2011高考数学萃取精华试题（8）新人教A版

20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 8 8 1 山东三模山东三模 20 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O 一个长轴端点为 2 0 短轴端点和焦点所组成的四 边形为正方形 直线l与 y 轴交于点 0 mP 与椭圆 C 交于相异两点 A B 且PBAP2 求椭圆方程 求 m 的取值范围 20 解 由题意知椭圆的焦点在y轴上 设椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 由题意知2 a cb 又 222 cba 则2 b 所以椭圆方程为1 24 22 xy 4 分 设 2211 yxByxA 由题意 直线l的斜率存在 设其方程为mkxy 与椭圆方程联立 即 mkxy xy42 22 则0 4 2 4 2 042 2 222222 mkmkmmkxxk 由韦达定理知 2 2 21 2 21 2 4 2 2 k m xx k mk xx 6 分 又PBAP2 即有 2 2211 myxymx 2 22 2 2 221 221 21 2 2 2 2 4 2 2 k mk k m xxx xxx xx 8 分 整理得 222 28 49 mkm 又049 2 m时不成立 所以0 49 28 2 2 2 m m k 10 分 得4 9 4 2 m 此时0 所以 m 的取值范围为 2 3 2 3 2 2 12 分 21 已知关于x函数xa x xgln 2 R a 2 xgxxf 试讨论函数 xg的单调区间 若 0 a试证 xf在区间 1 0 内有极值 21 解 由题意 xg的定义域为 0 xa x xgln 2 22 22 x ax x a x xg i 若0 a 则0 xg在 0 上恒成立 0 为其单调递减区间 ii 若0 a 则由0 xg得 a x 2 2 0 a x 时 0 xg 2 a x时 0 xg 所以 2 0 a 为其单调递减区间 2 a 为其单调递增区间 6 分 2 xgxxf 所以 xg的定义域也为 0 且 2 3 2 2 222 2 x axx x ax xxgxxf 令 0 22 3 xaxxxh 因为0 a 则06 2 axxh 所以 xh为 0 上的单调递增函数 又 0 1 02 0 ahh 所以在区间 1 0 内 xh至少存在一个变号零点 0 x 且 0 x也 是 xf的变号零点 所以 xf在区间 1 0 内有极值 12 分 22 已知数列 n a满足 1 NnaS nn 其中 n S为数列 n a的前n项和 试求 n a的通项公式 若数列 n b满足 Nn a n b n n 试求 n b的前n项和公式 n T III 设 1 11 11 n nn c aa 数列 n c的前n项和为 n P 求证 2 1 2 nPn 22 解 nn aS 1 11 1 nn aS 得 nnn aaa 11 2 1 1 Nnaa nn 又1 n时 11 1aa 2 1 1 a 2 1 2 1 2 1 1 Nna nn n 4 分 2 Nnn a n b n n n n n nT2232221 32 1432 22322212 n n nT 得 1 132 2 21 21 2 22222 n n nn n n nT 整理得 1 22 1 NnnT n n 8 分 III 12 1 12 1 2 12 1 1 12 1 1 12 2 12 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 nnnn n n n n nn nn n aa c 10 分 又 1 1 12121 1 1 2 1 2 1 12 1 122 2 122 22 12 12 12 12 12 1 12 1 n n n nn n nn n nn nn nn 12 分 1 2 14322 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 NnnnnnP n n nn 14 分 2 江苏一模江苏一模 17 本小题满分 15 分 设等差数列 n a的前n项和为 n S 且 5133 349aaS 1 求数列 n a的通项公式及前n项和公式 2 设数列 n b的通项公式为 n n n a b at 问 是否存在正整数 t 使得 12m bbb 3 mm N 成等差数列 若存在 求出 t 和 m 的值 若不存在 请说 明理由 解 1 设等差数列 n a的公差为 d 由已知得 513 2 34 39 aa a 2 分 即 1 1 817 3 ad ad 解得 1 1 2 a d 4 分 故 2 21 nn anSn 6 分 2 由 1 知 21 21 n n b nt 要使 12m bbb 成等差数列 必须 21 2 m bbb 即 3121 2 3121 m ttmt 8 分 整理得 4 3 1 m t 11 分 因为 m t 为正整数 所以 t 只能取 2 3 5 当2t 时 7m 当3t 时 5m 当5t 时 4m 故存在正整数 t 使得 12m bbb 成等差数列 15 分 18 本小题满分 15 分 某地有三个村庄 分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处 已知 AB AC 6km 现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个 变电站 记 P 到三个村庄的距离之和为 y 1 设PBO 把 y 表示成 的函数关系式 2 变电站建于何处时 它到三个小区的距离之和最小 O BC A P 第 18 题图 解 1 在Rt AOB 中 6AB 所以OB OA 3 2 所以 4 ABC 由题意知 0 4 2 分 所以点 P 到 A B C 的距离之和为 3 22sin 22 3 23 2 tan 3 23 2 coscos yPBPA 6 分 故所求函数关系式为 2sin 3 23 20 cos4 y 7 分 2 由 1 得 2 