2011高考数学课下练兵 直线与圆锥的位置关系[理]

第八章第八章 第十节第十节 直线与圆锥的位置关系直线与圆锥的位置关系 理理 课下练兵场课下练兵场 命命 题题 报报 告告 难度及题号难度及题号 知识点知识点 容易题容易题 题号题号 中等题中等题 题号题号 稍难题稍难题 题号题号 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系1 1 3 35 5 7 7 8 8 9 9 相交弦的问题相交弦的问题2 2 4 4 6 6 综合应用综合应用 1010 1111 1212 一 选择题一 选择题 1 1 设抛物线 设抛物线y y2 2 8 8x x的准线与的准线与x x轴交于点轴交于点Q Q 若过点 若过点Q Q的直线的直线l l与抛物线有公共点 则直线与抛物线有公共点 则直线 l l的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是 A A B B 2 2 2 2 C C 1 1 1 1 D D 4 4 4 4 1 1 2 2 1 1 2 2 解析 设直线方程为解析 设直线方程为y y k k x x 2 2 与抛物线联立方程组 整理得 与抛物线联立方程组 整理得kyky2 2 8 8y y 1616k k 0 0 当当 k k 0 0 时 直线与抛物线有一个交点 当时 直线与抛物线有一个交点 当k k 0 0 时 由时 由 6464 6464k k2 2 0 0 解得 解得 1 1 k k 1 1 所以 所以 1 1 k k 1 1 答案 答案 C C 2 2 2010 2010 西城模拟西城模拟 设斜率为设斜率为 1 1 的直线的直线l l与椭圆与椭圆C C 1 1 相交于不同的两点相交于不同的两点A A B B x x2 2 4 4 y y2 2 2 2 则使则使 ABAB 为整数的直线为整数的直线l l共有共有 A A 4 4 条条 B B 5 5 条条 C C 6 6 条条 D D 7 7 条条 解析 设直线解析 设直线ABAB的方程为的方程为y y x x b b 代入椭圆 代入椭圆C C 1 1 可得 可得 x x2 2 4 4 y y2 2 2 2 3 3x x2 2 4 4bxbx 2 2b b2 2 4 4 0 0 由 由 1616b b2 2 12 212 2b b2 2 4 04 0 可得 可得b b2 2 6 b b 0 0 的左 右焦点分别为的左 右焦点分别为F F1 1 F F2 2 过 过F F1 1作倾斜角为作倾斜角为 30 30 的直线与的直线与 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 椭圆有一个交点椭圆有一个交点P P 且 且PFPF2 2 x x轴 则此椭圆的离心率轴 则此椭圆的离心率e e为为 A A B B C C D D 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 解析 在解析 在 Rt Rt PFPF2 2F F1 1中 中 PFPF1 1F F2 2 30 30 F F1 1F F2 2 2 2c c PFPF1 1 2 2 PFPF2 2 根据椭圆的定义 根据椭圆的定义 得得 PFPF2 2 a a PFPF1 1 a a 又 又 PFPF1 1 2 2 PFPF2 2 2 2 F F1 1F F2 2 2 2 即 即a a2 2 a a2 2 4 4c c2 2 e e 2 2 3 3 4 4 3 3 1 16 6 9 9 4 4 9 9 c c a a 3 3 3 3 答案 答案 A A 4 4 过抛物线 过抛物线y y2 2 4 4x x的焦点的焦点F F作两条弦作两条弦ABAB和和CDCD 且 且ABAB x x轴 轴 CDCD 2 2 ABAB 则弦 则弦CDCD所在所在 直线的方程是直线的方程是 A A x x y y 1 1 0 0 B B x x y y 1 1 0 0 或或x x y y 1 1 0 0 C C y y x x 1 1 2 2 D D y y x x 1 1 或或y y x x 1 1 2 22 2 解析 依题意知解析 依题意知ABAB为抛物线的通径 为抛物线的通径 ABAB 2 2p p 4 4 CDCD 2 2 ABAB 8 8 显然满足条件的 显然满足条件的 直线直线CDCD有两条 验证选项有两条 验证选项 B B 由 由Error 得 得 x x2 2 6 6x x 1 1 0 0 x x1 1 x x2 2 6 6 此时 此时 CDCD x x1 1 x x2 2 p p 8 8 符合题意 同理 符合题意 同理 x x y y 1 1 0 0 