广东省广州六中2012-2013学年高三数学下学期期中试卷 文 新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年广东省广州六中高三 下 期中数学试卷 文科 学年广东省广州六中高三 下 期中数学试卷 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求 1 5 分 设 P 和 Q 是两个集合 如果 P x log2x 1 Q x x2 4x 4 1 那么 P Q 等于 A x 0 x 1 B x 1 x 3 C x 1 x 2 D x 2 x 3 考点 交集及其运算 分析 根据对数函数的性质 可得 P 再由一元二次不等式的解法 可得 Q 进而由交集的 运算 可得答案 解答 解 根据对数函数的性质 可得 P x log2x 1 x 0 x 2 由一元二次不等式的解法 可得 Q x x2 4x 4 1 x 1 x 3 那么 P Q x 1 x 2 故选 C 点评 本题考查集合间的交集的运算 应注意不等式的正确求解 并结合数轴判断集合间 的关系 2 5 分 2008 海南 设等比数列 an 的公比 q 2 前 n 项和为 Sn 则 A 2B 4C D 考点 等比数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 根据等比数列的性质 借助公比 q 表示出 S4和 a1之间的关系 易得 a2与 a1间的关 系 然后二者相除进而求得答案 解答 解 由于 q 2 故选 C 点评 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用 等差数列及等比数列 问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点 要予以高度重视 2 3 5 分 已知复数 z 1 2i 则 A B C D 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 由题意可得 只需分子分母同乘以分母的共轭复数 化简可得答案 解答 解 z 1 2i 故选 B 点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算 属基础题 4 5 分 2007 山东 已知 1 n 1 n 若 2 与 垂直 则 A 1B C 2D 4 考点 平面向量数量积的性质及其运算律 专题 计算题 分析 2 3 n 由 2 与 垂直可得 2 解答 解 1 n 1 n 2 3 n 2 与 b 垂直 2 故选 C 点评 本题主要考查向量的数量积的坐标表示 要注意两向量垂直时 二者点乘为 0 5 5 分 2007 安徽 若圆 x2 y2 2x 4y 0 的圆心到直线 x y a 0 的距离为 则 a 的值为 3 A 2 或 2 B 或 C 2 或 0 D 2 或 0 考点 点到直线的距离公式 专题 计算题 分析 把圆的方程化为标准方程后 找出圆心坐标 利用点到直线的距离公式表示出圆心 到已知直线的距离 根据此距离等于列出关于 a 的方程 求出方程的解即可得到 a 的值 解答 解 把圆 x2 y2 2x 4y 0 化为标准方程为 x 1 2 y 2 2 5 所以圆心坐 标为 1 2 圆心 1 2 到直线 x y a 0 的距离为 即 a 1 1 可化为 a 1 1 或 a 1 1 解得 a 2 或 0 故选 C 点评 此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程并会从标准方程中找出圆心坐 标 灵活运用点到直线的距离公式化简求值 是一道中档题 6 5 分 2013 河东区二模 给出计算 的值的一个程序框图如图 其中 判断框内应填入的条件是 A i 10 B i 10 C i 20 D i 20 考点 循环结构 专题 压轴题 图表型 4 分析 结合框图得到 i 表示的实际意义 要求出所需要的和 只要循环 10 次即可 得到输 出结果时 i 的值 得到判断框中的条件 解答 解 根据框图 i 1 表示加的项数 当加到时 总共经过了 10 次运算 则不能超过 10 次 i 1 10 执行 是 所以判断框中的条件是 i 10 故选 A 点评 本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件 关键是判断出有关字母的实 际意义 要达到目的 需要对字母有什么限制 7 5 分 函数的图象为 C 如下结论中不正确的是 A 图象 C 关于直线对称 B 图象 C 关于点对称 C 函数 f x 在区间内是增函数 D 由 y 3sin2x 的图角向右平移个单位长度可以得到图象 C 考点 函数 y Asin x 的图象变换 复合三角函数的单调性 专题 三角函数的图像与性质 分析 根据函数 y Asin x 的对称性和单调性可得 A B C 正确 再根据函数 y Asin x 的图象变换规律可得 D 不正确 从而得出结论 解答 解 函数的图象为 C 把 x 代入可得 f x 3 为最大值 