2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（九）

1 20122012 中考数学压轴题中考数学压轴题 二次函数动点问题 九 二次函数动点问题 九 1 如图 抛物线y ax 2 bx c a 0 与 x轴交于A 3 0 B两点 与y轴相交于点 C 0 当x 4 和x 2 时 二次函数y ax 2 bx c a 0 的函数值 y相等 连3 结AC BC 1 求实数a b c的值 2 若点M N同时从B点出发 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA BC边运动 其 中一个点到达终点时 另一点也随之停止运动 当运动时间为t秒时 连结MN 将 BMN 沿MN翻折 B点恰好落在AC边上的P处 求t的值及点P的坐标 3 在 2 的条件下 抛物线的对称轴上是否存在点Q 使得以B N Q为顶点的三角 形与 ABC相似 若存在 请求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 由题意得 cbacba c cba 24416 3 039 解得a b c 3 3 3 32 3 2 由 1 知y x 2 x 令y 0 得 x 2 x 0 3 3 3 32 3 3 3 3 32 3 解得x1 3 x2 1 A 3 0 B 1 0 又 C 0 OA 3 OB 1 OC 33 AB 4 BC 2 tan ACO ACO 60 CAO 30 OC OA 3 同理 可求得 CBO 60 BCO 30 ACB 90 ABC是直角三角形 又 BM BN t BMN是等边三角形 BNM 60 PNM 60 PNC 60 2 Rt PNC Rt ABC NC PN BC AB 由题意知PN BN t NC BC BN 2 t t t 22 4 t OM BM OB 1 3 4 3 4 3 1 如图 1 过点P作PH x轴于H 则PH PM sin60 3 4 2 3 3 32 MH PM cos60 OH OM MH 1 3 4 2 1 3 2 3 1 3 2 点P的坐标为 1 3 32 3 存在 由 2 知 ABC是直角三角形 若 BNQ与 ABC相似 则 BNQ也是直角三角形 二次函数y x 2 x 的图象的对称轴为x 1 点P在对称轴上 3 3 3 32 3 PN x轴 PN 对称轴 又 QN PN PN BN QN BN BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形 如图 2 过点N作QN 对称轴于Q 连结BQ 则 BNQ是以点N为直角顶点的直角三角 形 且QN PN MNQ 30 PNQ 30 QN o 30cos PN 2 3 3 4 9 38 3 tan60 BN QN 3 4 9 38 3 32 BC AC 3 BN QN BC AC 当 BNQ以点N为直角顶点时 BNQ与 ABC不相似 如图 3 延长NM交对称轴于点Q 连结BQ 则 BMQ 120 AMP 60 AMQ BMN 60 PMQ 120 BMQ PMQ 又 PM BM QM QM BMQ PMQ BQM PQM 30 BNM 60 QBN 90 CAO 30 ACB 90 BNQ ABC 当 BNQ以点B为直角顶点时 BNQ ABC 设对称轴与x轴的交点为D DMQ DMP 60 DM DM Rt DMQ Rt DMP DQ PD 点Q与点P关于x轴对称 点Q的坐标为 1 3 32 综合 得 在抛物线的对称轴上存在点Q 1 使得以B N Q为顶点的三角 3 32 形与 ABC相似 2 如图 已知抛物线y ax 2 bx 3 a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与 y轴交于点C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 问在对称轴上是否存在点P 使 CMP为等腰三 角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 若点E为第二象限抛物线上一动点 连接BE CE 求四边形BOCE面积的最 大值 并求此时E点的坐标 4 解 1 由题意得 解得 0339 03 ba ba 2 1 b a 所求抛物线的解析式为y x 2 2x 3 2 存在符合条件的点P 其坐标为P 1 或P 1 1010 或P 1 6 或P 1 3 5 3 解法一 过点E作EF x轴于点F 设E m m 2 2m 3 3 a 0 则EF m 2 2m 3 BF m 3 OF m S四边形BOCE S BEF S梯形FOCE BF EF EF OC OF 2 1 2 1 m 3 m 2 2m 3 m 2 2m 6 m 2 1 2 1 m 2 m m 2 2 3 2 9 2 9 2 3 2 3 8 63 当m 时 S四边形BOCE 最大 且最大值为 2 3 8 63 此时y 2 2 3 此时E点的坐标为 2 3 2 3 4 15 2 3 4 15 解法二 过点E作EF x轴于点F 设E x y 3 x 0 5 则S四边形BOCE S BEF S梯形FOCE BF EF EF OC OF 2 1 2 1 3 x y 3 y x y x x 2 3x 3 2 1 2 1 2 3 2 3 x 2 2 3 2 3 8 63 当x 时 S四边形BOCE 最大 且最大值为 2 3 8 63 此时y 2 2 3 此时E点的坐标为 2 3 2 3 4 15 2 3 4 15 3 如图 已知抛物线y ax 2 bx c 与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 其中点A 在x轴的负半轴上 点C在y轴的负半轴上 线段OA OC的长 OA OC 是方程x 2 5x 4 0 的两个根 且抛物线的对称轴是直线 x 1 1 求A B C三点的坐标 2 求此抛物线的解析式 3 若点D是线段AB上的一个动点 