也符合题意 也符合题意 答案 答案 B B 5 5 已知 已知F F1 1 F F2 2是双曲线是双曲线 1 1 a a 0 0 b b 0 0 的两个焦点 以线段的两个焦点 以线段F F1 1F F2 2为斜边作等腰直角为斜边作等腰直角 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 三角形三角形F F1 1MFMF2 2 如果线段 如果线段MFMF1 1的中点在双曲线上 则该双曲线的离心率是的中点在双曲线上 则该双曲线的离心率是 A A B B C C D D 6 62 26 62 2 1 10 0 2 2 2 2 1 10 0 2 2 2 2 解析 记双曲线的焦距为解析 记双曲线的焦距为 2 2c c 依题意知点依题意知点M M在在y y轴上 不妨设轴上 不妨设F F1 1 F F2 2分别是双曲线的左 分别是双曲线的左 右焦点 右焦点 M M在在y y轴正半轴上 则有轴正半轴上 则有F F1 1 c c 0 0 M M 0 0 c c 线段 线段MFMF1 1的中点坐标是的中点坐标是 又线段 又线段MFMF1 1的中点在双曲线上 于是有的中点在双曲线上 于是有 1 1 即 即 c c 2 2 c c 2 2 f f c c 2 2 2 2 a a2 2 f f c c 2 2 2 2 b b2 2 4 4 4 4 e e2 2 2 2 6 6e e2 2 4 4 0 0 e e2 2 3 3 又又e e2 2 1 1 因此 因此e e2 2 3 3 c c2 2 a a2 2 c c2 2 b b2 2 c c2 2 a a2 2 c c2 2 c c2 2 a a2 25 55 5 注意到注意到 2 2 3 3 e e 1 10 0 2 2 2 25 5 1 10 0 2 2 2 2 答案 答案 C C 6 6 斜率为 斜率为 1 1 的直线的直线l l与椭圆与椭圆 y y2 2 1 1 相交于相交于A A B B两点 则两点 则 ABAB 的最大值为的最大值为 x x2 2 4 4 A A 2 2 B B C C D D 4 4 5 5 5 5 4 4 1 10 0 5 5 8 8 1 10 0 5 5 解析 设直线解析 设直线l l的方程为的方程为y y x x t t 代入 代入 y y2 2 1 1 消去 消去y y得得x x2 2 2 2txtx t t2 2 1 1 0 0 由 由 x x2 2 4 4 5 5 4 4 题意得题意得 2 2t t 2 2 5 5 t t2 2 1 1 0 0 即 即t t2 2 5 5 弦长弦长 ABAB 4 4 2 2 5 5 t t2 2 5 5 4 4 1 10 0 5 5 答案 答案 C C 二 填空题二 填空题 7 7 若斜率为 若斜率为的直线的直线l l与椭圆与椭圆 1 1 a a b b 0 0 有两个不同的交点 且这两个交点在有两个不同的交点 且这两个交点在x x轴轴 2 2 2 2 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 上的射影恰好是椭圆的两个焦点 则该椭圆的离心率为上的射影恰好是椭圆的两个焦点 则该椭圆的离心率为 解析 由题意易知两交点的横坐标为 解析 由题意易知两交点的横坐标为 c c c c 纵坐标分别为 纵坐标分别为 所以由 所以由 b b2 2 a a b b2 2 a a 2 2b b2 2 acac 2 2 a a2 2 c c2 2 即 即 2 2e e2 2 e e 2 2 0 0 解得 解得e e 负根负根 b b2 2 a a f f b b2 2 a a c c c c 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 舍去舍去 答案 答案 2 2 2 2 8 8 已知直线 已知直线l l与抛物线与抛物线y y2 2 8 8x x交于交于A A B B两点 且两点 且l l经过抛物线的焦点经过抛物线的焦点F F A A点的坐标为点的坐标为 8 8 8 8 则线段 则线段ABAB的中点到准线的距离是的中点到准线的距离是 解析 由解析 由y y2 2 8 8x x知知 2 2p p 8 8 p p 4 4 设设B B点坐标为点坐标为 x xB B y yB B 由 由ABAB直线过焦点直线过焦点F F 直线直线ABAB方程为方程为y y x x 2 2 4 4 3 3 把点把点B B x xB B y yB B 代入上式得 代入上式得 y yB B x xB B 2 2 2 2 4 4 3 3 4 4 3 3 y y2 2B B 8 8 解得解得y yB B 2 2 x xB B 1 1 2 2 