故图象 C 关于直线对称 故 A 正 确 把 x 代入可得 f x 0 故图象 C 关于点对称 故 B 正确 令 2k 2x 2k k z 可得 k x k k z 故函数的增区间为 k k k z 故 C 正确 由 y 3sin2x 的图角向右平移个单位长度可以得函数 y sin 2 x 5 sin 2x 的图象 故 D 不正确 故选 D 点评 本题主要考查函数 y Asin x 的图象变换规律 函数 y Asin x 的对称 性和单调性 属于中档题 8 5 分 2006 湖南 a 1 是 函数 f x x a 在区间 1 上为增函数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 函数 f x x a 的图象是关于 x a 对称的折线 在 a 上为增函数 由题 意 1 a 可求 a 的范围 解答 解 若 a 1 则函数 f x x a x 1 在区间 1 上为增函数 而若 f x x a 在区间 1 上为增函数 则 a 1 所以 a 1 是 函数 f x x a 在区间 1 上为增函数 的充分不必要条 件 故选 A 点评 本题考查充要条件的判断和已知函数单调性求参数范围问题 对函数 f x x a 的图象要熟练掌握 9 5 分 半径为 2cm 的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上 一阵风吹倒它 它的最高处距桌 面 A B C 2cmD 4cm 考点 棱锥的结构特征 专题 常规题型 计算题 压轴题 分析 根据折叠原理 折叠前半圆的弧长为圆锥的底面周长即 2 r R 找到两者的关 系 再求得圆锥的高 利用等面积法求得底面圆心到母线的距离 再乘以 2 即为最 高处距桌面的距离 解答 解 设圆的半径为 R 圆锥的底面半径为 r 高为 h 最高处距桌面距离为 H 根据题意 2 r R R 2r h 最高处距桌面距离 H 2 6 故选 A 点评 本题是一道折叠题 主要考查折叠前后线线 线面 面面关系的不变和改变 解题 时要前后对应 仔细论证 属中档题 10 5 分 某债券市场发行的三种值券 甲种面值为 100 元 一年到期本利共获 103 元 乙种面值为 50 元 半年期本利共 50 9 元 丙种面值为 100 元 但买入时只付 97 元 一年 到期拿回 100 元 这三种投资收益比例从小到大排列为 A 乙 甲 丙 B 甲 丙 乙 C 甲 乙 丙 D 丙 甲 乙 考点 进行简单的合情推理 专题 计算题 分析 假设年初都投入 100 元 根据所给数据及规则分别算出收益即可 解答 解 假设年初都投入 100 元 则 若买甲种债券 一年到期共获利 103 100 3 元 若买乙种债券 一年共获利 2 50 9 50 101 8 3 63 元 若买乙种债券 一年到期共获利 3 09 元 3 3 09 3 63 因此这三种投资收益比例从小到大排列为甲 丙 乙 故选 B 点评 根据规则正确计算出收益的大小是解题的关键 二二 填空题 每小题填空题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 14 14 1515 是选做题 在下面两道小题中选做一题 两题是选做题 在下面两道小题中选做一题 两题 都选只计算前一题的得分都选只计算前一题的得分 11 5 分 已知双曲线的渐近线方程是 焦点在坐标轴上且焦距是 10 则此双曲 线的方程为 或 考点 双曲线的标准方程 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 依题意可设此双曲线的方程为 x2 y2 k k 0 利用焦点在坐标轴上且焦距是 10 求得 k 即可 7 解答 解 设此双曲线的方程为 x2 y2 k k 0 当 k 0 时 a2 4k b2 k c2 5k 此时焦点为 0 由题意得 5 解得 k 5 双曲线的方程为 当 k 0 时 a2 k b2 4k c2 5k 此时焦点为 0 由题意得 5 解得 k 5 双曲线的方程为 所求的双曲线方程为为或 故答案为 或 点评 本题考查双曲线的简单性质 据题意设双曲线的方程为 x2 y2 k k 0 是捷径 考查待定系数法与分类讨论思想 属于中档题 12 5 分 如图 函数 f x Asin x A 0 0 的图象 则 f 1 f 2 f 3 f 2001 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 三角函数的化简求值 专题 三角函数的图像与性质 分析 由函数的最值求出 A 由周期求出 由五点法作图求出 的值 可得函数 y 的解 析式 再利用周期性求得所求式子的值 解答 解 由函数的图象可得 A 2 6 2 解得 故 f x 2sin x 再由五点法作图可得 2 0 8 故 f x 2sin x f 1 f 2 f 3 f 8 0 f 1 f 2 f 3 f 2001 250 0 f 1 2sin 故答案为 点评 本题主要考查由函数 y Asin x 的部分图象求解析式 利用函数的周期性求 