江苏省淮安市2012-2013学年高三数学上学期第一次调研试卷（含解析）苏教版

1 2012 20132012 2013 学年江苏省淮安市高三 上 第一次调研数学试卷学年江苏省淮安市高三 上 第一次调研数学试卷 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请将答案填写在答题卷对应的位 置上 1 5 分 2013 徐州模拟 集合 A 1 0 1 B x x m2 1 m R 则 A B 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 根据题意 分析可得集合 B x x 1 结合交集的定义 计算可得 A B 即可得答 案 解答 解 根据题意 集合 B x x m2 1 m R x x 1 又由集合 A 1 0 1 则 A B 1 故答案为 1 点评 本题考查集合的交集运算 关键是正确求出集合 B 2 5 分 2013 宿迁一模 若复数 z 满足 其中 i 是虚数单位 则 z 2 考点 复数求模 专题 计算题 分析 利用复数模的运算性质对 iz 1 i 两端同时取模即可 解答 解 iz 1 i 两端取模得 iz 1 i 即 z 1 i 2 故答案为 2 点评 本题考查复数求模 考查观察与灵活应用复数模的运算性质解决问题的能力 属于 基础题 3 5 分 2013 宿迁一模 某商场有四类食品 其中粮食类 植物油类 动物类及果蔬 类分别有 40 种 10 种 30 种 20 种 现采用分层抽样的方法 从中随机抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测 则抽取的动物类食品种数是 6 考点 分层抽样方法 专题 计算题 2 分析 先计算出抽取比例 再按比例计算动物类食品所抽取的数值即可 解答 解 抽取比例为 故动物类食品所抽取的数值为 30 6 故答案为 6 点评 本题主要考查了分层抽样的有关知识 同时考查了分析问题的能力 属于基础题 4 5 分 2013 宿迁一模 已知某同学五次数学成绩分别是 121 127 123 a 125 若其平均成绩是 124 则这组数据的方差是 4 考点 极差 方差与标准差 专题 计算题 分析 已知某同学五次数学成绩分别是 121 127 123 a 125 其平均成绩是 124 可 以求出 a 把五次数学成绩和平均数代入方差的计算公式 求出这组数据的方差 解答 解 某同学五次数学成绩分别是 121 127 123 a 125 其平均成绩是 124 124 解得 a 124 这组数据的方差是 S2 121 124 2 127 124 2 123 124 2 124 124 2 125 124 2 4 故答案为 4 点评 本题考查一组数据的方差 对于一组数据这是经常出现的一种题目 用方差来衡量 这组数据的波动情况 本题是一个基础题 5 5 分 2013 宿迁一模 如图 是一个算法的伪代码 则输出的结果是 5 考点 伪代码 专题 计算题 3 分析 通过分析伪代码 按照代码进行执行 当运行 4 次时即跳出循环 输出 I 的值即 可 解答 解 根据已知伪代码 其意义为当 S 24 时 执行循环 I I 1 S S I 通过执行运算 第 1 次循环 I I 1 2 S 1 2 2 第 2 次循环 I 2 1 3 S 2 3 6 第 3 次循环 I 3 1 4 S 6 4 24 第 4 次循环 I 4 1 5 S 24 5 120 此时 S 不再满足 s 24 跳出循环 输出 I 故答案为 5 点评 本题考查伪代码 通过理解进行分析和运行 当运行达到已知伪代码的条件时 输 出 i 的值 本题为基础题 6 5 分 2013 宿迁一模 已知点 P 在圆 x2 y2 1 上运动 则 P 到直线 3x 4y 15 0 的距 离的最小值为 2 考点 点到直线的距离公式 专题 计算题 分析 先判断直线与圆的位置 关系 进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的 距离减去圆的半径 解答 解 x2 y2 1 的圆心 0 0 半径为 1 圆心到直线的距离为 d 3 1 直线 3x 4y 15 0 与圆相离 圆上的点到直线的最小距离为 3 1 2 故答案为 2 点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系 考查了学生数形结合的思想 转化和化归的 思想 7 5 分 2013 宿迁一模 过点 1 0 与函数 f x ex e 是自然对数的底数 图 象相切的直线方程是 y x 1 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 设切点为 a ea 由 f x ex f x ex 知 f a ea 所以切线为 y ea ea x a 代入点 1 0 能求出过点 1 0 与函数 f x ex e 是自然对数的底数 图象相切的直线方程 4 解答 解 设切点为 a