线段线段ABAB中点到准线的距离为中点到准线的距离为 2 2 8 8 1 1 2 2 2 2 2 25 5 4 4 答案 答案 2 25 5 4 4 9 9 已知抛物线 已知抛物线y y2 2 2 2pxpx p p 0 0 上一点上一点M M 1 1 m m 到其焦点的距离为到其焦点的距离为 5 5 双曲线 双曲线x x2 2 1 1 的左顶的左顶 y y2 2 a a 点为点为A A 若双曲线的一条渐近线与直线 若双曲线的一条渐近线与直线AMAM垂直 则实数垂直 则实数a a 解析 根据抛物线的焦半径公式得解析 根据抛物线的焦半径公式得 1 1 5 5 p p 8 8 不妨取不妨取M M 1 4 1 4 则 则AMAM的斜率为的斜率为 2 2 p p 2 2 由已知得 由已知得 2 2 1 1 故 故a a a a 1 1 4 4 答案 答案 1 1 4 4 三 解答题三 解答题 1010 已知椭圆 已知椭圆 1 1 a a b b 0 0 的一个顶点为的一个顶点为A A 0 1 0 1 且它的离心率与双曲线 且它的离心率与双曲线 y y2 2 1 1 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 x x2 2 3 3 的离心率互为倒数 的离心率互为倒数 1 1 求椭圆的方程 求椭圆的方程 2 2 过点过点A A且斜率为且斜率为k k的直线的直线l l与椭圆相交于与椭圆相交于A A B B两点 点两点 点M M在椭圆上 且满足在椭圆上 且满足OM OA OB 求 求k k的值 的值 1 1 2 2 3 3 2 2 解 解 1 1 双曲线双曲线 y y2 2 1 1 的离心率为的离心率为 x x2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 椭圆的离心率为椭圆的离心率为 3 3 2 2 又又 b b 1 1 a a 2 2 椭圆的方程为椭圆的方程为 y y2 2 1 1 x x2 2 4 4 2 2 设直线设直线l l的方程为的方程为y y kxkx 1 1 A A x x1 1 y y1 1 B B x x2 2 y y2 2 M M m m n n 由由Error 得得 1 1 4 4k k2 2 x x2 2 8 8kxkx 0 0 x x1 1 x x2 2 x x1 1 x x2 2 0 0 8 8k k 1 1 4 4k k2 2 OM OA OB 1 1 2 2 3 3 2 2 m m x x1 1 x x2 2 n n y y1 1 y y2 2 1 1 2 23 3 1 1 2 23 3 点点M M在椭圆上 在椭圆上 m m2 2 4 4n n2 2 4 4 x x1 1 x x2 2 2 2 y y1 1 y y2 2 2 2 1 1 4 43 33 3 x x 4 4y y 3 3 x x 4 4y y 2 2x x1 1x x2 2 8 8y y1 1y y2 2 1 1 4 42 2 1 12 2 1 12 2 2 22 2 2 23 33 3 4 4 1212 8 8y y1 1y y2 2 4 4 1 1 4 43 3 y y1 1y y2 2 0 0 kxkx1 1 1 1 kxkx2 2 1 1 k k2 2x x1 1x x2 2 k k x x1 1 x x2 2 1 1 k k 1 1 0 0 8 8k k 1 1 4 4k k2 2 即即k k2 2 k k 1 1 4 4 1 1 2 2 此时此时 8 8k k 2 2 4 14 1 4 4k k2 2 0 0 6464k k2 2 1616 0 0 k k的值为的值为 1 1 2 2 1111 2010 2010 大连模拟大连模拟 椭圆椭圆 1 1 a a b b 0 0 的长轴为短轴的的长轴为短轴的倍 直线倍 直线y y x x与椭圆交于与椭圆交于 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 23 3 A A B B两点 两点 C C为椭圆的右顶点 为椭圆的右顶点 OA OC 3 3 2 2 1 1 求椭圆的方程 求椭圆的方程 2 2 若椭圆上两点若椭圆上两点E E F F使使OE OF OA 0 2 0 2 求 求 OEFOEF面积的最大值 面积的最大值 解 解 1 1 根据题意 根据题意 a a b b C C a a 0 0 3 3 设设A A t t t t 则 则t t 0 0 1 1 t t2 2 a a2 2 t t2 2 b b2 2 解得解得t t2 2 b b2 2 即 即t t b b a a2 2b b2 2 a a2 2 b b2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 