2011高考数学总复习 12.1 离散型随机变量的分布列夯实基础 大纲人教版

12 112 1 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 1 随机变量的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量表示 那么这样的变量叫做随机变量 它常用希腊 字母 等表示 1 离散型随机变量 如果对于随机变量可能取的值 可以按一定次序一一列出 那么这 样的随机变量叫做离散型随机变量 2 若 是随机变量 a b 其中 a b 是常数 则 也是随机变量 2 离散型随机变量的分布列 1 概率分布 分布列 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 x2 xi 取每一 个值 xi i 1 2 的概率 P xi pi 则称表 x1x2 xi Pp1p2 pi 为随机变量 的概率分布 简称 的分布列 2 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p 那么在 n 次独立重复试验中这 个事件恰好发生 k 次的概率是 P k Cknpkqn k 其中 k 0 1 n q 1 p 于是得到随机变量 的概率分布如下 01 k n PC0np0qnC1np1qn 1 Cknpkqn k Cnnpnq0 我们称这样的随机变量 服从二项分布 记作 B n p 其中 n p 为参数 并记 Cknpkqn k b k n p 二 点击双基二 点击双基 1 抛掷两颗骰子 所得点数之和为 那么 4 表示的随机试验结果是 A 一颗是 3 点 一颗是 1 点 B 两颗都是 2 点 C 两颗都是 4 点 D 一颗是 3 点 一颗是 1 点或两颗都是 2 点 解析 对 A B 中表示的随机试验的结果 随机变量均取值 4 而 D 是 4 代表的所有试验 结果 掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关 键 答案 D 2 设 是一个离散型随机变量 其分布列为 101 P0 51 2qq2 则 q 等于 A 1 B 1 2 2 C 1 2 2 D 1 2 2 解析 0 5 1 2q q2 1 q 1 2 2 当 q 1 2 2 时 1 2q 0 与分布列的性质矛盾 q 1 2 2 答案 D 3 已知随机变量 的分布列为 P k k 2 1 k 1 2 则 P 2 4 等于 A 16 3 B 4 1 C 16 1 D 5 1 解析 P 2 4 P 3 P 4 3 2 1 4 2 1 16 3 答案 A 4 某批数量较大的商品的次品率为 10 从中任意地连续取出 5 件 其中次品数 的分布列 为 解析 本题中商品数量较大 故从中任意抽取 5 件 不放回 可以看作是独立重复试验 n 5 因 而次品数 服从二项分布 即 B 5 0 1 的分布列如下 012345 P0 950 5 0 940 1 0 930 01 0 9 2 4 5 0 140 15 5 某射手有 5 发子弹 射击一次命中目标的概率为 0 9 如果命中就停止射击 否则一直到子 弹用尽 则耗用子弹数 的分布列为 解析 可以取 1 2 3 4 5 P 1 0 9 P 2 0 1 0 9 0 09 P 3 0 12 0 9 0 009 P 4 0 13 0 9 0 0 00 9 P 5 0 14 0 000 1 分布列为 12345 P0 90 090 0090 000 90 000 1 诱思诱思 实例点拨实例点拨 例 1 一袋中装有 5 只球 编号为 1 2 3 4 5 在袋中同时取 3 只 以 表示取出 的三只球中的最小号码 写出随机变量 的分布列 剖析 因为在编号为 1 2 3 4 5 的球中 同时取 3 只 所以小号码可能是 1 或 2 或 3 即 可 以取 1 2 3 解 随机变量 的可能取值为 1 2 3 当 1 时 即取出的三只球中最小号码为 1 则其他两只球只能在编号为 2 3 4 5 的四只球中任取两只 故有 P 1 3 5 2 4 C C 10 6 5 3 当 2 时 即取出的三只球中最小号码为 2 则其他两只球只能在编号为 3 4 5 的 三只球中任取两只 故有 P 2 3 5 2 3 C C 10 3 当 3 时 即取出的三只球中最小号码为 3 则其他两只球只能在编号为 4 5 的两 只球中任取两只 故有 P 3 3 5 2 2 C C 10 1 因此 的分布列如下表所示 123 P 5 3 10 3 10 1 讲评 求随机变量的分布列 重要的基础是概率的计算 如古典概率 互斥事件的概率 相互 独立事件同时发生的概率 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率等 本题中基本事件总数 即 n C35 取每一个球的概率都属古典概率 等可能性事件的概率 例 2 北京高考 理 甲 乙两人各进行 3 次射击 甲每次击中目标的概率为 2 1 乙每次击 中目标的概率为 3 2 1 记甲击中目标的次数为 求 的概率分布及数学期望 E 2 求乙至多击中目标 2 次的概率 3 求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率 剖析 1 甲射击有击中目标与击不中目标两个结果 且 3 次射击是 3 次独立重复试验 B 3 2 1 2 乙至多击中目标 2 次 的对立事件是 乙击中目标 3 次 3 甲 恰好比乙多击中目标 2 次 即 甲击中 2 次乙没击中目标或甲击中目标 3 次乙击中 1 次 解 1 P 0 C03 2 1 3 8 1 P 1 C13 2 1 3 8 3 P 2 C23 2 1 3 8 3 P 3 C33 2 1 3 8 1 的概率分布如下表 0123 P 8 1 8 3 8 3 8 1 B 3 2 1 E 3 2 1 1 5 2 乙至多击中目标 2 次的概率为 1 C33 3 2 3 27 19 3 设甲恰好比乙多击中目标 2 次为事件 A 甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 0 次为事件 B1 甲恰好击中目标 3 次且乙恰好击中目标 1 次为事件 B2 则 A B1 B2 B1 B2为互 斥事件 P A P B1 P B2 8 3 27 1 8 1 9 2 24 1 甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 24 1 讲评 求离散型随机变量的概率分布的步骤为 1 找出随机变量 的所有可能的值 xi i 1 2 2 求出各值的概率 P xi pi 3 列成表格 例 3 广东高考 箱中装有大小相同的黄 白两种颜色的乒乓球 黄 白乒乓球的数量比 为 s t 现从箱中每次任意取出一个球 若取出的是黄球则结束 若取出的是白球 则将其放 回箱中 并继续从箱中任意取出一个球 但取球的次数最多不超过 n 次 以 表示取球结束 时已取到白球的次数 1 求 的分布列 2 求 的数学期望 解 1 的可能取值为 0 1 2 n 的分布列为 012 n 1n P ts s 2 ts st 3 2 ts st n n ts st 1 n n ts t 2 的数学期望为 E 0 ts s 1 2 ts st 2 3 2 ts st n 1 n n ts st 1 n n n ts t ts t