ea f x ex f x ex f a ea 所以切线为 y ea ea x a 代入点 1 0 得 ea ea 1 a 解得 a 0 因此切线为 y x 1 故答案为 y x 1 点评 本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的求法 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 8 5 分 2013 宿迁一模 连续抛掷一个骰子 一种各面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方体玩具 两次 则出现向上的点数和大于 9 的概率是 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 设两次点数为 m n 则所有的 m n 共有 6 6 36 个 其中满足 m n 9 的有 6 个 由此求得出现向上的点数和大于 9 的概率 解答 解 设两次点数为 m n 则所有的 m n 共有 6 6 36 个 其中满足 m n 9 的有 4 6 6 4 5 5 5 6 6 5 6 6 共有 6 个 故出现向上的点数和大于 9 的概率是 故答案为 点评 本题考查等可能事件的概率 本题解题的关键是正确列举出所有的满足条件的事件 本题是一个基础题 9 5 分 2013 宿迁一模 如图 一个三棱柱形容器中盛有水 且侧棱 AA1 8 若 AA1B1B 水平放置时 液面恰好过 AC BC A1C1 B1C1的中点 则当底面 ABC 水平放置时 液面的 高为 6 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 棱柱的结构特征 专题 计算题 5 分析 当底面 ABC 水平放置时 水的形状为四棱柱形 由已知条件求出水的体积 由于是 三棱柱形容器 故水的体积可以用三角形的面积直接表示出 不必求三角形的面 积 解答 解 不妨令此三棱柱为直三棱柱 如图 当侧面 AA1B1B 水平放置时 水的形状为四棱柱形 底面是梯形 设 ABC 的面积为 S 则 S梯形 ABFE S V水 S AA1 6S 当底面 ABC 水平放置时 水的形状为三棱柱形 设水面高为 h 则有 V水 Sh 6S Sh h 6 故当底面 ABC 水平放置时 液面高为 6 故答案为 6 点评 本题考点是棱柱 棱锥 棱台的体积 考查用用体积公式来求高 解答本题时要充 分考虑几何体的形状 根据其形状选择求解的方案 10 5 分 2013 宿迁一模 已知 若 则 sin 的值为 考点 两角和与差的正弦函数 两角和与差的余弦函数 专题 计算题 分析 由于 由 利用两角 差的正弦即可求得 sin 的值 解答 解 0 又 sin cos cos sin sin sin 6 sin cos cos sin 故答案为 点评 本题考查两角和与差的正弦与余弦 考查观察分析转化运算的能力 属于中档题 11 5 分 2013 宿迁一模 若数列 an 是各项均为正数的等比数列 则当 时 数列 bn 也是等比数列 类比上述性质 若数列 cn 是等差数列 则当 dn 时 数列 dn 也是等差数列 考点 等差关系的确定 分析 数学中类比定理的应用是比较重要的探索路径 看清题目中给出的已知条件 模仿 条件写出结论 这个结论正确与否不是重点 重要的是要形似 解答 解 由条件类比可知 dn 时 数列 dn 也是等差数列 故答案为 点评 从所给条件出发 通过观察 试验 分析 归纳 概括 猜想出一般规律 不需要 证明结论 该题着重考查了归纳 概括和数学变换的能力 12 5 分 2013 宿迁一模 已知双曲线 A C 分别是双 曲线虚轴的上 下端点 B F 分别是双曲线的左顶点和左焦点 若双曲线的离心率为 2 则与夹角的余弦值为 考点 数量积表示两个向量的夹角 双曲线的简单性质 专题 平面向量及应用 分析 利用双曲线的简单性质求出 A C B F 各个点的坐标 再利用两个向量的夹角公式 以及 2 求出 cos 的值 7 解答 解 由题意可得由题意得 A 0 b C 0 b B a 0 F c 0 2 a b c b 设与的夹角为 则 cos 故答案为 点评 本题主要考查双曲线的简单性质的应用 两个向量的夹角公式 属于中档题 13 5 分 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 1 a4 4 2 a5 3 S6取值范围是 0 30 考点 数列的函数特性 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 专题 等差数列与等比数列 分析 利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系 利用不等式的性质及等差数列的前 n 项和公式即可求出前 6 项的和的范围 解答 解 a4 a1 3d a5 a1 4d 所以 1 a1 3d 4 2 a1 4d 