2012届高三数学一轮复习 第七章《不等式》7-2基本不等式精品练习

用心 爱心 专心 1 第第 7 7 章章 第第 2 2 节节 一 选择题 1 2010 山东东营质检 在下列各函数中 最小值等于 2 的函数是 A y x 1 x B y cosx 1 cosx 0 x 2 C y x2 3 x2 2 D y ex 2 4 ex 答案 D 解析 x 0 时 y x 2 故 A 错 1 x 0 x 0 cosx0 y 0 且 1 若x 2y m2 2m恒成立 2 x 1 y 则实数m的取值范围是 A m 4 或m 2 B m 2 或m 4 C 2 m 4 D 4 m0 y 0 且 1 2 x 1 y x 2y x 2y 4 4 2 8 当且仅当 即x 2y时取 2 x 1 y 4y x x y 4y x x y 4y x x y 等号 又 1 x 4 y 2 x 2y min 8 要使x 2y m2 2m恒成立 只需 2 x 1 y x 2y min m2 2m 即 8 m2 2m 解得 4 m0 a7 a6 2a5 设 an 的公比为q 则 a6q a6 q2 q 2 0 q 0 q 2 2a6 q 4a1 a12 qm n 2 16a12 m n 2 4 aman m n 6 m n 等号在 即n 2m 4 1 m 4 n 1 6 1 m 4 n 1 6 5 n m 4m n 1 6 5 2 n m 4m n 3 2 n m 4m n 时成立 3 2010 茂名市模考 a 是 对任意的正数x 均有x 1 的 1 4 a x A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 答案 A 解析 a x 0 时 x 2 1 等号在x 时成立 又a 4 时 1 4 a x x a x 1 2 x x a x 4 x 2 4 也满足x 1 故选 A x 4 x a x 4 2010 广西柳州市模考 设a b R R 则 a b 1 是 4ab 1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不是充分条件也不是必要条件 答案 A 解析 a b中有一个不是正数时 若a b 1 显然有 4ab 1 成立 a b都是正数 时 由 1 a b 2得 4ab 1 成立 故a b 1 4ab 1 但当 4ab 1 成立时 未必有 ab a b 1 如a 5 b 1 满足 4ab 1 但 5 1 1 故选 A 5 若a 0 b 0 a b的等差中项是 且 a b 则 的最小值为 1 2 1 a 1 b A 2 B 3 C 4 D 5 用心 爱心 专心 3 答案 D 解析 为a b的等差中项 a b 2 1 1 2 1 2 a b 1 1 1 1 a 1 b 1 a 1 b a b ab 1 ab ab 原式 1 4 ab a b 2 a b 2 4 1 4 的最小值为 5 故选 D 6 文 若直线 2ax by 2 0 a 0 b 0 被圆x2 y2 2x 4y 1 0 截得的弦长为 4 则 的最小值是 1 a 1 b A 1 B 2 C 3 D 4 答案 D 解析 圆 x 1 2 y 2 2 4 弦长为 4 故为直径 即直线过圆心 1 2 a b 1 a b 2 4 1 a 1 b 1 a 1 b b a a b 当且仅当a b 时取等号 1 2 理 半径为 4 的球面上有A B C D四点 AB AC AD两两互相垂直 则 ABC ACD ADB面积之和S ABC S ACD S ADB的最大值为 A 8 B 16 C 32 D 64 答案 C 解析 根据题意可知 设AB a AC b AD c 则可知AB AC AD为球的内接长方 体的一个角 故a2 b2 c2 64 而S ABC S ACD S ADB ab ac bc 1 2 32 a2 b2 a2 c2 b2 c2 4 a2 b2 c2 2 等号在a b c 时成立 8 3 3 7 文 已知c是椭圆 1 a b 0 的半焦距 则的取值范围是 x2 a2 y2 b2 b c a A 1 B 2 C 1 D 1 22 答案 D 解析 由题设条件知 a1 b c a 用心 爱心 专心 4 a2 b2 c2 2 故选 D b c 2 a2 b2 c2 2bc a2 2 b2 c2 a2 b c a2 理 已知F1 F2分别为双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 P为双曲线右支上的 x2 a2 y2 b2 任意一点 若的值为 