江苏省2013届高考数学二轮复习 专题2 函数的性质及应用(Ⅱ)

1 江苏省江苏省 20132013 届高考数学 苏教版 二轮复习专题届高考数学 苏教版 二轮复习专题 2 2 函数的性质函数的性质 及应用及应用 高考中考查函数性质的形式不一 时而填空题 时而解答题 时而与其他章节综合 在 解决问题的某一步骤中出现 在二轮复习中要注重知识点之间的联系 同时还要注意结合函 数图象解决问题 此外 函数的对称性 周期性常与函数的奇偶性 单调性综合起来考查 函数的零点问题是近年来新增的一个考点 也要引起足够的重视 1 已知函数F x f 1 是 R R 上的奇函数 an f 0 x 1 2 f f f f 1 n N N 则数列 an 的通项an 1 n 2 n n 1 n 解析 由题意知F x F x 即 f 1 f 1 f f 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 令t x 则f t f 1 t 2 1 2 分别令t 0 得 1 n 2 n n 1 n n n f 0 f 1 f f 2 1 n n 1 n an f 0 f f f f 1 1 n 2 n n 1 n 由倒序相加法得 2an 2 n 1 故an n 1 答案 n 1 2 2012 徐州期末 设函数f x x x bx c 给出下列四个命题 当c 0 y f x 是奇函数 当b 0 c 0 时 方程f x 0 只有一个实数根 y f x 的图象关于点 0 c 对称 方程f x 0 至多有两个实数根 其中命题正确的是 2 解析 当c 0 时f x x x bx f x 正确 当b 0 ca的解集为M 且 2 M 则a的取值范围是 ax 1 x 1 4 定义域为 R R 的函数f x 满足f x 1 f x 1 则f x 是周期函数 已知f x 满足对x R R 都有f f 2 成立 则f f f 7 1 2 x 1 2 x 1 8 2 8 7 8 其中正确结论的序号是 把你认为正确命题的序号都填上 解析 由 k 3x 3x log3 k k 0 知 正确 由 2 M得 a 即a 故 不 2a 1 2 1 4 正确 由f x 1 得f x 2 f x 故 正确 由f f 2 得f x 1 f x 1 2 x 1 2 x f 1 x 2 且f 1 故f f f 7 正确 1 2 1 8 2 8 7 8 答案 5 给出定义 若m c 称f x 为 平底型 函数 判断f1 x x 1 x 2 f2 x x x 2 是否是 平底型 函数 简要说明理 由 5 解 f1 x x 1 x 2 是 平底型 函数 存在区间 1 2 使得x 1 2 时 f x 1 当x2 时 f x 1 恒成立 f2 x x x 2 不是 平底型 函数 不存在 a b R使得任取x a b 都有f x 常数 典例2 2012 南京一模 对于函数f x 若存在实数对 a b 使得等式f a x f a x b对定义域中的每一个x都成立 则称函数f x 是 a b 型函数 1 判断函数f x 4x是否为 a b 型函数 并说明理由 2 已知函数g x 是 1 4 型函数 当x 0 2 时 都有 1 g x 3 成立 且当 x 0 1 时 g x x2 m x 1 1 m 0 试求m的取值范围 解 1 函数f x 4x是 a b 型函数 因为由f a x f a x b 得 16a b 所以存在这样的实数对 如a 1 b 16 2 由题意得 g 1 x g 1 x 4 所以当x 1 2 时 g x 其中 2 x 0 1 4 g 2 x 而x 0 1 时 g x x2 m 1 x 1 x2 mx m 1 0 且其对称轴方程为x m 2 当 1 即m 2 时 g x 在 0 1 上的值域为 g 1 g 0 即 2 m 1 则g x 在 m 2 0 2 上的值域为 2 m 1 4 m 1 2 4 m 1 m 1 由题意得Error 此时无解 当 1 即 1 m 2 时 g x 的值域为 即 1 2 m 2 g m 2 g 0 m 1 m2 4 m 1 所以g x 在 0 2 上的值域为 m 1 m2 4 m 1 4 m 1 4 m 1 m2 4 由题意得Error 且Error 解得 1 m 2 当 0 即 0 m 1 时 g x 的值域为 即 则g x m 2 1 2 g m 2 g 1 m 1 m2 4 2 在 0 2 上的值域为 m 1 m2 4 2 2 4 m 1 m2 4 6 m 1 m2 4 4 m 1 m2 4 则Error 解得 2 m 1 2 6 3 综上所述 所求m的取值范围是 2 2 6 3 2 本题主要考查函数的综合性质 分类讨论思想 第一问比较容易 好入手 第二问转化 有点困难 应先把函数在 1 2 上的解析式求出来 然后求值域并转化为子集关系解题 求 值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型 