平面及其基本性质

1 14 1 平面及其基本性质平面及其基本性质 教学目标 教学目标 1 理解平面的概念 会画出平面和用字母表示平面 2 能用集合符号表示点与直线 点与平面 直线与平面 平面与平面的关系 3 掌握平面性质的三条公理和推论并知道其作用 会证明简单的共线和共面问题 教学重点 教学重点 平面的无限延展性和揭示平面基本性质的三条公理及推论 教学难点 教学难点 三个推论的证明和共面问题的证明 教学过程 教学过程 一 预习反馈 1 三个问题 1 你能画出一个四边形 使它的对角线所在的直线不相交吗 空间四边形 2 过任意一点 你能引出三条两两垂直的直线吗 3 你能用六根粉笔在桌上搭出四个全等的三角形吗 2 引出立体几何与平面几何的不同和联系 1 从集合的观点看 立体图形和平面图形一样是点的集合 构成平面图形的点是在同一平面上的 而 构成立体图形的点不全在一个平面上 2 立体几何研究的对象是空间图形 是平面几何的扩充 3 立体几何和平面几何有着紧密的联系 平面几何的概念和性质在立体几何中对于同一平面内的图形 依然成立 但在空间不一定成立 例如 过直线上一点有且只能引一条直线与它垂直 过直线外一点只能作一条直线与它平行 垂直于同一条直线的两条直线必平行 二 新课 一 平面的概念 1 生活中的桌面 墙面 湖面都是平面的形象 在数学中我们把平面抽象为 无厚度 无边界在空间中可以无限延展的无厚度 无边界在空间中可以无限延展的 平平 的面 的面 注 注 直线是往两端无限延伸 而平面是可以往四面八方无限延伸的 2 2 表示方法 1 字母表示 平面可以用一个大写字母或小写的希腊字母表示 也可以用平面上的三个点 或三个以 上 的字母表示 比如 平面 M 平面 平面 ABCD 等 2 图像 画平面可以画它的局部 画出一个有一个角为的平行四边形 45 垂直 水平 斜放 3 点和直线 平面的位置关系符号表示 点 A 在直线 上 点 B 不在直线 上 lAl lBl 点 A 在平面上 点 B 不在平面上 A B 4 直线和平面位置关系 直线和平面位置关系 1 直线 直线 在平面在平面上 或平面上 或平面经过直线经过直线 直线 所有的点都在平面上 l ll 记作 l 2 直线 直线 与平面与平面相交于点相交于点 A 直线 与平面有一个公共点 A 记作 l l lA 3 直线 直线 与平面与平面平行 平行 直线 与平面没有公共点 记作 l l lor l A 注 注 2 3 也叫做直线 在平面外 l 5 完成课后练习 14 1 1 二 公理公理 1 1 公理 1 如果直线 上有两点在一个平面内 那么直线 在平面上l l 集合语言表述 若 Al BlABl 且 作用 1 判断直线是否在平面内的理论依据 证明一条直线在一个平面内 只需证明直线上有两 点在平面内 2 也可鉴别一个面是否是平面 如木工检查工作物的表面是否平整 就用一把直尺紧靠表面 任意滑动 看直尺的边是否和表面处处密合 2 书例 1 已知若的中点 求证 学生自己看书 ABMAB 且M 3 3 完成课后练习 14 1 2 4 作业 把 14 1 节内所有的图形画一遍 补充 用符号表示下列语句 并画出示意图 1 直线与平面相交于点 A a 2 直线在平面外 a 3 直线在平面内 直线不过点 A a a 4 直线与直线相交于平面内一点 P ab 三 公理公理 2 1 平面与平面的位置关系 1 对于空间不同的两个平面 如果它们有公共点 则称平面与平面相交 记作 相交平面的画法 2 如果两个平面没有公共点 则称平面与平面平行 记作 or A 2 公理 2 如果不同的两个平面有一个公共点 A 那么的交集是过点 A 的直线 l 集合语言表述 若 l A Al 作用 1 说明两个不同平面相交于一条直线 有无数个公共点 2 如果两个不同的平面有一个公共点 则必定有经过该点的一条交线 找交线只要找两个公共 点 注意 不能写成点 A 四 公理公理 3 1 公理 3 不在同一直线上的三点确定一个平面 