8a 则双曲线的离心率e的取值范围是 PF1 2 PF2 A 1 B 1 2 C 1 D 1 3 3 答案 D 解析 PF2 4a 4a 4a 8a 当且仅当 PF1 2 PF2 2a PF2 2 PF2 4a2 PF2 PF2 即 PF2 2a时取等号 这时 PF1 4a 由 PF1 PF2 F1F2 得 6a 2c 4a2 PF2 即e 3 e 1 3 c a 8 2010 南昌市模拟 已知a b R R a b 1 M 2a 2b 则M的整数部分是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 a b R R a b 1 0 a 1 设t 2a 则t 1 2 M 2a 2b 2a 21 a t 2 等号在t 时成立 又t 1 或 2 时 2 t22 M 3 2 M 3 故选 B 2 9 2010 河南新乡调研 已知全集 R R 集合E x b x F x x a a b 2ab M x bb 0 则集合M等于 ab A E F B E F C E RF D RE F 答案 C 解析 a b 0 a b a a 2 a b 2abb2 如图可见集合M在E中 不在F中 故M E RF 10 文 2010 衡水市模考 已知 ABC中 点D是BC的中点 过点D的直线分别交直 线AB AC于E F两点 若 0 0 则 的最小值是 AB AE AC AF 1 4 用心 爱心 专心 5 A 9 B 7 2 C 5 D 9 2 答案 D 解析 ED AD AE 1 2 AB AC AE 1 2 AE AF AE 2 1 AE 2 AF EF AF AE 与共线 且与不共线 ED EF AE AF 2 1 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 等号在 时成立 1 2 5 4 9 2 4 3 2 3 理 2010 广东省高考调研 如图在等腰直角 ABC中 点P是斜边BC的中点 过点P 的直线分别交直线AB AC于不同的两点M N 若 m n 则mn的最大值为 AB AM AC AN A B 1 1 2 C 2 D 3 答案 B 解析 以AC AB为x y轴建立直角坐标系 设等腰直角 ABC的腰长为 2 则P点 坐标为 1 1 B 0 2 C 2 0 m n AB AM AC AN 用心 爱心 专心 6 M N AM AB m AN AC n 0 2 m 2 n 0 直线MN的方程为 1 my 2 nx 2 直线MN过点P 1 1 1 m n 2 m 2 n 2 m n 2 mn 1 当且仅当m n 1 时取等号 mn的最大值为 1 mn m n 2 4 二 填空题 11 2010 山东聊城 山东邹平一中模考 已知b 0 直线b2x y 1 0 与ax b2 4 y 2 0 互相垂直 则ab的最小值为 答案 4 解析 两直线垂直 ab2 b2 4 0 a b 0 ab b 4 等号在b 即b 2 时成立 b2 4 b2 b2 4 b 4 b 4 b 12 文 2010 重庆文 12 已知t 0 则函数y 的最小值为 t2 4t 1 t 答案 2 解析 y t 4 t2 4t 1 t 1 t 因为t 0 y t 4 2 4 2 1 t t 1 t 等号在t 即t 1 时成立 1 t 理 2010 安徽合肥六中质检 已知三个函数y 2x y x2 y 的图象都过点A 且 8 x 点A在直线 1 m 0 n 0 上 则 log2m log2n的最小值为 x m y 2n 答案 4 解析 由题易得 点A的坐标为 2 4 因为点A在直线 1 m 0 n 0 上 所 x m y 2n 用心 爱心 专心 7 以 1 2 mn 16 所以 log2m log2n log2 mn 4 故 log2m log2n的最 2 m 4 2n 2 m 4 2n 小值为 4 13 文 2010 南充市 已知正数a b c满足 a 2b c 1 则 的最小值为 1 a 1 b 1 c 答案 6 4 2 解析 4 2 2 2 4 1 a 1 b 1 c a 2b c a a 2b c b a 2b c c 2b a a b c a a c c b 2b c 22 6 4 2 等号在 同时成立时成立 2b a a b c a a c c b 2b c 即a c b 1 时等号成立 2 2 2 理 2010 北京延庆县 已知x 0 y 0 lg2x lg8y lg2 则xy的最大值是 答案 1 12 解析 lg2x lg8y lg2 2x 8y 2 即 2x 3y 2 x 