现代控制一级倒立摆

倒立摆实验倒立摆实验 电子工程学院电子工程学院 自动化自动化 学号 学号 目录目录 1 实验设备简介 2 1 1 倒立摆介绍 2 1 2 直线一级倒立摆 3 2 倒立摆建模 3 2 1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 3 2 1 1 受力分析 4 2 1 2 微分方程建模 5 2 1 3 状态空间数学模型 6 2 2 实际系统模型建立 7 3 系统定性 定量分析 8 3 1 系统稳定性与可控性分析 8 3 1 1 稳定性分析 8 3 1 2 能控性分析 9 4 极点配置的设计步骤 9 4 1 极点配置的计算 9 4 2 用 MATLAB 进行极点配置的计算 11 4 3 极点配置的综合分析 12 5 小结 13 1 实验设备简介实验设备简介 1 1 倒立摆介绍倒立摆介绍 倒立摆是处于倒置不稳定状态 人为控制使其处于动态平衡的 一种摆 如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统 是 一个复杂 多变量 存在严重非线性 非自制不稳定系统 常见的 倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成 其中摆杆可能是一级 二级 或多级 在复杂的倒立摆系统中 摆杆的长度和质量均可变化 1 2 直线一级倒立摆直线一级倒立摆 根据自控原理实验书上相关资料 直线一级倒立摆在建模时 一 般忽略系统中的一些次要因素 例如空气阻力 伺服电机的静摩擦力 系统连接处的松弛程度等 之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小 车和匀质的杆组成的系统 倒立摆系统是典型的机电一体化系统其 机械部分遵循牛顿的力学定律其电气部分遵守电磁学的基本定理 无 论哪种类型的倒立摆系统 都具有 3 个特性 即 不确定性 耦合性 开环不稳定性 直线型倒立摆系统 是由沿直线导轨运动的小车以及 一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统 小车可以通过传动装置由 交流伺服电机驱动 小车导轨一般有固定的行程 因而小车的运动范 围是受到限制的 2 倒立摆建模倒立摆建模 2 1 直线一阶倒立摆数学模型的推导直线一阶倒立摆数学模型的推导 对于忽略各种摩擦参数和空气阻力之后 直线一即倒立摆抽象 为小车和均质杆组成的系统 本系统的参数定义如下 M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 变量 摆杆与垂直向上方向的夹角 输出 摆杆与垂直向下方向的夹角 考虑到摆杆 初始位置为竖直向下 2 1 1 受力分析受力分析 下面我们对这个系统作一下受力分析 和为小车与摆杆相互作 NP 用力的水平和垂直方向的分量 应用牛顿第二定律方法来建立系统的动力学方程过程如下 分析小车水平方向所受的合力 可以得到以下方程 2 1 NxbFxM 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式 2 2 2 2 sin d Nmxl dt 2 3 2 cossinNmxmlml 把这个等式代入上式中 就得到系统的第一个运动方程 2 FmlmlxbxmM sincos 2 4 为了推出系统的第二个运动方程 我们对摆杆垂直方向上的合力进 行分析 可以得到下面方程 2 5 2 2 cos d Pmgml dt 2 6 2 sincosPmgmlml 力矩平衡方程如下 2 7 INlPl cossin 注意 此方程中力矩的方向 由于 故等式前面有负号 sinsin coscos 合并这两个方程 约去和 得到第二个运动方程 PN 2 8 cossin 2 xmlmglmlI 2 1 2 微分方程建模微分方程建模 设 当摆杆与垂直向上方向之间的夹角 与 1 单位是弧度 相比很小 即 时 则可以进行近似处理 1 1cos 为了与控制理论的表达习惯相统一 即一 sin 0 2 dt d u 般表示控制量 用 来代表被控对象的输入力 线性化后得到该 uF 系统数学模型的微分方程表达式 2 9 umlxbxmM xmlmglmlI 2 2 1 3 状态空间数学模型状态空间数学模型 由现代控制理论原理可知 控制系统的状态空间方程可写成如下形 式 2 10 DuCXY BuAXX 方程组 2 9 对解代数方程 得到如下解 x 2 11 u MmlmMI ml MmlmMI mMmgl x MmlmMI