广东省揭阳一中2013届高三数学上学期第二次段考试题新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年广东省揭阳一中高三 上 第二次段考数学试卷学年广东省揭阳一中高三 上 第二次段考数学试卷 一 选择题 单项选择题 每小题一 选择题 单项选择题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 5 分 2012 奉贤区一模 复数 i 为虚数单位 在复平面内对应的点所在象 限为 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 考点 复数代数形式的乘除运算 复数的代数表示法及其几何意义 分析 先将复数 z 进行复数的除法运算 分子和分母同乘以分母的共轭复数 整理后得到 代数形式 写出复数在复平面上对应的点的坐标 根据坐标的正负得到所在的象 限 解答 解 i 复数在复平面对应的点的坐标是 它对应的点在第四象限 故选 D 点评 判断复数对应的点所在的位置 只要看出实部和虚部与零的关系即可 把所给的式 子展开变为复数的代数形式 得到实部和虚部的取值范围 得到结果 2 5 分 2011 湖北 已知 U y y log2x x 1 P y y x 2 则 CuP A B 0 C 0 D 0 考点 对数函数的单调性与特殊点 补集及其运算 专题 计算题 分析 先求出集合 U 中的函数的值域和 P 中的函数的值域 然后由全集 U 根据补集的定义 可知 在全集 U 中不属于集合 P 的元素构成的集合为集合 A 的补集 求出集合 P 的 补集即可 解答 解 由集合 U 中的函数 y log2x x 1 解得 y 0 所以全集 U 0 同样 P 0 2 得到 CUP 故选 A 点评 此题属于以函数的值域为平台 考查了补集的运算 是一道基础题 3 5 分 2009 上海 2 a 2 是 实系数一元二次方程 x2 ax 1 0 有虚根 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 实系数一元二次方程 x2 ax 1 0 有虚根 a2 4 0 2 a 2 由此入手能够作 出正确选择 解答 解 实系数一元二次方程 x2 ax 1 0 有虚根 a2 4 0 解得 2 a 2 2 a 2 是 2 a 2 的必要不充分条件 故选 A 点评 本题考查必要条件 充分条件和充要条件的应用 解题时要认真审题 仔细解答 4 5 分 2010 衢州模拟 要得到函数 y 2sin2x 的图象 只需要将函数 的图象 A 向右平移个单位 B 向右平移个单位 C 向左平移个单位 D 向左平移个单位 考 点 函数 y Asin x 的图象变换 专 题 计算题 分 析 先根据两角和与差的公式将化简 再根据左加右减的原则进行 平移从而可得到答案 解 答 解 3 根据左加右减的原则 要得到函数 y 2sin2x 的图象只要将的图 象向左平移个单位 故选 D 点 评 本题主要考查两角和与差的公式和三角函数的平移 三角函数平移时一定要遵循左加 右减上加下减的原则 5 5 分 2012 辽宁 在等差数列 an 中 已知 a4 a8 16 则该数列前 11 项和 S11 A 58B 88C 143D 176 考点 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 根据等差数列的定义和性质得 a1 a11 a4 a8 16 再由 S11 运算求 得结果 解答 解 在等差数列 an 中 已知 a4 a8 16 a1 a11 a4 a8 16 S11 88 故选 B 点评 本题主要考查等差数列的定义和性质 等差数列的前 n 项和公式的应用 属于中档 题 6 5 分 2012 浙江 若正数 x y 满足 x 3y 5xy 则 3x 4y 的最小值是 A B C 5D 6 考点 基本不等式在最值问题中的应用 专题 计算题 压轴题 分析 将 x 3y 5xy 转化成 1 然后根据 3x 4y 3x 4y 展开后利用 基本不等式可求出 3x 4y 的最小值 解答 解 正数 x y 满足 x 3y 5xy 1 4 3x 4y 3x 4y 2 5 当且仅当 时取等号 3x 4y 5 即 3x 4y 的最小值是 5 故选 C 点评 本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用 