3 式两边同乘以 9 得 9 9a1 27d 36 式两边同乘以 3 得 9 3a1 12d 6 得 0 6a1 15d 30 又因为 S6 6a1 15d 所以 0 S6 30 故答案为 0 30 点评 本题考查等差数列的通项公式 前 n 项和公式 利用不等式的性质解决问题时 一 定要注意不等式的两边同乘以一个负数 不等号要改变方向 14 5 分 2013 宿迁一模 已知函数 f x x 1 1 若关于 x 的方程 f x m m R 恰有四个互不相等的实数根 x1 x2 x3 x4 则 x1x2x3x4的取值范围是 3 0 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 函数的性质及应用 分析 画出函数 f x x 1 1 的图象 可得方程 f x m m R 恰有四个互不相 等的实数根是地 m 的取值范围 进而求出方程的四个根 进而根据 m 的范围和二次 函数的图象和性质 可得 x1x2x3x4的取值范围 解答 解 函数 f x x 1 1 的图象如下图所示 8 由图可知 若 f x m 的四个互不相等的实数根 则 m 0 1 且 x1 x2 x3 x4分别为 x1 m x2 2 m x3 m 2 x4 m x1x2x3x4 m2 2 4 m2 m2 2 2 4 3 0 故答案为 3 0 点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断 其中画出函数的图象 引入数形 结合思想是解答本题的关键 二 解答题 本大题共 6 道题 计 90 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演 算步骤 15 14 分 2013 宿迁一模 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 的对边 若 向量 且 1 求角 A 的大小 2 求函数的值域 考点 正弦定理 零向量 两角和与差的正弦函数 专题 计算题 三角函数的图像与性质 分析 1 通过向量的平行 利用共线 通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简 求出 A 的余弦值 然后求角 A 的大小 2 通过函数 利用两角和与差的三角函数 化为铁 公鸡的一个三角函数的形式 结合 B 的范围 直接求解函数的值域 解答 解 1 因为向量 且 所以 2b c cosA acosC 由正弦定理得 2sinBcosA sinCcosA sinAcosC sin A C 即 2sinBcosA sinB 所以 cosA A 是三角形的内角 所以 A 9 2 因为函数 sinB cosB 2sin B 而 所以函数 y 2sin B 的值域 1 2 点评 本题考查两角和与差的三角函数的应用 正弦定理的应用 正弦函数值的求法 考 查计算能力 16 14 分 2013 宿迁一模 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC BC BB1 D 为 AB 的中点 1 求证 BC1 平面 AB1C 2 求证 BC1 平面 A1CD 考点 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 专题 空间位置关系与距离 分析 1 BC1 平面 AB1C 即要证 BC1与平面 AB1C 内两条相交直线均垂直 结合已知 直棱柱的几何特征及正方形的性质 可证得结论 2 要证 BC1 平面 CA1D 必须证明 BC1 平面 CA1D 内的一条直线 因而连接 AC1 与 A1C 的交点 E 与 D 证明即可 解答 证明 1 三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱 CC1 平面 ABC 又 AC 平面 ABC CC1 AC 又 AC BC CC1 BC C AC 平面 B1C1CB 又 B1C 平面 B1C1CB B1C AC 又 BC BB1 平面 B1C1CB 为正方形 B1C BC1 又 B1C AC C BC1 平面 AB1C 2 连接 BC1 连接 AC1于 E 连接 DE E 是 AC1中点 D 是 AB 中点 则 DE BC1 又 DE 面 CA1D1 BC1 面 CA1D1 BC1 面 CA1D 10 点评 本题考查棱柱的结构特征 考查线面垂直的判定 线面平行的判定 转化的数学思 想是中档题 17 14 分 2013 宿迁一模 小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车 第一年因缴纳各 种费用需支出 6 万元 从第二年起 每年都比上一年增加支出 2 万元 假定该车每年的运 输收入均为 25 万元 小张在该车运输累计收入超过总支出后 考虑将大货车作为二手车出 售 若该车在第 x 年年底出售 其销售收入为 25 x 万元 国家规定大货车的报废年限为 