江苏省2011年高中数学 18《映射》学案 苏教版必修1

用心 爱心 专心 1 第第 1818 课时课时 映射映射 学习目标 1 了解映射的概念 能够判定一些简单的对应是不是映射 2 通过对映射特殊化的分析 揭示出映射与函数之间的内在联系 课前导学 一 在初中我们已学过一些对应的例子 学生思考 讨论 回答 看电影时 电影票与座位之间存在着一一对应的关系 对任意实数 a 数轴上都有唯一的一点 A 与此相对应 坐标平面内任意一点 A 都有唯一的有序数对 x y 和它对应 任意一个三角形 都有唯一的确定的面积与此相对应 高一 2 班的每一个学生与学号一一对应 二 前面学习的函数的概念 也是一种对应 本节我们将学习一种特殊的对应 映射 课堂活动 一 建构数学 一 建构数学 看下面的例子 设 A B 分别是两个集合 为简明起见 设 A B 分别是两个有限集 0 30 0 45 0 60 0 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 1 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 乘 乘 乘乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 2 A A A A B B B B 1 说明 2 3 4 这三个对应的共同特点是 对于左边集合 A 中的任何一个元素 在右边集合 B 中都有唯一的元素和它对应 1 映射 设 A B 是两个集合 如果按照某种对应法则 f 对于集合 A 中的任何一个元素 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应 这样的对应 包括集合 A B 以及 A 到 B 的对应法则 f 叫做集合 A 到集合 B 的映射 记作 BAf 象 原象 给定一个集合 A 到集合 B 的映射 且 如果元素和元素对应 BbAa ab 则元素叫做元素的象 元素叫做元素的原象 baab 用心 爱心 专心 2 关键字词 学生思考 讨论 回答 教师整理 强调 A 到 B 映射是有方向的 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射 A 到 B 是求平方 B 到 A 则是开平方 因此映射是有序的 任一 就是说对集合 A 中任何一个元素 集合 B 中都有元素和它对应 这是映射的存 在性 唯一 对于集合 A 中的任何一个元素 集合 B 中都是唯一的元素和它对应 这是映射 的唯一性 在集合 B 中 也就是说 A 中元素的象必在集合 B 中 这是映射的封闭性 指出 根据定义 2 3 4 这三个对应都是集合 A 到集合 B 的映射 注意到其中 2 4 是一对一 3 是多对一 思考 1 为什么不是集合 A 到集合 B 的映射 答案 对于 1 在集合 A 中的每一个元素 在集合 B 中都有两个元素与之相对应 因此 1 不是集合 A 到集合 B 的映射 思考 如果从对应来说 什么样的对应才是一个映射 答案 一对一 多对一是映射但一对多显然不是映射一对一 多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析 任意性 映射中的两个集合 A B 可以是数集 点集或由图形组成的集合等 有序性 映射是有方向的 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射 存在性 映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象 唯一性 映射中集合 A 的任一元素在集合 B 中的象是唯一的 封闭性 映射中集合 A 的任一元素的象都必须是 B 中的元素 不要求 B 中的每一个 元素都有原象 即 A 中元素的象集是 B 的子集 2 映射三要素映射三要素 集合 A B 以及对应法则 缺一不可 f 3 映射与函数有什么关系 答案 由映射的概念可以看出 映射是函数概念的推广 特殊在函数概念中 A B 为两个非 空数集 二 应用数学二 应用数学 例 1 判断下列对应是否映射 有没有对应法则 a e a e a e b f b f b f c g c g c g d d 1 2 3 答案 1 3 是映射 有对应法则 对应法则是用图形表示出来的 例 2 下列各组映射是否同一映射 a e a e a e b f b f b f c g c g c g 答案 不是 用心 爱心 专心 3 例 3 