江苏南化一中高三数学二轮复习 1 函数学案

用心 爱心 专心1 1 1 函数函数 一 函数的定义 分段函数的定义和理解一 函数的定义 分段函数的定义和理解 二 函数的性质二 函数的性质 1 定义域 自然定义域 分段函数的定义域 应用题中的定义域 复合函数的定义域等 2 值域 求值域 分拆法 图象法 单调性法 基本不等式法 换元法 判别式法等 3 奇偶性 在整个定义域内考虑 1 定义 2 判断方法 定义法 步骤 求出定义域并判断定义域是否关于原点对称 求 xf 比较 xfxf与 或 xfxf 与的关系 图象法 3 常用的结论 已知 xgxfxH 若非零函数 xgxf的奇偶性相同 则在公共定义域内 xH为偶函数 若非零函数 xgxf的奇偶性相反 则在公共定义域内 xH为奇函数 若 xf是奇函数 且定义域 0 则 0 0f 4 单调性 在定义域的某一个子集内考虑 1 定义 2 证明函数单调性的方法 定义法 步骤 设 2121 xxAxx 且 作差 21 xfxf 一般结果要分解为若干个因 式的乘积 且每一个因式的正或负号能清楚地判断出 判断正负号 多项式函数 用导数证明 若 xf在某个区间 A 内有导数 则 0fx xA xf在 A 内为增函数 0fx xA xf在 A 内为减函数 3 求单调区间的方法 a 定义法 b 导数法 c 图象法 d 复合函数 xgfy 在公共定义域上的单调性 若 f 与 g 的单调性相同 则 xgf为增函数 若 f 与 g 的单调性相反 则 xgf为减函数 注意 先求定义域 单调区间是定义域的子集 4 一些有用的结论 奇函数在其对称区间上的单调性相同 偶函数在其对称区间上的单调性相反 在公共定义域内 增函数 xf增函数 xg是增函数 减函数 xf减函数 xg是减函数 增函数 xf减函数 xg是增函数 减函数 xf增函数 xg是减函数 一个重要的函数 函数 0 0 ba x b axy在 abab 或上单调递增 在 abab 或 0 0 上是单调递减 5 函数的周期性 1 定义 若 T 为非零常数 对于定义域内的任一 x 使 xfTxf 恒成立 则 f x叫 做周期函数 T 叫做这个函数 f x的一个周期 举例 若函数 xf在 R 上是奇函数 且在 01 上是增函数 且 2 xfxf 则 xf关于 对称 xf的周期为 xf在 1 2 是 函数 增 减 若x 0 1 时 xf x 2 则 1 2 log 18 f 三 函数的图象三 函数的图象 1 基本函数的图象 1 一次函数 2 二次函数 3 反比例函数 4 指数函数 5 对数函数 6 三角函 数 7 函数 0 0 ba x b axy 2 图象的变换 1 平移变换 函数 0 yf xa a 的图象是把函数 yf x 的图象沿x轴向左平移a个单位得到的 函数 0 yf xa a 的图象是把函数 yf x 的图象沿x轴向右平移a个单位得到的 函数 0 yf xa a 的图象是把函数 yf x 的图象沿y轴向上平移a个单位得到的 函数 0 yf xa a 的图象是把函数 yf x 的图象沿y轴向下平移a个单位得到的 2 对称变换 函数 xfy 与函数 xfy 的图象关于直线 x 0 对称 函数 xfy 与函数 xfy 的图象关于直线 y 0 对称 函数 xfy 与函数 xfy 的图象关于坐标原点对称 用心 爱心 专心3 如果函数 xfy 对于一切 Rx 都有 f ax f ax 那么 xfy 的图象关于 直线ax 对称 如果函数 xfy 对于一切 Rx 都有 2f axf axb 那么 xfy 的图象关于点 a b对称 函数 xafy 与函数 xafy 的图象关于直线ax 对称 xfy xfy xfy yfx 1 xfy 与 xfy 关于直线xy 对称 3 伸缩变换 主要在三角函数的图象变换中 举例 已知函数 xfy 的图象过点 1 1 则 4 xf 的反函数的图象过点 四 函数的反函数四 函数的反函数 1 求反函数的步骤 1 求原函数 xfy Ax 的值域 B 2 把 xfy 看作方程 解出 yx 注意开平方时的符号取舍 3 互换 x y 得 xfy 的反函数为 1 xfy Bx 2 定理 1 abfbaf 1 即点 a b在原函数图象上 点 b a在反函数图 象上 2 原函数与反函数的图象关于直线yx 对称 3 有用的结论 原函数 xfy 在区间 aa 上单调的 则一定存在反函数 且反函数 1 xfy 也单调的 且单调性相同 但一个函数存在反函数 此函数不一定单调 举例 1 2 3log 1 yx 0 x的反函数为 2 设 0 329 1 fxf xx 五 函数 方程与不等式五 函数 方程与不等式 1 实系数一元二次方程0 2 cbxax有实数解 转化为 04 2 acb 你是否注 意到必须0 a 当a 0 时 方程有解 不能转化为04 2 acb 若原题中没有指出是 二次 方程 函数或不等式 你是否考虑到二次项系数可能为零的情形 2 利用二次函数的图象和性质 讨论一元二次方程实根的分布 设 21 x x为方程 0 0 axf的两个实根 若 21 mxmx 则0 mf 当在区间 nm内有且只有一个实根 时 当在区间 nm内有且只有两个实根时 若qxpnxm 21 时 注意 根据要求先画出抛物线 然后写出图象成立的充要条件 注意端点 验证端点 六 指数函数与对数函数六 指数函数与对数函数 1 指数式与对数式 0 1 0 log aab R Nb a aNNb 对数的三个性质 0N log 10 a log1 aa 对数恒等式 logaN aN 对数运算性质 log loglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N loglog m n a a n MM m 2 0 1 nfmf 0 0 2 0 nf mf n a b m 0 0 0 0 f m f n f p f q 用心 爱心 专心5 2 指数函数与对数函数 1 定义和关系 2 特征图象与性质归纳 列表 指数函数 y ax a 0 a 1 对数函数 y log ax a 0 a 1 0 a10 a1 特征图象 定义域 0 值域 0 单调性减函数增函数减函数增函数 定点 0 1 1 0 函数值分布x1 x 0 时 0 y 1 x o 时 0 y0 时 y 1 0 x0 x 1 时 y 0 0 x 1 时 y