幂级数测试题

第十四章第十四章 幂级数幂级数 单选题单选题 1 设幂级数的收敛半径为 R 则下列断语中正确的是 A 在上一致收敛 B 在内某些点处非绝对收敛 C 的收敛半径大于 D 对任意的 在上一致收敛 2 若幂级数在处收敛 在处发散 则该级数 A 在处发散 B 在处收敛 C 收敛区间为 D 当时发散 3 幂级数级数的收敛域是 A B C D 4 若幂级数的收敛半径为 R 那么 A B C D 不一定存在 5 如果能展开成 的幂级数 那么该幂级数 A 是 的麦克劳林级数 B 不一定是 的麦克劳林级数 C 不是 的麦克劳林级数 D 是在点处的泰勒级数 6 如果 则幂级数 A 当时 收敛 B 当时 收敛 C 当时 发散 D 当时 发散 7 设级数在 处是收敛的 则此级数在处 A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 不能确定敛散性 8 幂级数在其收敛区间的两个端点处 A 全是发散的 B 全是收敛的 C 左端点发散 右端点收敛 D 左端点收敛 右端点发散 9 函数展开成的幂级数的方法是 10 幂级数的收敛域为 答案答案 1 10 DDBDA ADDDA 填空题填空题 1 若幂级数在内收敛 则应满足 2 设幂级数的收敛半径为 2 则级数的收敛区间 为 3 级数的和函数为 4 设是一等差数列 则幂级数收敛 域是 5 与有相同的 6 的幂级数展开式 7 幂级数只有在 区间内才有和函数 8 经过逐项微分或逐项积分后幂级数 不变 9 的幂级数表达式 10 级数 在区间 收敛 答案 答案 1 4 1 1 5 收敛区间收敛区间 6 7 收敛收敛 8 收敛半径收敛半径 9 计算题计算题 1 求幂级数的收敛域及和函数 2 求幂级数的收敛域及和函数 3 求幂级数的收敛半径与收敛域 1 4 将函数展开为的幂级数 并指出收敛域 5 求函数在 x 1 处泰勒展开式 6 设幂级数 当 时有 且 求该幂级数的 函数 7 将展成 x 的幂级数 8 求幂级数的和函数 9 试求幂级数的收敛区域及和函数 10 设 确定的连续区间 并求积分的值 答案 1 解 因 且当时级数都发散 故该级数的收敛域 为 1 1 令 则 2 解 收敛半径 当时 原级数发散 故原级数的收敛域 为 1 1 设其和函数为 3 1 解 记 由于 故 收敛半径 R 1 收敛区间为 1 1 当时 由于 故级数发散 所以该级数的收敛域为 1 1 2 解 记 因为 所以收敛半径 R 1 收敛域为 1 1 4 解 而 而级数与的收敛域都是 1 1 故当 时 5 解 因 6 设和函数 则 即 解上述关于的二阶微分方程 得 7 解 易看出 而 两边求导 得 8 级数的和函数为 9 由于级数在上收敛 所以当时 有 10 因为幂级数的收敛域是 所以 在上的连续 且可逐项积分 证明题证明题 1 设 在内收敛 若也收敛 则 2 设 f 为幂级数在 R R 上的和函数 若 f 为奇函数 则原级数仅出现奇次 幂的项 若 f 为偶函数 则原级数仅出现偶次幂的项 3 设函数定义在 0 1 上 证明它在 0 1 满足下述方程 4 设 证明当 时 级数 收 敛 5 设幂级数 的收敛半径分别为 设 证明 当时 幂级数绝对收 敛 6 设 求证 其中 7 设 证明 当时 满足方程 8 若幂级数的收敛半径为 R 0 且在 或时收敛 则级数 在 0 R 或 R 0 上一致收敛 9 设函数在区间内的各阶导数一致有界 即存在正数 M 对一切 有 证明 对内任一点与有 10 证明 满足方程 答案答案 1 证明 因为当 收敛 有 又当时 收敛 从而可知 在左连续 于是 2 当为奇函数时 有 从而 这时必有 当为偶函数时 有 此式当且仅当 3 证明 设 则 所以 故 0 x 1 4 因为 所以 取极限得到 从而级数的收敛半径 故 时 级数收敛 5 对于任意 由于 所以 绝对收敛 又 所以绝对收敛 6 时 故 从而 7 由于 幂级数的收敛半径是 1 所以当时 可微 且 故 即满足方程 8 证明 设级数在时收敛 对于有 已