函数的值 属于中档题 13 5 分 设方程 x2 mx 1 0 两根为 且 0 1 1 2 则实数 m 的取值 范围是 考点 一元二次方程的根的分布与系数的关系 专题 计算题 分析 构造二次函数 f x x2 mx 1 根据一元二次函数的性质与图象知 考查 x 1 0 2 处的函数值的符号即可 解答 解 方程 x2 mx 1 0 对应的二次函数 f x x2 mx 1 方程 x2 mx 1 0 两根根为 且 0 1 1 2 解得 故答案为 点评 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系 考查一元二次函数的图象与性 质 14 5 分 把参数方程 为参数 化为普通方程是 极坐标系中 圆的圆心坐标是 考点 参数方程化成普通方程 点的极坐标和直角坐标的互化 专题 直线与圆 分析 利用同角三角函数的基本关系消去参数 把参数方程化为普通方程 把极坐标方 9 程化为直角坐标方程 根据圆的一般方程的特征求出圆心 解答 解 参数方程 为参数 利用同角三角函数的基本关系消去 参数 化为普通方程是 x2 1 y x 圆即 2 2 sin sin 化为直角坐标方程为 故它的圆心坐标是 故答案为 点评 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法 把极坐标方程化为直角坐标方程的 方法 圆的一般式方程的特征 属于基础题 15 5 分 如图 平行四边形 ABCD 中 AE EB m n 若 AEF 的面积等于 acm2 则 CDF 的面积等于 cm2 考点 三角形的面积公式 专题 计算题 分析 根据平行四边形对边平行 得到两个三角形相似 根据两个三角形相似 知道这两 个三角形的面积之比等于边长之比的平方 做出两个三角形的边长之比 根据 AEF 的面积 得到要求的三角形的面积 解答 解 平行四边形 ABCD 中 有 AEF CDF AEF 与 CDF 的面积之比等于对应边长之比的平方 AE EB m n AE CD m m n AEF 的面积等于 acm2 CDF 的面积等于cm2 故答案为 点评 本题考查三角形相似的性质 两个三角形相似 对应的高线 中线和角平分线之比 等于边长之比 两个三角形的面积之比等于边长比的平方 这种性质用的比较多 10 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 12 分 已知 a 为实常数 I 求 f x 的最小正周期 II 若 f x 在上最大值与最小值之和为 3 求 a 的值 考点 三角函数的化简求值 两角和与差的正弦函数 正弦函数的定义域和值域 专题 计算题 分析 I 利用降幂公式 逆用二倍角余弦公式 结合辅助角公式 我们可将函数 的解析式化为正弦型函数的形式 进而根据 T 即可求出 f x 的最小正周期 II 由 I 中函数的解析式 我们易分析出函数 f x 在上的最 大值和最小值 含参数 a 进而根据 f x 在上最大值与最小值之 和为 3 构造出含 a 的方程 解方程即可求出 a 的值 解答 解 I 所以 f x 的最小正周期 T 5 分 II 则 所以 f x 是最大值为 3 a 最小值为 a 依题意有 3 2a 3 a 0 10 分 点评 本题考查的知识点是三角函数的化简求值 两角和与差的正弦函数 正弦函数的定 义域和值域 其中利用降幂公式 逆用二倍角余弦公式 结合辅助角公式 化简函 数的解析式是解答本题的关键 17 12 分 2009 锦州一模 已知函数 f x alnx bx4 c x 0 在 x 1 处取得极值 3 c 其中 a b c 为常数 1 试确定 a b 的值 2 讨论函数 f x 的单调区间 3 若对任意 x 0 不等式 f x 2c2恒成立 求 c 的取值范围 考点 利用导数研究函数的单调性 函数恒成立问题 导数在最大值 最小值问题中的应 用 专题 导数的综合应用 11 分析 1 由 f x 在 x 1 处取得极值 3 c 可得 解出即可 2 利用 f x 0 此时 f x 为增函数 f x 0 此时 f x 为减函 数 即可求得其单调区间 3 要使 f x 2c2 x 0 恒成立 只需 2c2 利用 2 即可得出函数 f x 的最大值 解答 解 1 由题意知 f 1 3 c f 1 b c 3 c 从而 b 3 又 由题意 f 1 0 因此 a 4b 0 解得 a 12 2 由 1 知 x 0 令 f x 0 解得 x 1 当 0 x 1 时 f x 0 此时 f x 为增函数 当 x 1 时 f x 0 此时 f x 为减函数 因此 f x 的单调递增区间为 0 1 而 f x 的单调递减区间为 1 3 由 2 知 f x 在 x 1 处取得极大值 f 1 3 c 此极大值也是最大值 要使 f x 2c2 x 0 恒成立 只需 3 c 2c2 即 2c2 c 3 0 从而 2c 3 c 1 0 解得 所以 c 的取值范围为 点评 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性 极值 最值等性质 