并且同时研究两个二次函数 要进行比较 演练2 2012 金陵中学期末 已知函数f x 的图象在 a b 上连续不断 定义 f1 x min f t a t x x a b f2 x max f t a t x x a b 其中 min f x x D 表示函数f x 在区间上的最小值 max f x x D 表示函数f x 在 区间上的最大值 若存在最小正整数k 使得f2 x f1 x k x a 对任意的x a b 成 立 则称函数为区间 a b 上的 k阶收缩函数 1 若f x cos x x 0 试写出f1 x f2 x 的表达式 2 已知函数f x x2 x 1 4 试判断f x 是否为 1 4 上的 k阶收缩函数 如果是 求出相应的k 如果不是 请说明理由 3 已知b 0 函数f x x3 3x2是 0 b 上的 2 阶收缩函数 求b的取值范围 解 1 f1 x cos x x 0 f2 x 1 x 0 2 f1 x Error f2 x Error f2 x f1 x Error 当x 1 0 时 1 x2 k x 1 k 1 x 即k 2 当x 0 1 时 1 k x 1 k 即k 1 1 x 1 当x 1 4 时 x2 k x 1 k 即k x2 x 1 16 5 综上 存在k 4 使得f x 是 1 4 上的 4 阶收缩函数 3 f x 3x2 6x 3x x 2 在 0 2 上f x 0 f x 递增 在 2 上f x 0 f x 递减 当 0 x 0 成立 即存在x 0 b 使得 x x2 3x 1 0 成立 即x 0 或 x 3 5 2 综上3 时 f x 在 0 2 上递增 在 2 b 上递减 f2 x f 2 4 f1 x f b 4 x 0 x 当x 0 时 f2 x f1 x 2 x 0 也不成立 综上 b 1 3 5 2 典例3 2012 栟茶模拟 已知函数f x ax x2 xln a a 0 a 1 1 当a 1 时 求证 函数f x 在 0 上单调递增 2 若函数y f x t 1 有三个零点 求t的值 3 若存在x1 x2 1 1 使得 f x1 f x2 e 1 试求a的取值范围 解 1 证明 f x axln a 2x ln a 2x ax 1 ln a 由于a 1 故当x 0 时 ln a 0 ax 1 0 所以f x 0 故函数f x 在 0 上单调递增 2 当a 0 a 1 时 因为f 0 0 且f x 在 R R 上单调递增 故f x 0 有惟一解x 0 所以x f x f x 的变化情况如下表所示 8 x 0 0 0 f x 0 f x 递减极小值递增 又函数y f x t 1 有三个零点 所以方程 f x t 1 有三个根 而t 1 t 1 所以t 1 f x min f 0 1 解得t 2 3 因为存在x1 x2 1 1 使得 f x1 f x2 e 1 所以当x 1 1 时 f x max f x min f x max f x min e 1 由 2 知 f x 在 1 0 上递减 在 0 1 上递增 所以当x 1 1 时 f x min f 0 1 f x max max f 1 f 1 而f 1 f 1 a 1 ln a a 2ln a 1 a 1 ln a 1 a 记g t t 2ln t t 0 1 t 因为g t 1 2 0 当且仅当t 1 时取等号 1 t2 2 t 1 t 1 所以g t t 2ln t在t 0 上单调递增 而g 1 0 1 t 所以当t 1 时 g t 0 当 0 t 1 时 g t 1 时 f 1 f 1 当 0 a 1 时 f 1 1 时 由f 1 f 0 e 1 a ln a e 1 a e 当 0 a0 x 1 2 9 8 1 求g x 的表达式 2 若 x 0 使f x 0 成立 求实数m的取值范围 3 设 1 m e H x f x m 1 x 证明 对 x1 x2 1 m 恒有 H x1 H x2 0 1 2 当m 0 时 由对数函数性质 f x 的值域为 R R 当m 0 时 f x 0 对 x 0 f x 0 恒成立 x2 2 当m0 Error e m0 f x 0 恒成立 则实数m的取值范围是 e 0 故 x 0 使f x 0 成立 实数m的取值范围 e 0 3 证明 因为对 x 1 m H x 0 所以H x 在 1 m 内单 x 1 x m x 调递减 10 于是 H x1 H x2 H 1 H m m2 m ln m 1 2 1 2 H x1 H x2 1 m2 m ln m 1 1 2 1 2 m ln m 0 1 2 1 m 3 2m2 3 2 1 m 1 3 1 3 所以函数h m m ln m 在 1 e 上是单调增函数 1 2 3 2m 所以h m h e 1 0 故命题成立 e 2 3 2e e 3 e 1 2e 专题技法归纳 1 