mlb u MmlmMI mlI MmlmMI glm x MmlmMI bmlI x xx 222 2 2 2 22 2 2 整理后得到系统状态空间方程 u MmlmMI ml MmlmMI mlI x x MmlmMI mMmgl MmlmMI mlb MmlmMI glm MmlmMI bmlI x x 2 2 2 22 2 22 2 2 0 0 0 0 1000 0 0 0010 2 12 10000 00100 x xx yu 2 2 实际系统模型建立实际系统模型建立 实际系统参数如下 求系统的传递函数 状态空间方程 并进行脉 冲响应和阶跃响应的 Matlab 仿真 M 小车质量 1 096kg m 摆杆质量 0 109kg b 小车摩擦系数 0 1N m sec l 摆杆转动轴心到杆质心 的长度 本实验为 0 3m 0 25m I 摆杆惯量 0 006kg m m F 加在小车上的力 x 小车位置 T 采样频率0 005 秒 摆杆与垂直向下方向的 夹角 1 以外界作用力作为输入的系统状态方程 u x x x x 2 6838 0 0 8906 0 031 69261 9235 0 1000 00 71670 0891 0 0010 10000 00100 x xx yu 3 系统定性 定量分析系统定性 定量分析 3 1 系统稳定性与可控性分析系统稳定性与可控性分析 3 1 1 稳定性分析稳定性分析 先分析系统的稳定性 将数据代入状态方程中 利用 matlab 程序可 以求出系统的零极点 程序段如下 num den ss2tf A B C D 状态空间表达式 传递函数 为 2 6838 s 2 31 6926 z p k tf2zp num den 传递函数 零极点型 结果如下 零点 z 5 4344 0 5492 5 4344 0 0000 极点 p 0 5 6516 5 6081 0 0456 由得到的 p 极点 可知 有的极点在单位圆外 所以可知原系统 是不稳定 3 1 2 能控性分析能控性分析 我们可以利用 matlab 来得到系统的能控性 源代码如下 uc ctrb A B 判断能控性 r rank uc 求秩 r 4 由得到的 rank ud 的值可知 原系统的能控性矩阵为 4 所以我 们可知原系统是能控的 4 极点配置的设计步骤极点配置的设计步骤 4 1 极点配置的计算极点配置的计算 对于如上所述的系统 设计控制器 要求系统具有较短的调整时间 和合适的阻尼 倒立摆极点配置原理图如图所示 极点配置步骤如下 1 检验系统能控性 以证 2 计算特征值 选取期望的闭环极点 其中 4 3 2 1i i jj3 32 3 32 10 10 1321 期望的特征方程为 1489 8 69789 19424 3 323 321010 234 4321 jj 因此可以得到 2489 194 8 6971489 4321 由系统的特征方程 8238 2 6926 31 0891 0 6926 31 9235 1 0 100 07167 0 0891 0 0 001 234 AI 因此有 0891 0 6926 31 8238 2 0 4321 aaaa 系统的反馈增益矩阵为 1 4 4 33 22 11 TaaaaK 3 状态反馈增益矩阵为 K 19 8540 114 1177 32 9817 56 6141 1 4 4 33 22 11 TaaaaK 4 2 用用 MATLAB 进行极点配置的计算进行极点配置的计算 程序段如下 num den ss2tf A B C D 状态空间表达式 传递函 数为 2 6838 s 2 31 6926 p 10 10 2 3 3j 2 3 3j 期望极点配置 K acker A B p 求状态增益 K 结果相同 19 8540 114 1177 32 9817 56 6141 K 系统输出响应 图 3 系统输出响应图 4 3 极点配置的综合分析极点配置的综合分析 极点配置法成功实现了同时对倒立摆摆角和小车的位置的控制 但 是在极点配置时 期望极点的选取 需要考虑 研究它们对系统品 质的影响以及它们与零点分布状况的关系 还需要顾及抗干扰性能 方面的要求 状态反馈系统的主要优点是极点的任意配置 无论开环极点和零点 在什么位置 都可以任意配置期望的闭环极点 这为我们提供了控 制系统的手段 假如系统的所有状态都可以被测量和反馈的话 状 态反馈可以提供简单而适用的设计 5 小结小结 通过本次读书工程 我对状态空间有了更深的了解 从建立系统传 递函数到状态空间方程再到对系统的稳定性能控性分析 都充分的 将理论与实践