10 年 1 大货车运输到第几年年底 该车运输累计收入超过总支出 2 在第几年年底将大货车出售 能使小张获得的年平均利润最大 利润 累计收入 销 售收入 总支出 考点 根据实际问题选择函数类型 基本不等式 专题 综合题 函数的性质及应用 分析 1 求出第 x 年年底 该车运输累计收入与总支出的差 令其大于 0 即可得到结 论 2 利用利润 累计收入 销售收入 总支出 可得平均利润 利用基本不等式 可 得结论 解答 解 1 设大货车运输到第 x 年年底 该车运输累计收入与总支出的差为 y 万元 则 y 25x 6x x x 1 50 x2 20 x 50 0 x 10 x N 由 x2 20 x 50 0 可得 10 5 x 10 5 2 10 5 3 故从第 3 年 该车运输累计收入超过总支出 2 利润 累计收入 销售收入 总支出 二手车出售后 小张的年平均利润为 19 x 19 10 9 当且仅当 x 5 时 等号成立 小张应当再第 5 年将大货车出售 能使小张获得的年平均利润最大 点评 本题考查函数模型的构建 考查基本不等式的运用 考查学生的计算能力 属于中 档题 11 18 16 分 2013 宿迁一模 已知椭圆 C 的离心率 一 条准线方程为 1 求椭圆 C 的方程 2 设 G H 为椭圆上的两个动点 O 为坐标原点 且 OG OH 当直线 OG 的倾斜角为 60 时 求 GOH 的面积 是否存在以原点 O 为圆心的定圆 使得该定圆始终与直线 GH 相切 若存在 请求出该定 圆方程 若不存在 请说明理由 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 专题 综合题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 设出椭圆的标准方程 利用椭圆 C 的离心率 一条准线方程为 建立方程组 求得几何量 即可求椭圆 C 的标准方程 2 确定 G H 的坐标 求得 OG OH 的长 即可求 GOH 的面积 假设存在满足条件的定圆 设圆的半径为 R 则 OG OH R GH 因为 OG2 OH2 GH2 故 分类讨论可得结论 解答 解 1 因为椭圆的离心率 一条准线方程为 所以 a2 b2 c2 2 分 解得 所以椭圆方程为 4 分 2 由 解得 6 分 由得 8 分 所以 所以 10 分 假设存在满足条件的定圆 设圆的半径为 R 则 OG OH R GH 因为 OG2 OH2 GH2 故 12 当 OG 与 OH 的斜率均存在时 不妨设直线 OG 方程为 y kx 与椭圆方程联立 可得 同理可得 R 当 OG 与 OH 的斜率有一个不存在时 可得 故满足条件的定圆方程为 x2 y2 点评 本题考查椭圆的几何性质 考查标准方程 考查学生分析解决问题的能力 确定椭 圆的标准方程是关键 19 16 分 2013 宿迁一模 已知各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 的前 n 项和为 Tn 且 n N 1 证明数列 an 是等比数列 并写出通项公式 2 若对 n N 恒成立 求 的最小值 3 若成等差数列 求正整数 x y 的值 考点 等比数列的通项公式 等差关系的确定 数列的求和 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 1 因为 且 an 0 所以推出 a1 1 由 知 由此能求出数列 an 的通 项公式 2 由 1 得 13 由此能求出 的最小值 3 若成等差数列 其中 x y 为正整数 则 成等差数列 整理 得 2x 1 2y 2 由此能求出正整数 x y 的 值 解答 解 1 因为 其中 Sn是数列 an 的前 n 项和 Tn是数列的前 n 项和 且 an 0 当 n 1 时 由 解得 a1 1 2 分 当 n 2 时 由 解得 4 分 由 知 两式相减得 即 5 分 亦即 2Sn 1 Sn 2 从而 2Sn Sn 1 2 n 2 再次相减得 又 所以 所以数列 an 是首项为 1 公比为 的等比数列 7 分 其通项公式为 n N 8 分 2 由 1 可得 14 10 分 若对 n N 恒成立 只需 3 3 对 n N 恒成立 3 3 对 n N 恒成立 3 3 若成等差数列 其中 x y 为正整数 则成等差数列 整理 得 2x 1 2y 2 当 y 2 时 等式右边为大于 2 的奇数 等式左边为偶数或 1 等式不能成立 满足条件的正整数 x y 的值为 x 1 y 2 点评 本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法 考查最小值的求法 考查满足 条件的实数值的求法 解题时要认真审题 仔细解答 注意等价转化思想的合理运 用 20 16 分 2013 宿迁一模 已知函数 f x lnx x 1 求 h x 的最大值 2 若关于 x 的不等式 xf x 2x2 ax 12 对一切 x 0 恒成