平面直角坐标系知识点总结

平面直角坐标系平面直角坐标系 平面直角坐标系的有关概念平面直角坐标系的有关概念 夯实基础夯实基础 1 有序数对有序数对 在日常生活中 可以用有序数对来描述物体的位置 这样可以用含有两个数的组合来 表示一个确定的位置 其中两个数各自表示不同的含义 我们把这种有顺序的两个数与a 组成的数对 叫做有序数对 记作 b ba 温馨提示温馨提示 与顺序不同 含义就不同 例如 用表示第 3 列的第 5 位同学 那 ba ab 5 3 么就表示第 5 列的第 3 位同学 3 5 例 1 1 在一层的电影院内如何找到电影票上所指的位置 2 在电影票 上 如果把 5 排 8 号 简记为 5 8 那么 4 排 9 号 如何表示 8 3 表示什么含义 二 平面直角坐标系二 平面直角坐标系 相关概念相关概念具体内容具体内容 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴 这样就 建立了平面直角坐标系 两轴 水平的数轴叫做轴或横轴 取向右为正方向 垂直的x 数轴叫做轴或纵轴 取向上为正方向y 原点两轴的交点为平面直角坐标系的原点O 平面直角坐标系 坐标平面坐标系所在的平面叫做坐标平面 3 3 象限象限 轴和轴把坐标平面分成四个部分 称为四个象限 按逆时针顺序依次叫第一象限 xy 第二象限 第三象限 第四象限 如图 第一象限第二象限 第三象限第四象限 y Ox 温馨提示温馨提示 如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义 一般在表示横轴 纵轴的字母后附上单 位 例 2 设为平面直角坐标系中的点 baM 1 当时 点位于第几象限 0 0 baM 2 当时 点位于第几象限 0 abM 4 4 点的坐标点的坐标 对于坐标平面内的任意一点 过点分别向轴 轴作垂线 垂足在轴 轴AAxyxy 上对应的数 分别叫做点的横坐标和纵坐标 有序数对叫做点的坐标 记abA ba A 作 如图 baA 1 已知坐标平面内的点 确定点的坐标 先由已知点分别向轴 轴作垂线 设垂足分别为 再求出垂足在轴PxyABAx 上的坐标与垂足在轴上的坐标 最后按顺序写成即可 aByb ba 2 已知点的坐标确定点的位置 若点的坐标是 先在轴上找到坐标为的点 在轴上找到坐标为的P ba xaAyb 点 再分别过点 点作轴 轴的垂线 两垂线的交点就是所要确定的点 BABxyP 例 3 如图所示 在平面直角坐标系内有两点 AB 1 分别写出它们的坐标 2 在平面内找出一点 使它的坐标为 C 5 3 a b O y x y x O 4 42 2 掌握方法掌握方法 1 有序数对的应用方法有序数对的应用方法 表示物体的位置需要用两个数 这两个数顺序不同 表示的位置也不同 用有序数对 表示位置时 必须明确前后两个数表示的实际意义 例 1 如图是中国象棋一次对局时的部分示意图 若 帅 所在的位置用有序 数对 5 1 表示 请你用有序数对表示其他棋子的位置 2 2 坐标平面中点的位置的确定坐标平面中点的位置的确定 确定点在坐标平面中的位置 关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断横坐标 纵 坐标是大于 0 等于 0 还是小于 0 就可以确定点在坐标平面中的位置 例 2 如图小明从点出发 先向西走 40 米 再向O 南走 30 米到达点 如果点的位置用MM 表示 那么表示的是 30 40 20 10 A 点 A B 点 B C 点 C D 点 D 三 用坐标表示地理位置的方法用坐标表示地理位置的方法 用坐标表示地理位置时 一是要选择适当的位置为坐标原点 要以能简洁地确定平面 内的点的坐标为原则 二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向 这样可以使东南 西北方向与地理位置方向一致 三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度 例 3 根据以下条件画一幅示意图 指出学校和小刚家 小强家 小敏家的位 置 小刚家 出校门向东走 1500 米 再向北走 2000 米 小强家 出校门向西走 2000 米 再向北走 3500 米 最后再向东走 500 米 北 西 南 O M AB C D 东 小敏家 出校门向南走 1000 米 再向东走 3000 米 最后向南走 750 米 平面直角坐标系平面直角坐标系 点的坐标的有关性质点的坐标的有关性质 夯实基础夯实基础 1 各象限内点的坐标的符号特征各象限内点的坐标的符号特征 1 点在第一象限 yxP 0 0 y x 2 点在第二象限 yxP 0 0 y x 3 点在第三象限 yxP 0 0 y x 4 点在第一象限 yxP 0 0 y x 温馨提示温馨提示 四个象限之间均没有公共点 例 1 若点在第三象限 则点在 nmP nmQ A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 2 坐标轴上点的坐标特征坐标轴上点的坐标特征 坐标轴上点的坐标特征 1 点在轴上 yxP x 0 y x为任意实数 2 点在轴上 yxP y 0 为任意实数y x 3 点是坐标原点 yxP 0 0 y x 温馨提示温馨提示 原点既是轴上的点 又是轴上的点 xy y O x 点的横坐标或纵坐标为 