对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决 奇偶性只是对称性中最特殊的 一种 2 对于形如 x1 x2 1 m 恒有 H x1 H x2 1 的问题 要注意转化成最值问 题处理 同时在利用导数的正负探究函数的单调性时 为判断导函数的正负 有时还需要设 计成研究导函数的最值问题 1 定义域为 R R 的函数f x Error 则关于x的方程f2 x bf x c 0 有 5 个不同的 实数根x1 x2 x3 x4 x5 求f x1 x2 x3 x4 x5 解析 作出函数f x 的图象可以得到x1 x2 x3 x4 x5 9 f 9 lg 7 lg 7 答案 lg 7 2 若函数f x 满足 f x 3 f 5 x 且方程f x 0 恰有 5 个不同实根 求这些实 根之和为 解析 由题意可得到图象关于x 4 对称 所以和为 20 答案 20 3 已知函数f x x3 bx2 cx d在区间 1 2 上是减函数 则b c的最大值是 解析 由题意f x 3x2 2bx c在区间 1 2 上满足f x 0 恒成立 则Error 即Error 此问题相当于在约束条件Error 下求目标函数z b c的最大值 作出 可行域 图略 由图可知 当直线l b c z过 2b c 3 0 与 4b c 12 0 的交点M 11 时 z最大 zmax 6 3 2 6 3 2 15 2 答案 15 2 4 某同学在研究函数f x x R R 时 分别给出下面几个结论 x 1 x 等式f x f x 0 在x R R 时恒成立 函数f x 的值域为 1 1 若x1 x2 则一定有f x1 f x2 函数g x f x x在 R R 上有三个零点 其中正确结论的序号有 请将你认为正确的结论的序号都填上 解析 显然正确 由 f x 1 知 正确 可以证明f x 在 x 1 x 1 x 1 x 上是增函数 故 正确 由f x x 0 得 x 此方程只有一根x 0 x 1 x 故 不正确 答案 5 若关于x的方程x2 2 x t 至少有一个负数解 则实数t的取值范围是 解析 方程等价于 x t 2 x2 结合y x t 与y 2 x2 图象 如图 找出两边临界值 可得 t 2 9 4 答案 9 4 2 6 已知函数f x Error 若关于x的方程f x k有两个不同的实根 则实数k的取值 范围是 解析 f x x 2 单调递减且值域为 0 1 f x x 1 3 x 2 单调递增且值域为 2 x 1 f x k有两个不同的实根 则实数k的取值范围是 0 1 答案 0 1 7 对于实数a和b 定义运算 a b Error 设f x 2x 1 x 1 且关于x 的方程为f x m m R R 恰有三个互不相等的实数根x1 x2 x3 则x1x2x3的取值范围是 解析 由定义运算 可知f x Error Error 画出该函数图象可知满足条件的取值范围是 1 3 16 0 12 答案 1 3 16 0 8 定义在 R R 上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1 时 f x x 2 2 当 1 x 3 时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2 012 解析 由f x 6 f x 可知函数的周期为 6 所以f 3 f 3 1 f 2 f 4 0 f 1 f 5 1 f 0 f 6 0 f 1 1 f 2 2 所以在一个周期内 有f 1 f 2 f 6 1 2 1 0 1 0 1 所以f 1 f 2 f 2 012 f 1 f 2 335 1 335 3 338 答案 338 9 2012 南师附中 设f x 是定义在 R R 上的奇函数 且当xb c 且f 1 0 是否存在m R R 使得f m a成立时 f m 3 为正数 若存在 证明你的结论 若不存在 说明理由 13 2 若对x1 x2 R R 且x1b c 所以a 0 且c0 且c 0 0b c b a c c a 2 c a 1 2 假设存在这样的m 由题意 则 a m 1 a 0 m 3 2 3 1 c a f x 在 1 单调递增 f m 3 f 1 0 即存在这样的m使f m 3 0 2 令g x f x f x1 f x2 1 2 则g x 是二次函数 g x1 g x2 f x1 f x1 f x2 2 f x2 f x1 f x2 2 f x1 f x2 2 0 1 4 又 f x1 f x2 g x1 g x2 0 g x 0 有两个不等实根 且方程g x 0 的根必有一个属于 x1 x2 3 由f 0 0 得c 0 f x ax2 bx 由f x x 得方程ax2 b 1 x 0 解得x1 0 x2 1 b a 又由f f x x得a f x 2 bf x x 14 a f x x x 2 b f x x x x a f x x 2 2a