有且只有一个 集合语言表述 若直线存在唯一的平面 使得 c AB ABC 作用 1 如何确定一个平面 4 l4 D F E l3 l2 B C l1 A 2 判断两个平面是否重合 注 三点不共线 问题 问题 过空间一点 两点或者一直线上的三个点 或无数个点 能确定几个平面 2 三条推论 推论 1 一条直线和直线外一点确定一个平面 证明看书完成 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 2 3 的证明由学生课后作业完成 3 1 共面问题 共面问题 书例 2 已知直线两两相交 且三线不共点 求证 直线在同一个平面上 123 l ll且 123 l ll且 证明 因为直线两两相交 所以设 123 l ll且 12 llA 23 B ll 13 C ll 由推论 2 知 相交的直线可确定平面 12 ll且 即 又因为 12 ll 23 BlCl 所以 且 B C 3 B Cl 由公理 1 知 即直线在同一个平面上 3 l 123 l ll且 问题 如果没有规定三线不共点 那么三条直线两两相交能确定几个平面 练习 如果四条直线两两相交 且无三线共点呢 4 完成课后练习 14 2 思考 已知思考 已知 a b c da b c d 与与 a b ca b c 分别交于分别交于 A A B B C C 求证 求证 a b c da b c d 共面 共面 5 作业 习题册 14 1 A B 组 补充题 判断下列命题的真假 并把假命题改成真命题 1 两平面有一个公共点 A 就说平面相交于过 A 的任意一条直线 2 平面 ABC 与平面 DBC 相交于线段 BC 3 两平面有一个公共点 A 就说平面相交于点 A 记作 A 4 若 则平面重合 ABCABC 且且且且且 5 Q R O P B1 C1 D1 A1 B D C A A C B 5 如果两个平面有 A B 两个公共点 那么直线 AB 上的所有点都是这两个平面的公共点 6 四边形是平面图形 7 若四点不共面 则它们中任何三点都不在一直线上 五 证明问题 2 三点共线 三点共线 例 1 在正方体中 P Q R 分别在棱上 且相交于 1111 ABCDABC D 11 AB BB CC DP QRO 求证 三点共线 O B C 提示提示 要证明各点共线要证明各点共线 只要证明它们是两个平面的公共点只要证明它们是两个平面的公共点 3 三线共点 三线共点 例 4 空间四边形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD DA 上的点 已知 EF 与 HG 相交于 Q 点 求证 EF HG AC 三线共点 提示提示 要证明各线共点要证明各线共点 只要证明两线相交一点只要证明两线相交一点 而这个点在交线上而这个点在交线上 即第三条直线即第三条直线 结论结论 三个平面两两相交于三条直线三个平面两两相交于三条直线 若三条直线不平行若三条直线不平行 则它们相交于一点则它们相交于一点 理论依据 1 公理 1 判断或证明直线是否在平面内 2 公理 2 确定两个平面的交线 判定两平面相交 点共线 线共点 3 公理 3 推论 1 2 3 确定平面 证点 线共面的依据 也是作辅助面的依据 六 六 六 六 做交线 截面 做交线 截面 做交线 截面 做交线 截面 例 1 已知 画出过 A B C 三点的平面的交线l 与 A C B l 共点共点 共线共线 共面共面 问题问题 6 P N M B1 C1 D1 A1 B D C A A C R B C D Q P A P N MB1 C1 D1 A1 B D C A 例 2 如图 P Q R 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB AD BC 上的点 且 PQ 与 BD 不平行 试画出平面 PQR 与平面 BCD 的交线 例 3 在长方体中 画出 1111 ABCDA