2011高考数学萃取精华30套（19）

20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 1919 1 1 顺德一模顺德一模 20 本小题满分 14 分 已知函数 x k f xex xR 1 当时 若函数的定义域是 R 求实数的取值范围 0k 1 g x f xm m 2 试判断当时 函数在内是否存在零点 1k f x 2 kk 20 解 1 当0k 时 x f xex 1 x fxe f x在 0 上单调减 在 0 上单调增 min 0 1f xf 5 分 成立 7 分 1 10 xR f xf x 1m 2 当1k 时 x k f xex 10 x k fxe 在 2 kk上恒成立 9 分 f x在 2 kk上单调增 且连续 且 10 k k f kekk 10 分 2 2 22 k kk fkekek 2 20 k fke 2 fk在1k 时单调增 2 20fke 13 分 由零点存在定理知 函数 f x在 2 kk内存在零点 14 分 21 本小题满分 14 分 已知曲线 为自然对数的底数 曲线 1 C 2 x ye e e 2 C 和直线 2 lnyex l2yx 1 求证 直线 与曲线 都相切 且切于同一点 l 1 C 2 C 2 设直线与曲线 及直线 分别相交于 记 0 ttx 1 C 2 Cl M N P 求在上的最大值 f tPMNP tf 33 ee 3 设直线 为自然数 与曲线和的交点分别为和 问是否 m xe m 1 C 2 C m A m B 存在正整数 使得 若存在 求出 若不存在 请说明理由 本小题参n 00nn A BA B n 考数据 2 7 e 21 解 1 证 由 得 2 分 2 x ye e 2 x y e 2 2 x y e ex 在上点处的切线为 即 3 分 1 C 2 ee22 yexe 2yx 又在上点处切线可计算得 即 2 C 2 ee22 yexe 2yx 直线 与 都相切 且切于同一点 4 分l 1 C 2 C 2ee 2 22 2 22 ln 2 ln4 tt f tettetette ee 6 分 222 212242 240 tteette fte etetet 在上递增 tf 33 e e 当时 8 分 3 te eeeeeee e e tf744ln2 3533 6 max 3 nee e e eee e e BA n n n nn 2 ln2 22 设上式为 假设取正实数 则 ngn e e ng n 2 e ee ee n 2 2ln 22 2 当时 递减 1 0 n0 ng g n 当 递增 12 分 1 n0 ng g n e eBAg 1 0 00 022 1 eeg e eeeeeeeeeg 1 237 234 2 233 不存在正整数 使得n 0 gmg 即 14 分 00B ABA nn 2 2 唐山一模唐山一模 20 本小题共 12 分 在直角坐标系 xOy 中 动点 P 到两定点 0 3 0 3 的距离之和等于 4 设动点 P 的轨迹为C 过点 0 3 的直线与C交于 A B 两点 1 写出C的方程 2 设 d 为 A B 两点间的距离 d 是否存在最大值 最小值 若存在 求出 d 的最大值 最小值 20 本小题满分 12 分 解 1 设 P x y 由椭圆定义可知 点 P 的轨迹 C 是以 0 3 0 3 为焦 点 长半轴为 2 的椭圆 它的短半轴 22 2 3 1b 故曲线 C 的方程为 2 2 1 4 y x 4 分 2 设过点 0 3 的直线方程为 y kx 3 1122 A xyB xy 其坐标满足 2 2 1 4 3 y x ykx 消去 y 并整理得 22 4 2 310kxkx 6 分 2 12212 22 2 32 3 2 32 3 44 kk xxyk xx kk 1 y 22 1212 2 aa dAFBFeyeyae yy cc 4 2 2 3 3 4 k k 2 12 4 4k 2 0k k 0 时 d 取得最小值 1 10 分 当 k 不存在时 过点 0 3 的直线方程为 x 0 此时交点 A B 分别为椭圆 C 的长轴的 两端点 d 取最大值 4 12 分 综上 d 的最大值 最小值存在 分别为 4 1 12 分 21 本小题满分 12 分 在数列 n a 中 11 0 31 2 3 n nn aaan 其中L L 1 求 23 a a 的值 2 求数列 n a 的通项公式 3 求 1 n n a a 的最大值 21 本小题满分 12 分 解 1 由 0 1 a 且 3 2 1 3 1 naa n nn 得 33 12 aa 632 23 aa 2 分 2 由 n nn aa3 1 变形得 4 3 4 3 1 1 n n n n aa 4 3 n n a 是首项为 4 3 4 3 1 a 公比为 1 的等比数列 1 1 4 3 4 3 n n n a 即 4 3 1 4 3 n n n a 3 2 1 n 6 分 3 当n是偶数时 33 4 3 1 33 33 4 3 4 3 4 3 4 3 111 1 nn n n n n n a a 1 n n a a 随n增大而减少 当n为偶数时 1 n n a a 最大值是 1 2 9 分 当n是奇数时 33 4 3 1 33 33 4 3 4 3 4 3 4 3 111 1 nn n n n n n a a 1 n n a a 随n增大而增大且 2 1 3 1 33 4 3 1 1 1 n n n a a 综上 1 n n a a 最大值为2 1 12 分 22 本小题满分 12 分 已知函数 x xaxf 1 ln 1 当 0 a 时 求函数 xf 的单调区间和极值 2 当 0 a 时 若对任意 0 x 均有 