与点A B不重合 过点D作DE BC交AC于点 E 连结CD 设BD的长为m CDE的面积为S 求S与m的函数关系式 并写出自变量m 的取值范围 S是否存在最大值 若存在 求出最大值并求此时D点坐标 若不存在 请 说明理由 解 1 OA OC的长是方程x 2 5x 4 0 的两个根 OA OC OA 1 OC 4 点A在x轴的负半轴 点C在y轴的负半轴 A 1 0 C 0 4 抛物线y ax 2 bx c的对称轴为x 1 由对称性可得B点坐标为 3 0 A B C三点的坐标分别是 A 1 0 B 3 0 C 0 4 2 点C 0 4 在抛物线y ax 2 bx c图象上 c 4 4 分 6 将A 1 0 B 3 0 代入y ax 2 bx 4 得 解得 0439 04 ba ba 3 8 3 4 b a 此抛物线的解析式为y x 2 x 4 3 4 3 8 3 BD m AD 4 m 在 Rt BOC中 BC 2 OB 2 OC 2 3 2 4 2 25 BC 5 DE BC ADE ABC 即 DE BC DE AB AD 5 DE 4 4m 4 520m 过点E作EF AB于点F 则 sin EDF sin CBA BC OC 5 4 EF DE 4 m DE EF 5 4 5 4 5 4 4 520m S S CDE S ADC S ADE 4 m 4 4 m 4 m m 2 2m 2 1 2 1 2 1 m 2 2 2 0 m 4 2 1 0 当m 2 时 S有最大值 2 2 1 此时OD OB BD 3 2 1 此时D点坐标为 1 0 4 如图 抛物线y a x 3 x 1 与x轴相交于A B两点 点A在点B右侧 过点A 的直线交抛物线于另一点C 点C的坐标为 2 6 1 求a的值及直线AC的函数关系式 2 P是线段AC上一动点 过点P作y轴的平行线 交抛物线于点M 交x轴于点N 求线段PM长度的最大值 7 在抛物线上是否存在这样的点M 使得 CMP与 APN相似 如果存在 请直接写 出所有满足条件的点M的坐标 不必写解答过程 如果不存在 请说明理由 解 1 由题意得 6 a 2 3 2 1 a 2 抛物线的解析式为y 2 x 3 x 1 即y 2 x 2 4x 6 令 2 x 3 x 1 0 得x1 3 x2 1 点A在点B右侧 A 1 0 B 3 0 设直线AC的函数关系式为y kx b 把A 1 0 C 2 6 代入 得 解得 62 0 bk bk 2 2 b k 直线AC的函数关系式为y 2 x 2 2 设P点的横坐标为m 2 m 1 则P m 2m 2 M m 2m 2 4m 6 PM 2m 2 4m 6 2m 2 2m 2 2m 4 2 m 2 2 1 2 9 当m 时 线段PM长度的最大值为 2 1 2 9 存在 M1 0 6 M2 4 1 8 55 如图 1 当M为直角顶点时 连结CM 则CM PM CMP ANP 点C 2 6 点M的纵坐标为 6 代入y 2 x 2 4x 6 得 2x 2 4x 6 6 x 2 舍去 或x 0 M1 0 6 此时点M在y轴上 即抛物线与y轴的交点 此时直线MN与y轴重合 点N与原点O重 合 如图 2 当C为直角顶点时 设M m 2m 2 4m 6 2 m 1 8 过C作CH MN于H 连结CM 设直线AC与y轴相交于点D 则 CMP NAP 又 HMC CMP NAP OAD HMC OAD OD CH OA MH C 2 6 CH m 2 MH 2m 2 4m 6 6 2m 2 4m 在y 2 x 2 中 令x 0 得y 2 D 0 2 OD 2 2 2 m 1 42 2 mm 整理得 4m 2 9m 2 0 解得m 2 舍去 或m 4 1 当m 时 2m 2 4m 6 2 4 6 M2 4 1 4 1 4 1 8 55 4 1 8 55 20122012 中考数学压轴题选讲 九 中考数学压轴题选讲 九 9 1 如图 抛物线y ax 2 bx c a 0 与 x轴交于A 3 0 B两点 与y轴相交于点 C 0 当x 4 和x 2 时 二次函数y ax 2 bx c a 0 的函数值 y相等 连3 结AC BC 1 求实数a b c的值 2 若点M N同时从B点出发 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA BC边运动 其 中一个点到达终点时 另一点也随之停止运动 当运动时间为t秒时 连结MN 将 BMN 沿MN翻折 B点恰好落在AC边上的P处 求t的值及点P的坐标 3 在 2 的条件下 抛物线的对称轴上是否存在点Q 使得以B N Q为顶点的三角 形与 ABC相似 若存在 请求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 10 2 如图 已知抛物线y ax 2 bx 3 a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与 y轴交于点C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 问在对称轴上是否存在点P 使 CMP为等腰三 角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 若点E为第二象限抛物线上一动点 连接BE CE 求四边形BOCE面积的最 大值 并求此时E点的坐标 11 3 如图 已知抛物线y ax 2 bx c 与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 其中点A 在x轴的负半轴上 点C在y轴的负半轴上 线段OA OC的长 OA OC 是方程x 2 5x 4 0 的两个根 且抛物线的对称轴是直线 x 1 1 求A B C三点的坐标 2 求此抛物线的解析式 3 若点D是线段AB上的一个动点 与点A B不重合 过点D作DE BC交AC于点 E 连结CD 设BD的长为m CDE的面积为S 求S与m的函数关系式 并写出自变量m 的取值范围 S是