常微分方程期末试题答案

一 填空题 每空一 填空题 每空 2 分 共分 共 16 分 分 1 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 22 d d yx x y 2 方程组的任何一个解的图象是 n 1 维 n xx x RYRYF Y d d 空间中的一条积分曲线 3 连续是保证方程初值唯一的 充分 条件 yxfy d d yxf x y 4 方程组的奇点的类型是 中心 x t y y t x d d d d 0 0 5 方程的通解是 2 2 1 yyxy 2 2 1 CCxy 6 变量可分离方程的积分因子是 0 dyyqxpdxyNxM xPyN 1 7 二阶线性齐次微分方程的两个解 成为其基本解组的充要 1 xy 2 xy 条件是 线性无关 8 方程的基本解组是 440yyy xx x 22 e e 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 3 分 共分 共 15 分 分 9 一阶线性微分方程的积分因子是 A d d y p x yq x x A B C D xxpd e xxqd e xxpd e xxqd e 10 微分方程是 B 0d ln dln yyxxyy A 可分离变量方程 B 线性方程 C 全微分方程 D 贝努利方程 11 方程 x y2 1 dx y x2 1 dy 0 的所有常数解是 C A B 1 x1 y C D 1 y1 x1 y1 x 12 阶线性非齐次微分方程的所有解 D n A 构成一个线性空间 B 构成一个维线性空间1 n C 构成一个维线性空间 D 不能构成一个线性空间1 n 13 方程 D 奇解 2 22 xyy A 有一个 B 有无数个 C 只有两个 D 无 三 计算题 每小题三 计算题 每小题 8 分 共分 共 48 分 分 14 求方程的通解 2 2 2 d d x yxy x y 解 令 则 于是 u x y dx dy xu dx dy Cx u u x uu dx du 1 2 所以原方程的通解为 xyx Cx C y 1 2 15 求方程的通解0d ln d 3 yxyx x y 解 取 xyyxN x y yxMln 3 则 于是原方程为全微分方程 x yxNyxM xy 1 所以原方程的通解为 yx Cdyydx x y 1 3 1 即 Cyxy 4 4 1 ln 16 求方程的通解 22 2 1 xyxyy 解 令 得到 两端同时关于求导 py 2 2 2 x xppy 整理得 则 012 dx dp xp 取 得 代入 得解 02 xp 2 x p 4 2 x y 取 得 代入 得原方程得通解为 01 dx dp Cxp 2 2 2 CxCx x y 17 求方程的通解 5 3 x yye 解 对应的齐次方程的特征方程为 03 2 特征根为 0 1 3 2 故齐次方程的通解为 x CCy 3 21 e 因为不是特征根 所以 设非齐次方程的特解为5 x Axy 5 1 e 代入原方程 得 xxx AA 555 ee15e25 即 10 1 A 故原方程的通解为 xx CCy 53 21 e 10 1 e 18 求方程的通解2 cos7sin x yyyexx 解 先求解对应的其次方程 则有 02 yyy xx eCeCy 2 2121 2 2 1 02 因为数不是特征根 故原方程具有形如ii 1 的特解 xBxAey x sincos 1 将上式代入原方程 由于 xBxAey x sincos 1 xABxBAey x sincos 1 xAxBey x sin2cos2 1 故 yyy2 xAxBe x sin2cos2 xABxBAe x sincos xxexBxAe xx sin7cossincos2 或 xxxABxABsin7cossin3cos3 比较上述等式两端的的系数 可得 xx sin cos73 13 BABA 因此 故 1 2 BA xxey x sin1cos2 1 所求通解为 xxx eCeCxxey 21 sin1cos2 19 求方程组的实基本解组 35 53 dY Y dx 解 方程组的特征多项式为 其特征根是 那么 35 53 i 53 2 1 属于的特征向量 1 1 1 i 属于的特征向量 2 i 1 2 则方程的基本解组为 xixi xixi iee eie x 5353 5353 1 其实基本解组为 0 1 11 x 而 i i i i 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 因此所求实基本解组为 x 0 1 11 x xexe xexe i i iee eie tt tt xixi xixi 5cos5sin 5sin5cos 1 1 2 1 33 33 5353 5353 四 应用题 每小题四 应用题 每小题 11 分 共分 共 11 分 分 20 1 求函数的拉普拉斯变换 at f te 2 求初值问题的解 3 322 0 0 0 0 t xxxe xx 解 1 as as as e as dtedteee tastasatstat 1 0 1 0 2 设 是已知初值问题的解 对已知方程两端同时使用拉普 sXtx tx 拉斯变换 可分别得到 21 23232323 22 sssX sssXsssXxxxxxx 3 2 22 33 s ee tt 故有 321 2 sss sX 使用部分分式法 可得 3 1 2 2 1 1 sss sX 由 1 可知 3 1 2 1 1 1 32 s e s e s e ttt 故所求的初值解为 ttt eeetx 32 2 五 证明题 每小题五 证明题 每小题 10 分 共分 共 10 分 分 21 证明 对任意及满足条件的 方程 0 x 0 01y 0 y 的满足条件的解在上存在 22 d 1 d1 yy y xxy 00 y xy yy x 证 由于 22 1 1 yx yy yxf 222 22 1 2 1 1 12 yx yyyyxy yxfy 在全平面上连续 所以原方程在全平面上