OA b b b b OC a a 0 0 3 3 2 2 3 3 2 2 OA OC abab b b2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 b b 1 1 a a 3 3 椭圆方程为椭圆方程为 y y2 2 1 1 x x2 2 3 3 2 2 设设E E x x1 1 y y1 1 F F x x2 2 y y2 2 EFEF中点为中点为M M x x0 0 y y0 0 OE OF OA Error E E F F在椭圆上 则在椭圆上 则Error 由由 得得 y y y y 0 0 x x2 2 1 1 x x2 2 2 2 3 32 2 1 12 2 2 2 k kEF EF y y1 1 y y2 2 x x1 1 x x2 2 1 1 3 3 x x1 1 x x2 2 y y1 1 y y2 2 1 1 3 3 直线直线EFEF的方程为的方程为y y x x 3 3 4 4 1 1 3 3 3 3 4 4 即即x x 3 3y y 代入 代入 y y2 2 1 1 3 3 x x2 2 3 3 整理得整理得 4 4y y2 2 2 2 y y 2 2 1 1 0 0 3 3 y y1 1 y y2 2 y y1 1y y2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 4 4 EFEF y y1 1 y y2 2 x x1 1 x x2 2 2 2 y y1 1 y y2 2 2 21 10 0 1 10 0 3 3 2 2 4 4 2 2 1 1 2 21 10 0 4 4 2 2 2 2 又又 原点原点O O 0 0 0 0 到直线到直线EFEF的距离为的距离为h h 3 3 1 10 0 S S OEFOEF EFEF h h 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 4 4 3 3 4 4 2 2 4 4 2 2 3 3 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 3 3 2 2 当当 时等号成立 所以时等号成立 所以 OEFOEF面积的最大值为面积的最大值为 2 2 3 3 2 2 1212 已知椭圆 已知椭圆C C1 1的中心在坐标原点的中心在坐标原点O O 焦点在 焦点在x x轴上 离心率为轴上 离心率为e e 点 点P P为椭圆上一动为椭圆上一动 3 3 2 2 点 点点 点F F1 1 F F2 2分别为椭圆的左 右焦点 且分别为椭圆的左 右焦点 且 PFPF1 1F F2 2面积的最大值为面积的最大值为 3 3 1 1 求椭圆求椭圆C C1 1的方程 的方程 2 2 设椭圆短轴的上端点为设椭圆短轴的上端点为A A 点 点M M为动点 且为动点 且 2 F A 2 2 2 F M AM 1 AF OM 成成 1 1 5 5 1 1 2 2 等差数列 求动点等差数列 求动点M M的轨迹的轨迹C C2 2的方程 的方程 3 3 过点过点M M作作C C2 2的切线的切线l l交交C C1 1于于Q Q R R两点 求证 两点 求证 OQ OR 0 0 解 解 1 1 设椭圆设椭圆C C1 1的方程为的方程为 1 1 a a b b 0 0 c c 则 则 所以 所以a a 2 2b b x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2a a2 2 b b2 2 c c a a 3 3 2 2 由椭圆的几何性质知 当点由椭圆的几何性质知 当点P P为椭圆的短轴端点时 为椭圆的短轴端点时 PFPF1 1F F2 2的面积最大 故的面积最大 故 F F1 1F F2 2 b b bcbc 1 1 2 23 3 解得解得a a 2 2 b b 1 1 故所求椭圆方程为故所求椭圆方程为 y y2 2 1 1 x x2 2 4 4 2 2 由由 1 1 知知A A 0 1 0 1 F F1 1 0 0 F F2 2 0 0 3 33 3 设设M M x x y y 则 则 2 F A 1 1 2 F M x x y y 3 33 3 AM x x y y 1 1 1 AF 1 1 3 3 由已知条件得由已知条件得x x x x y y y y 1 1 x x y y 整理 得 整理 得M M的轨迹的轨迹C C2 2的方程为的方程为x x2 2 y y2 2 3 3 4 4 5 53 3 4 4 5 5 3 3 证明 证明 l l的斜率存在时 设的斜率存在时 设l l的方程为的方程为y y kxkx