判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射 1 设 A 1 2 3 4 B 3 4 5 6 7 8 9 对应法则 12 xxf 2 设 对应法则 1 0 BNA得的余数除以2 xxf 3 NA 2 1 0 B除所得的余数被3 xxf 4 设 4 1 3 1 2 1 1 4 3 2 1 YX取倒数xxf 5 NBNxxxA 2 的最大质数小于xxf 解 1 是 2 是 3 是 4 是 5 是 例 4 给出下列四个对应的关系 A N B Z f x y 2x 3 A 1 2 3 4 5 6 B y y N y 5 f x y x 1 A x x 2 B y y x2 4x 3 f x y x 3 A N B y N y 2x 1 x N f x y 2x 1 上述四个对应中是函数的有 解 中 对 x A 在 f 作用下 在 B 中都有唯一的象 因此能构成映射 由于 A B 均为非 空数集 因而能构成函数 中 当 x 1 时 y 0B 即集合 A 中的元素 1 在集合 B 中无象 因而不能构成映射 从而也 不能构成函数 中的两个对应符合映射的定义 且两个集合均为非空数集 因而能构成函数 中 当 x 0 时 y 1B 即 0 在 B 中无象 因而不能构成映射 也就不能构成函数 答案 三 理解数学三 理解数学 1 下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射 1 A P P 是数轴上的点 B R 对应关系 f 数轴上的点与它所代表的实数对应 2 A P P 是平面直角体系中的点 B x y x R y R 对应关系 f 平面直角体系中的点与它的坐标对应 3 A 三角形 B x x 是圆 对应关系 f 每一个三角形都对应它的内切圆 4 A x x 是新华中学的班级 B x x 是新华中学的学生 对应关系 f 每一 个班级都对应班里的学生 思考思考 将 3 中的对应关系 f 改为 每一个圆都对应它的内接三角形 4 中的对应关系 f 改为 每一个学生都对应他的班级 那么对应 f BA 是从集合 B 到集合 A 的映射吗 2 已知集合 A R B x y x y R f A B 是从 A 到 B 的映射 f x x 1 x2 1 求 A 中的元素在 B 中的象和 B 中元素 在 A 中的原象 2 2 3 4 5 思路分析思路分析 将 x 代入对应关系 可求出其在 B 中对应元素 在 A 中对应的元素2 2 3 4 5 可通过列方程组解出 解解 将 x 代入对应关系 可求出其在 B 中的对应元素 1 3 可通过列方程组也可22 用心 爱心 专心 4 求出 在 A 中对应的元素为 2 3 4 5 2 1 课后提升 1 下列对应是 A 到 B 上的映射的是 1 A N B N f x x 3 2 A N B 1 1 2 f x 1 x 3 A Z B Q f x x 3 4 A N B R f x x 的平方根 答案 2 2 设 f A B 是集合 A 到 B 的映射 下列命题中是真命题的是 1 A 中不同元素必有不同的象 2 B 中每一个元素在 A 中必有原象 3 A 中每一个元素在 B 中必有象 4 B 中每一个元素在 A 中的原象唯一 答案 3 3 A Z B N 集合 A 中的元素 x 按照对应法则 求绝对值 和集合 B 中的元素对应 这个 对应是不是映射 不是 0 在 B 中无象 4 已知映射 f A B 其中集合 A 3 2 1 1 2 3 4 集合 B 中元素都是 A 中 的元素在映射 f 下的象 且对任意 a A 在 B 中和它对应的元素是 a 则集合 B 中的元素 的个数是 答案 4 5 下面哪一个说法正确 1 对于任意两个集合 A 与 B 都可以建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 2 对于两个无限集合 A 与 B 一定不能建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 3 如果集合 A 中只有一个元素 B 为任一非空集合 那么从集合 A 到集合 B 只能建立一个 映射 4 如果集合 B 只有一个元素 A 为任一非空集合 则从集合 A 到集合 B 只能建立一个映 射 答案 只有 4 正确 6 集合 A N B m m n N f x y x A y B 请计算在 f 作用下 象 12 12 n n 12 12 x x 的原象分别是多少 11 9 13 11 分析分