解答本题的关键是由已知 变形 然后进行 1 的代换 属于基础题 7 5 分 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 a2 b2 bc sinC 2sinB 则 A A 30 B 60 C 120 D 150 考点 余弦定理的应用 专题 综合题 分析 先利用正弦定理 将角的关系转化为边的关系 再利用余弦定理 即可求得 A 解答 解 sinC 2sinB c 2b a2 b2 bc cosA A 是三角形的内角 A 30 故选 A 点评 本题考查正弦 余弦定理的运用 解题的关键是边角互化 属于中档题 8 5 分 2012 蓝山县模拟 在 ABC 所在的平面内有一点 P 满足 则 PBC 与 ABC 的面积之比是 A B C D 考点 向量在几何中的应用 专题 计算题 分析 根据向量条件 确定点 P 是 CA 边上的三等分点 从而可求 PBC 与 ABC 的面积之 比 解答 解 由 得 即 2 所以点 P 是 CA 边上的三等分点 5 故 S PBC S ABC 2 3 故选 C 点评 本题考查向量知识的运用 考查三角形面积 解题的关键是根据向量条件 确定点 P 是 CA 边上的三等分点 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 9 5 分 计算 考点 两角和与差的正切函数 专题 计算题 三角函数的求值 分析 逆用两角和的正切 tan20 tan40 tan 20 40 1 tan20 tan40 代 入所求关系式即可 解答 解 tan20 tan40 tan 20 40 1 tan20 tan40 故答案为 点评 本题考查两角和与差的正切函数 逆用两角和的正切是解决问题的关键 考查分析 转化与运算能力 属于中档题 10 5 分 已知点 P 的坐标 x y 满足 及 A 2 0 则 O 为 坐标原点 的最大值是 10 考点 简单线性规划的应用 专题 数形结合 不等式的解法及应用 分析 确定可行域 利用向量数量积公式 可得目标函数 结合可行域 即可得到结论 解答 解 可行域 如图所示 P x y A 2 0 2x 6 由 可得 x 的最大值为 5 O 为坐标原点 的最大值是 10 故答案为 10 点评 本题考查线性规划知识 考查数形结合的数学思想 属于中档题 11 5 分 已知函数 f x 在 R 上满足 f x 2f 2 x x2 8x 8 则曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 y 2x 1 考点 导数的几何意义 专题 计算题 压轴题 分析 先根据 f x 2f 2 x x2 8x 8 求出函数 f x 的解析式 然后对函数 f x 进行求导 进而可得到 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程的斜率 最 后根据点斜式可求导切线方程 解答 解 f x 2f 2 x x2 8x 8 f 2 x 2f x 2 x 2 8 2 x 8 f 2 x 2f x x2 4x 4 16 8x 8 将 f 2 x 代入 f x 2f 2 x x2 8x 8 得 f x 4f x 2x2 8x 8 x2 8x 8 f x x2 f x 2x y f x 在 1 f 1 处的切线斜率为 y 2 函数 y f x 在 1 f 1 处的切线方程为 y 1 2 x 1 即 y 2x 1 答案 y 2x 1 点评 本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义 函数在 某点的导数值等于该点的切线方程的斜率 7 12 5 分 在 ABC 中 ABC 的面积 则与夹角的取值 范围是 考点 数量积表示两个向量的夹角 专题 计算题 分析 利用向量的数量积求得表达式 根据三角形面积的范围 可以得到 B 的范围 然后 求题目所求夹角的取值范围 解答 解 所以 S sinB 所以 即 所以 这就是 夹角的取值范围 故答案为 点评 本题考查平面向量数量积的运算 数量积表示两个向量的夹角 注意向量的夹角的 应用 考查计算能力 是基础题 13 5 分 在数列 an 中 若 an 是单调递增数列 则 的 取值范围为 考点 数列的函数特性 专题 等差数列与等比数列 分析 若数列 an 为单调递增数列 则 