要注意分离参数 法 转化法的运用 18 14 分 如图 在四棱锥 E ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 AB 2BC P Q 分别为线段 AB CD 的中点 EP 底面 ABCD 1 求证 AQ 平面 CEP 2 求证 平面 AEQ 平面 DEP 3 若 EP AP 1 求三棱锥 E AQC 的体积 考点 直线与平面平行的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 平面与平面垂直的判定 12 专题 计算题 证明题 分析 1 证明 AQCP 为平行四边形 可得 CP AQ 从而证明 AQ 平面 CEP 2 先证明 AQ EP 利用 ADQP 为正方形可得 AQ DP 从而证得 AQ 平面 DEP 进 而得到平面 AEQ 平面 DEP 3 EP 为三棱锥 E AQC 的高 ACQ 的面积等于 CQ AD 代入三棱锥的体积公式 进行运算 解答 解 1 在矩形 ABCD 中 AP PB DQ QC AP CQ 且 AP CQ AQCP 为平行四边形 CP AQ CP 平面 CEP AQ 平面 CEP AQ 平面 CEP 2 EP 平面 ABCD AQ 平面 ABCD AQ EP AB 2BC P 为 AB 中点 AP AD 连 PQ 则 ADQP 为正方形 AQ DP 又 EP DP P AQ 平面 DEP AQ 平面 AEQ 平面 AEQ 平面 DEP 3 EP 平面 ABCD EP 为三棱锥 E AQC 的高 点评 本题考查证明线面平行 线面垂直的方法 求三棱锥的体积 证明 AQ 平面 DEP 是 解题的难点 19 14 分 2007 天津 在数列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n N 证明数列 an n 是等比数列 求数列 an 的前 n 项和 Sn 证明不等式 Sn 1 4Sn 对任意 n N 皆成立 考 点 数列的求和 等比关系的确定 等比数列的性质 专 题 综合题 分 析 整理题设 an 1 4an 3n 1 得 an 1 n 1 4 an n 进而可推断数列 an n 是等比数列 由 可数列 an n 的通项公式 进而可得 an 的通项公式根据等比和等差 数列的求和公式 求得 Sn 13 把 中求得的 Sn代入 Sn 1 4Sn整理后根据证明原 式 解 答 解 证明 由题设 an 1 4an 3n 1 得 an 1 n 1 4 an n n N 又 a1 1 1 所以数列 an n 是首项为 1 且公比为 4 的等比数列 由 可知 an n 4n 1 于是数列 an 的通项公式为 an 4n 1 n 所以数列 an 的前 n 项和 证明 对任意的 n N 所以不等式 Sn 1 4Sn 对任意 n N 皆成立 点 评 本题以数列的递推关系式为载体 主要考查等比数列的概念 等比数列的通项公式及 前 n 项和公式 不等式的证明等基础知识 考查运算能力和推理论证能力 20 14 分 2007 山东 本公司计划 2008 年在甲 乙两个电视台做总时间不超过 300 分 钟的广告 广告总费用不超过 9 万元 甲 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元 分钟和 200 元 分钟 假定甲 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告 能给公司带来的收益分 别为 0 3 万元和 0 2 万元 问该公司如何分配在甲 乙两个电视台的广告时间 才能使公 司的收益最大 最大收益是多少万元 考点 简单线性规划的应用 分析 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用 本题主要考 查找出约束条件与目标函数 准确地描画可行域 再利用图形直线求得满足题设的 最优解 解答 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟 总收益为 z 元 由题意得 目标函数为 z 3000 x 2000y 二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图 作直线 l 3000 x 2000y 0 即 3x 2y 0 平移直线 l 从图中可知 当直线 l 过 M 点时 目标函数取得最大值 14 联立解得 x 100 y 200 点 M 的坐标为 100 200 zmax 3000 x 2000y 700000 元 答 该公司在甲电视台做 100 分钟广告 在乙电视台做 200 分钟广告 公司的收益 最大 最大收益是 70 万元 点评 用图解法解决线性规划问题时 分析题目的已知条件 找出约束条件和目标函数是 关键 可先将题目中的量分类 列出表格 理清头绪 然后列出不等式组 方程组 寻求约束条件 并就题目所述找出目标函数 然后将可行域各角点的值一一代入 最后比较 即可得到目标函数的最优解 21 14 分 已知二