角三角函数定义 相似三角 形的判定和性质 二次函数的性质 分析 1 利用待定系数法求出直线 y kx 的解析式 根据 A 点坐标用勾股定理求出线段 OA 的长度 2 如图 1 过点 Q 作 QG y 轴于点 G QH x 轴于点 H 构造相似三角形 QHM 与 QGN 将线段 QM 与线段 QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比 即 用心 爱心 专心8 QMQHQH tanAOM 2 QNQGOH 为定值 需要注意讨论点的位置不同时 这个结论依然成 立 3 由已知条件角的相等关系 BAE BED AOD 可以得到 ABE OED 在相 似三角形 ABE 与 OED 中 运用线段比例关系之前需要首先求出 AB 的长度 如图 2 可 以通过构造相似三角形 或者利用一次函数 直线 的性质求得 AB 的长度 设 OE x 则 由相似边的比例关系可以得到 m 关于 x 的表达式 2 139 m x5 524 这是一个二次函 数 借助此二次函数图象 如图 3 可见 m 在不同取值范围时 x 的取值 即 OE 的长度 或 E 点的位置 有 1 个或 2 个 这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质 问题 5 2012 广西玉林 防城港 12 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是 0 4 现有两动点 P Q 点 P 从点 O 出发沿线段 OC 不包括端点 O C 以每 秒 2 个单位长度的速度 匀速向点 C 运动 点 Q 从点 C 出发沿线段 CD 不包括端点 C D 以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点 D 运动 点 P Q 同时出发 同时停止 设运动时间为 t 秒 当 t 2 秒时 PQ 52 1 求点 D 的坐标 并直接写出 t 的取值范围 2 连接 AQ 并延长交x轴于点 E 把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 F 连接 EF 则 AEF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化 若变化 求出 S 与 t 的函数关系式 若不变化 求出 S 的值 3 在 2 的条件下 t 为何值时 四边形 APQF 是梯形 答案 解 1 由题意可知 当 t 2 秒 时 OP 4 CQ 2 在 Rt PCQ 中 由勾股定理得 PC 2 222 PQCQ2 52 4 OC OP PC 4 4 8 用心 爱心 专心9 又 矩形 AOCD A 0 4 D 8 4 t 的取值范围为 0 t 4 2 结论 AEF 的面积 S 不变化 AOCD 是矩形 AD OE AQD EQC CECQ ADDQ 即 CEt 84t 解得 CE 8t 4t 由翻折变换的性质可知 DF DQ 4 t 则 CF CD DF 8 t S S梯形 AOCF S FCE S AOE 1 2 OA CF OC 1 2 CF CE 1 2 OA OE 1 2 4 8 t 8 1 2 8 t 8t 4t 1 2 4 8 8t 4t 化简得 S 32 为定值 所以 AEF 的面积 S 不变化 S 32 3 若四边形 APQF 是梯形 因为 AP 与 CF 不平行 所以只有 PQ AF 由 PQ AF 可得 CPQ DAF CP AD CQ DF 即 8 2t 8 t 4 t 化简得 t2 12t 16 0 解得 t1 6 25 t2 62 5 由 1 可知 0