0 说明点在轴或轴上 yx 例 2 指出下列各点所在象限或所在坐标轴 0 5 A 3 1 2B 2 1 2C 0 0D 3 0E 23 32 F 三 象限角的平分线上的点的坐标特征三 象限角的平分线上的点的坐标特征 1 第一 三象限的角平分线上的点的横 纵坐标相等 2 第二 四象限的角平分线上的点的横 纵坐标互为相反数 温馨提示温馨提示 原点既是轴上的点 又是轴上的点 xy 点的横坐标或纵坐标为 0 说明点在轴或轴上 yx 例 3 已知点 当为何值时 1 52 mmPm 1 点在第二 四象限的角平分线上 P 2 点在第一 三象限的角平分线上 P 4 4 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1 平行于轴的直线上的点的纵坐标都相等 x 2 平行于轴的直线上的点的横坐标都相等 y 温馨提示温馨提示 若 轴 则 的纵坐标相等 即 若 ABx 11 y xA 22 y xB 21 yy 11 y xA 且 则 轴 22 y xB 21 xx 0 21 yyABx 若 轴 则 的横坐标相等 即 若 CDy 11 n mC 22 n mD 21 mm 11 n mC 且 则 轴 22 n mD0 21 mm 21 nn CDy 例 4 已知平面直角坐标系内两点 aM 5 2 bN 1 若直线 轴 则 MNxab 2 若直线 轴 则 MNyab 5 5 点到坐标轴的距离点到坐标轴的距离 点的坐标为 那么点到轴的距离为这点纵坐标的绝对值 即 点到P yx PxyP 轴的距离为这点横坐标的绝对值 即 yx 温馨提示温馨提示 已知点的坐标可以求出点到轴 轴的距离 应注意取相应坐标的绝对值 xy 由点到轴 轴的距离可以求出点的坐标 但要注意讨论 xy 点到原点的距离为 yxP 22 yx 例 5 已知点到轴的距离是 2 到轴的距离是 1 求点的坐标 PxyP 6 6 平面直角坐标系内的图形变换平面直角坐标系内的图形变换 1 用坐标表示对称 1 点与点关于轴 横轴 对称 则横坐标相同 纵坐标互为相反数 P 1 Px 2 点与点关于轴 纵轴 对称 则纵坐标相同 横坐标互为相反数 P 2 Py 3 点与点关于原点对称 则横 纵坐标分别互为相反数 P 3 P 简单记为 关于谁谁不变 关于原点都改变 温馨提示温馨提示 点关于第一 三象限角平分线对称的点的坐标为 关于第二 四象限角平 baP ab 分线对称的点的坐标为 ab 在平面直角坐标系中 作已知图形关于轴或轴对称的图像 只要先求出已知图形中xy 的一些特殊点 如多边形的顶点 的对称点的坐标 描出并连接这些点 就可以得到原图 形的轴对称图形 例 6 已知在平面直角坐标系中 2 2nmA mnB 1 1 当 为何值时 关于轴对称 mnABy 2 当 为何值时 关于轴对称 mnABx 3 当 为何值时 关于原点对称 mnAB 2 用坐标表示平移 1 当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数 纵坐标不变时 图形会水a 平向右或向左平移个单位 在平面直角坐标系中 将点向右 或左 平移a yx a 0 a 个单位长度 可以得到对应点 或 yax yax 2 当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数 横坐标不变时 图形会向b 上或向下平移个单位 在平面直角坐标系中 将点向上 或向下 平移b yx 个单位长度 可以得到对应点 或 b 0 b byx byx 温馨提示温馨提示 图形的平移是指坐标系中 在保持坐标轴不动的情况下 图形的整体移动 在平移变 换下 图形的形状及大小不变 变的仅仅是图形的位置 例 7 如图 已知 把线段平移 0 1 A 1 1BAB 使点移动到点处 这时点移动到点处 B 4 3DAC 1 画出平移后的线段 并写出点的坐标 CDC 2 如果平移时只能左右或者上下移动 叙述线段 是怎样移到的 ABCD 掌握方法掌握方法 1 利用点坐标的符号特征解题的方法利用点坐标的符号特征解题的方法 各象限的坐标符号 第一象限内点的横 纵坐标皆为正数 即 第二象限内点 的横坐标为负数 纵坐标为正数 即 第三象限内点的横 纵坐标皆为负数 即 第四象限内点的横坐标为正数 纵坐标为负数 即 例 1 在平面直角坐标系中 若点在第二象限 则的取值范围P 1 3 mmm 为 A B 31 m3 m C D 1 m1 m 2 点到坐标轴的距离的应用方法点到坐标轴的距离的应用方法 点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的 表现在两方面 到轴的距离与纵x 坐标有关 到轴的距离与横坐标有关 距离都是非负数 而坐标可以是负数 y 例 2 已知点和到轴的距离相等 且 轴 则 5 1 1 aP 1 2 2 bPx 21P Py y x OA B 的值为 ba A 0 B 1 C 1 D 2 3 利用图形的平移确定变化的坐标的方法利用图形的平移确定变化的坐标的方法 将一个图形各个点的横坐标都加上 或减去 一个正数 再把纵坐标都加上 或减a 去 一个正数 相应的新图形就是把原图形先向右 或向左 平移个单位 再向上ba 或向下 平移个单位 b 例 3 如图 的坐标分别为 若将线段平BA 0 2 1 0AB移至 11B A 则的值为 ba A 2 B 3 C 4 D 5 四