1 ln2 xax 求实数a的取值范围 3 若 0 a 对任意 1 x 0 2 x 且 21 xx 试比较 2 21 xx f 与 2 21 xfxf 的大小 22 本小题满分 12 分 解 由题意 0 x 2 1 xx a xf 2 分 1 当 0 a 时 由 0 x f 得 0 1 2 xx a 解得 a x 1 即函数 xf 的单调增区间是 1 a 由 0 x f 得 0 1 2 xx a 解得 a x 1 即函数 xf 的单调减区间是 1 0 a 当 a x 1 时 函数 xf 有极小值 极小值为 aaaa a a a fln 1 ln 1 5 分 2 当 0 a 时 对任意 0 x 均有 1 ln2 xax 即有对任意 0 x x xaa 1 ln2 恒成立 对任意 0 x 只须 min 2xfa 由 1 可知 函数 xf 的极小值 即为最小值 aaaxfaln 2 min 解得 e a 1 0 即a的取值范围为 e a 1 0 9 分 3 2 2 ln 2 2 2121 2 21 21 212121 xxxx xx xx xx a xfxfxx f 0 1 x 0 2 x 且 21 xx 0 a 2121 2xxxx 1 2 21 21 xx xx 0 2 ln 21 21 xx xx a 又 0 2 2121 2 21 xxxx xx 0 2 2 ln 2121 2 21 21 21 xxxx xx xx xx a 0 2 2 2121 xfxfxx f 即 2 2 2121 xfxfxx f 12 分 3 3 黑龙江四校一模黑龙江四校一模 20 本小题满分 12 分 已知点 M 是离心率是上一点 过点 M 作直 22 22 6 1 0 3 xy Cab ab 的椭圆 线 MA MB 交椭圆 C 于 A B 两点 且斜率分别为 12 k k I 若点 A B 关于原点对称 求的值 12 kk II 若点 M 的坐标为 0 1 且 求证 直线 AB 过定点 并求直线 AB 12 3kk 的斜率k的取值范围 20 本题满分 12 分 I 由 22222 6 3 33 3 eabxyb 得椭圆方程为 111100 A x yBxyM xy 设 由 A M 是椭圆上的点得 222 11 33xyb 222 00 33xyb 得 22 10 22 10 1 3 yy xx 定值 5 分 22 101010 12 22 101010 1 3 yyyyyy k k xxxxxx II 点 M 的坐标为 0 1 则 22 1 33bxy 椭圆方程为 显然直线 AB 的斜率存在 设直线 AB 的方程为 代入椭圆方程得 ykxt 222 2 1212 22 31 63 1 0 63 1 3131 kxktxt ktt xxxx kk 由 12 12 12 11 3 3 yy kk xx 得 又 1122 ykxt ykxt 由 得 1212 1 23 0txxkx x 2 22 63 1 1 23 0 3131 ktt tk kk 化简得 23 1 0 3 k tt 9 分 23 1 3 k tt 舍或 则直线 AB 的方程为 232 1 33 k ykxk x 10 分 2 1 3 AB 直线过定点 21 本小题满分 12 分 已知幂函数为偶函数 且在区间上是单调增函数 2 23 mm f xxmZ 0 I 求函数的解析式 f x II 设函数 32 19 42 g xf xaxxb xa b RR其中 i 若函数处有极值 求a的取值范围 0g xx 仅在 ii 对于任意的在 2 2 上恒成立 求的取值 1 1 2ag x 不等式b 范围 21 本题满分 12 分 解 I 上是单调增函数 0 f x 在区间 22 230230mmmm 即 2 分13 0 1 2mmZm 又 而是偶函数 34 0 2 1 mf xxmf xx 时不是偶函数时 4 分 4 f xx II i 不是方程的根 2 39 0g xx xaxx 显然 2 390 xax 为使处有极值 0g xx 仅在 必须恒成立 6 分 2 390 xax 即有 2 9360 a 解不等式 得是唯一极值 2 2 a 这时 g 0 b 8 分 2 2 a ii 由条件恒成立 22 1 1 9360 390aaxax 可知从而 当 9 分0 0 0 0 xg xxg x 时当时 因此函数在 2 2 上的最大值是两者中较大者 10 g x 2 2 gg 与 分 为使对方任意的 不等式在 2 2 上恒成立 1 1 a 2g x 当且仅当上恒成立 2 2208 1 1 2 2208 gba a gba 即在 所以 因此满足条件的 b 的取值范围是 12 分28b 28 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O 内切于 ABC 的边于 D E F AB AC 连接 AD 交 O 于点 H 直线 HF 交 BC 的延长线于点 G I 求证 圆心 O 在直线 AD 上 II 求证 点 C 是线段 GD 的中点 22 本题满分 10 分 I 证明 ABAC AFAE CDBE CFCD BDBE CDBD ABC ADCAB 又 又是等腰三角形 是的角分线 圆心 O 在直线 AD 上 5 分 II 连接 DF 由 I 知 DH 是 O 的直径 90 90 90 DHFFDHFHD GFHD FDHG OACF AFHGFCFDH GFCG CGCFCD A 又 与相切于点 点 C 是线段 GD 的中点 10 分 23 本题满分 10 分 I 直线的普通方程为 210 xy 圆的直角坐标方程为 4 分 2 1 2 5xy II 圆心到直线的距离 5 5 d 直线被圆截得的弦长 10 分 22 4 30 2 5 Lrd 24 本题满分