an 1 an 0 对于任意 n N 都成立 得出 2n 1 2 0 采用分离参数法求实数 的取值范围即可 解答 解 an n2 2 n an 1 n 1 2 2 n 1 得 an 1 an 2n 1 2 若数列 an 为单调递增数列 则 an 1 an 0 对于任意 n N 都成立 即 2n 1 2 0 移向得 2 2n 1 2 只需小于 2n 1 的最小值即可 而易知当 n 1 时 8 2n 1 的最小值为 3 所以 2 3 解得 故答案为 点评 本题考查数列的函数性质及恒成立问题 考查了转化能力 计算能力 分离参数法 的应用 14 5 分 已知不等式在时恒成立 则 m 的取值范 围是 考点 函数恒成立问题 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 据不等式在时恒成立 转化为 在 0 x 上恒成立 然后结合图形 考虑零虹点位置可求出 m 的范围 解答 解 不等式在时恒成立 转化为在 0 x 上恒成立 即 x 0 时 函数 f x x2 图象恒在 g x logmx 的图象的下方 由图象可知 0 m 1 若 x 时 两图象相交 即 2 logm 解得 m 所以 m 范围为 故答案为 9 点评 本题主要考查了函数恒成立问题 同时考查了转化的思想和数形结合的思想 属于 中档题 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 大题 共大题 共 8080 分 写出详细解答过程 分 写出详细解答过程 15 15 分 2007 山东 设 an 是公比大于 1 的等比数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已 知 S3 7 且 a1 3 3a2 a3 4 构成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 令 bn lna3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 考点 等比数列的通项公式 数列的求和 专题 计算题 分析 1 由 an 是公比大于 1 的等比数列 S3 7 且 a1 3 3a2 a3 4 构成等差数列 我 们不难构造方程组 解方程组即可求出相关基本量 进而给出数列 an 的通项公 式 2 由 bn lna3n 1 n 1 2 我们易给出数列 bn 的通项公式 分析后可得 数 列 bn 是一个等差数列 代入等差数列前 n 项和公式即可求出 Tn 解答 解 1 由已知得 解得 a2 2 设数列 an 的公比为 q 由 a2 2 可得 又 S3 7 可知 即 2q2 5q 2 0 解得 由题意得 q 1 q 2 10 a1 1 故数列 an 的通项为 an 2n 1 2 由于 bn lna3n 1 n 1 2 由 1 得 a3n 1 23n bn ln23n 3nln2 又 bn 1 bn 3ln2n bn 是等差数列 Tn b1 b2 bn 故 点评 解答特殊数列 等差数列与等比数列 的问题时 根据已知条件构造关于基本量的 方程 解方程求出基本量 再根据定义确定数列的通项公式及前 n 项和公式 然后 代入进行运算 16 15 分 2010 深圳一模 已知函数 其中 为正常数 x R 的最小正周期 为 1 求 的值 2 在 ABC 中 若 A B 且 求 考 点 三角函数的周期性及其求法 两角和与差的正弦函数 y Asin x 中参数的物 理意义 专 题 计算题 分 析 1 先借助诱导公式把角化成相同的角 即 sin x cos x cos x cos x 然后借助二倍角公式化成一个角一个函数 的形式根据周期公式即可求出 的值 2 由三角函数值为 可求出相应的两个角 A B 由内角和求出 C 角 利用正弦定理 即可求出答案 解 答 解 1 11 4 分 而 f x 的最小正周期为 为正常数 解之 得 1 6 分 2 由 1 得 若 x 是三角形的内角 则 0 x 令 得 或 解之 得或 由已知 A B 是 ABC 的内角 A B 且 10 分 又由正弦定理 得 12 分 点 评 本题主要考查三角函数的诱导公式 二倍角公式和三角函数的周期及其求法 并结合 解斜三角形知识考查了正弦定理等知识 属于三角函数章节与解斜三角形的综合考 查 17 15 分 设函数 f x 的定义域为 R 对任意的实数 x y 