3y 1 xy x 3y 1 3 2 等号在x 3y 即x y 时成立 1 3 x 3y 2 1 12 1 2 1 6 14 文 2010 重庆一中 设M是 ABC内一点 且 2 BAC 30 定义 AB AC 3 f M m n p 其中m n p分别是 MBC MCA MAB的面积 若f M 则 的最小值是 1 2 x y 1 x 4 y 答案 18 解析 cos30 AB AC AB AC AB AC 2 AB AC 4 3 23 由f M 的定义知 S ABC x y 1 2 又S ABC AB AC sin30 1 1 2 x y x 0 y 0 1 2 用心 爱心 专心 8 2 x y 2 2 5 2 18 等号在 即y 2x 时 1 x 4 y 1 x 4 y 5 y x 4x y 4 y x 4x y 1 3 成立 min 18 1 x 4 y 理 2010 江苏无锡市调研 设圆x2 y2 1 的一条切线与x轴 y轴分别交于点 A B 则AB的最小值为 答案 2 解析 由条件知切线在两轴上的截距存在 且不为零 故设切线方程为 1 则 x a y b 1 ab a2 b2 a2b2 a2 b2 2ab 切线与两轴交于点A a 0 和 0 b 不妨设 a 0 b 0 ab 2 则AB AB 2 a2 b22ab 三 解答题 15 已知 都是锐角 且 sin sin cos 1 当 求 tan 的值 4 2 当 tan 取最大值时 求 tan 的值 解析 1 由条件知 sin sin 2 2 4 整理得 sin cos 0 3 2 1 2 为锐角 tan 1 3 2 由已知得 sin sin cos cos sin2 sin tan sin cos sin2 tan tan sin cos 1 sin2 sin cos 2sin2 cos2 tan 2tan2 1 1 2tan 1 tan 1 2 2 2 4 当且仅当 2tan 时 取 号 1 tan tan 时 tan 取得最大值 2 2 2 4 此时 tan tan tan 1 tan tan 2 16 文 2010 江苏盐城调研 如图 互相垂直的两条公路AM AN旁有一矩形花园 ABCD 现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ 要求P在射线AM上 Q在射线AN上 用心 爱心 专心 9 且PQ过点C 其中AB 30 米 AD 20 米 记三角形花园APQ的面积为S 1 当DQ的长度是多少时 S最小 并求S的最小值 2 要使S不小于 1600 平方米 则DQ的长应在什么范围内 解析 1 设DQ x米 x 0 则AQ x 20 QD DC AQ AP x 30 x 20 AP AP 则S AP AQ 30 x 20 x 1 2 15 x 20 2 x 15 x 40 1200 当且仅当x 20 时取等号 400 x 2 S 1600 3x2 200 x 1200 0 0 x 或x 60 20 3 答 1 当DQ的长度是 20 米时 S最小 且S的最小值为 1200 平方米 2 要使S不小于 1600 平方米 则DQ的取值范围是 0b 0 以双曲线 y2 1 的焦点为顶点 其离心率与双曲 x2 a2 y2 b2 x2 3 线的离心率互为倒数 1 求椭圆C的方程 2 若椭圆C的左 右顶点分别为点A B 点M是椭圆C上异于A B的任意一点 求证 直线MA MB的斜率之积为定值 若直线MA MB与直线x 4 分别交于点P Q 求线段PQ长度的最小值 分析 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数a b 即可写出椭圆方程 进而可求得 点A B坐标 设出M点坐标 可列出kMA kMB的表达式 利用M在椭圆上可消元 通过计算 验证结果为常数 再根据点A M P三点共线和M B Q三点共线就可以找到点P Q的纵 坐标之间的关系 即可求出线段PQ长度的最小值 解析 1 易知双曲线 y2 1 的焦点为 2 0 2 0 离心率为 故在椭圆C x2 3 2 3 中a 2 e c b 1 故椭圆C的方程为 y2 1 3 23 x2 4 2 设M x0 y0 x0 2 由题易知A 2 0 B 2 0 则kMA kMB y0 x0 2 y0 x0 2 故kMA kMB y0 x0 2 y0 x0 2 y02 x02 4 点M在椭圆C上 则 y02 1 x02 4 即y02 1 x02 4 故kMA kMB 直线MA MB的斜率之积为定 x02 4 1 4 y02 x02 4 1 4