2sin1 3 2 cos y 令0y 即 1 sin 2 又 0 4 从而 6 9 分 当 0 6 时 0y 当 64 时 0y 所以当 6 时 2sin 43 2 cos y 取得最小值 13 分 此时 3 2 tan6 6 OP km 即点 P 在 OA 上距 O 点6km 处 答 变电站建于距 O 点6km 处时 它到三个小区的距离之和最小 15 分 19 本小题满分 16 分 已知椭圆 22 22 0 yx Cab ab 1 的离心率为 6 3 过右顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 且 13 B 1 求椭圆 C 和直线 l 的方程 2 记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域 含边界 为 D 若 曲线 222 2440 xmxyym 与 D 有公共点 试求实数 m 的最小值 解 1 由离心率 6 3 e 得 22 6 3 ab a 即 22 3ab 2 分 又点 13 B 在椭圆 22 22 1 yx C ab 上 即 22 22 3 1 1 ab 4 分 解 得 22 124ab 故所求椭圆方程为 22 1 124 yx 6 分 由 2 0 13 AB 得直线 l 的方程为2yx 8 分 2 曲线 222 2440 xmxyym 即圆 22 2 8xmy 其圆心坐标为 2 G m 半径2 2r 表示圆心在直线 2y 上 半径为2 2的动圆 10 分 由于要求实数 m 的最小值 由图可知 只须考虑0m 的情形 设GA与直线 l 相切于点 T 则由 22 2 2 2 a 得4m 12 分 当4m 时 过点 42 G 与直线 l 垂直的直线 l 的方程为60 xy 解方程组 60 20 xy xy 得 24 T 14 分 因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1 2 所以切点TD 由图可知当GA过点 B 时 m 取得最小值 即 22 1 32 8m 解得 min 71m 16 分 3 深圳一模深圳一模 20 本题满分 14 分 如图 为半圆 AB 为半圆直径 O 为半圆圆心 且 OD AB Q 为线段 OD 的中点 已 知 AB 4 曲线 C 过 Q 点 动点 P 在曲线 C 上运动且保 持 PA PB 的值不变 1 建立适当的平面直角坐标系 求曲线 C 的方程 2 过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M N 且 M 在 D N 之间 设 DN DM 求 的取值范围 20 解 1 以 AB OD 所在直线分别为 x 轴 y 轴 O 为原点 建立平面直角坐标系 PA PB QA QB 2 5212 22 AB 4 曲线 C 为以原点为中心 A B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a 短半轴为 b 半焦距为 c 则 2a 2 5 a 5 c 2 b 1 曲线 C 的方程为 5 2 x y2 1 2 设直线 l 的方程为 y kx 2 代入 5 2 x y2 1 得 1 5k2 x2 20kx 15 0 20k 2 4 15 1 5k2 0 得 k2 5 3 由图可知 2 1 x x DN DM 由韦达定理得 2 21 2 21 51 15 51 20 k xx k k xx 将 x1 x2 代入得 2 2 2 22 2 2 2 2 51 15 51 400 1 k x k k x 两式相除得 1 5 3 80 51 15 400 1 2 2 22 k k k 3 16 5 1 3 80 4 3 20 5 1 5 3 51 0 5 3 2 22 2 k kk k即 3 3 1 0 3 16 1 4 2 解得 DN DM 2 1 DN DM x x M 在 D N 中间 1 又 当 k 不存在时 显然 3 1 DN DM 此时直线 l 与 y 轴重合 综合得 1 3 1 21 已知函数 3 3 f xxx 1 求曲线 yf x 在点 2x 处的切线方程 2 若过点 1 2 Amm 可作曲线 yf x 的三条切线 求实数m的取值范围 20 解 1 23 33 2 9 2 23 22fxxff 2 分 曲线 yf x 在 2x 处的切线方程为 29 2 yx 即9 160 xy 4 分 2 过点 1 Am 向曲线 yf x 作切线 设切点为 00 xy 则 32 00000 3 33 yxx kfxx 则切线方程为 32 0000 3 33 yxxxxx 6 分 整理得 32 00 2330 xxm 过点 1 2 Amm 可作曲线 yf x 的三条切线 方程 有三个不同实数根 记 322 233 666 1 g xxxmg xxxx x 令 0 0g xx 或 1 10 分 则 x g x g x 的变化情况如下表 x 0 0 0 1 1 1 g x 0 0 g x A 极大A极小A 当 0 xg x 有极大值 3 1 mxg x 有极小值 2m 12 分 由 g x 的简图知 当且仅当 0 0 1 0 g g 即 30 32 20 m m m 时 函数 g x 有三个不 同零点 过点A可作三条不同切线 所以若过点A可作曲线 yf x 的三条不同切线 m的范围是 3 2 22 本小题满分 14 分 已知函数 2 2f xxx 数列 11 1 nnn aaafa 满足 求数列 n a 的通项公式 已知数列 11 0 nnn bbtbf bnN 满足 求数列 n b 的通项公式 设 1 1 n nn n b cc b 数列 的前 n 项和为 Sn 若不等式 n S 对所有的正整数 n 恒成 立 求 的取值范围 22 本小题满分 14 分 解 I 22fxx 1 分 1 22 nn aa 1 22 2 nn aa 1 1 2 2 2 2n nn aaa 为等比数列 1 3 22 n n a 4 分 由已知得 0 n b 2 1 1 1 nn bb 1 分 1 lg 1 2lg 1 nn bb 又 1 lg 1 lg 1 0 bt 所以 lg 1 n b