都有 f x y f x f y 当 x 0 时 f x 0 且 f 1 1 1 判断并证明 f x 在 上的单调性 2 若数列 an 满足 0 a1 1 且 2 an 1 f 2 an 证明 对任意的 n N 0 an 1 考点 数学归纳法 抽象函数及其应用 数列与函数的综合 专题 综合题 等差数列与等比数列 点列 递归数列与数学归纳法 分析 1 f x 在 上单调递增 利用单调性的定义进行证明即可 2 利用赋值法 可得 an 1 f an 再用数学归纳法 证明即可 12 解答 1 解 f x 在 上单调递增 证明如下 设任意 x1 x2 且 x1 x2 则 x1 x2 0 f x1 x2 0 f x1 f x1 x2 x2 f x1 x2 f x2 f x2 即 f x1 f x2 f x 在 上单调递增 6 分 2 证明 在 f x y f x f y 中 令 x y 1 得 f 2 f 1 f 1 2 令 x y 0 得 f 0 f 0 f 0 f 0 0 令 y x 得 f x f x 0 即 f x f x 2 an 1 f 2 an 2 an 1 f 2 f an 2 an 1 2 f an an 1 f an 下面用数学归纳法证明 9 分 当 n 1 时 0 a1 1 不等式成立 假设当 n k k N 时 不等式成立 即 0 ak 1 则 f x 在 上单调递增 f 0 ak 1 f ak f 1 0 ak 1 1 即当 n k 1 时不等式也成立 综上 由数学归纳法原理可知对任意的 n N 0 an 1 14 分 点评 本题考查函数的单调性 考查数学归纳法的运用 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题 18 15 分 2012 杭州一模 已知向量 求及 若函数 f x 2t的最小值为 求 t 的值 考点 平面向量的综合题 专题 综合题 分析 利用向量的数量积公式 结合差角的余弦公式 可求数量积 将模平方 再 开方 即可求得模 f x cos2x 4tcosz 2cos2x 4tcosx 1 2 cosx t 2 2t2 1 再分类 讨论 利用函数的最小值 即可确定 t 的值 解答 解 cos sinsin cos2x 2 2 2cos2x 4cos2x cosx 0 1 13 2cosx f x cos2x 4tcosz 2cos2x 4tcosx 1 2 cosx t 2 2t2 1 当 t 0 时 函数在 0 1 上单调增 函数的最小值为 1 不满足 当 0 t 1 时 函数的最小值为 2t2 1 t 当 t 1 时 函数在 0 1 上单调减 函数的最小值为 1 4t t 不满足 综上可知 t 的值为 点评 本题考查向量的数量积 考查向量的模 考查函数的最值 解题的关键是确定函数 的解析式 19 15 分 2012 广州二模 已知函数 1 求函数 f x 的单调区间 2 是否存在实数 a 使得函数 f x 的极值大于 0 若存在 求 a 的取值范围 若不存 在 说明理由 考点 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 专题 综合题 分析 1 由 f x lnx ax2 x 可求得 f x 然后对 a 分 a 0 a 0 与 a 0 分类讨论 利用 f x 0 与 f x 0 可得其递增区间 与递减区间 2 由 1 可知 当 a 0 函数取到极大值 此时 f x 0 有两个不等的根 即 有两个不等的根构造函数 y lnx 与 则两个图象有两 个不同的交点 从而可求 a 的取值范围 解答 解 1 f x lnx ax2 x a R f x ax 1 x 0 当 a 0 时 f x 0 故 f x 在 0 上单调递增 当 a 0 时 由于 x 0 故 ax2 0 于是 ax2 x 1 0 f x 0 故 f x 在 0 上单调递增 当 a 0 时 f x 0 得 0 x 即 f x 在 0 上 单调递增 由 f x 0 得 x 即 f x 在 上单调递减 14 2 由 1 可知 当 a 0 x 时函数取到极大值 此时 x 0 f x 0 x f x 0 f x 0 有两个不等的根 即有两个不等的根 即有两个不等的根 构造函数 y lnx 与 则两个图象有两个不同的交点 y lnx 过 1 0 的对称轴为直线 顶点坐标为 解得 a 2 0 a 2 点评 本题考查