2011高考数学二轮复习教案(4)直线与圆 新人教A版VIP

平面几何初步 直线与圆 平面几何初步 直线与圆 专题要点专题要点 1 两直线的位置关系注意用斜率 平行或垂直关系可以用1 OAOB kk 要讨论斜率不存在 斜率为 0 的情 况 或用 1212 0OA OBx xy y 其中 O 是坐标原点 1122 A x yB xy 直线与圆锥曲线位置关系 用联立法 联立直线和圆锥曲线的方程 消去 y 或 x 得到方程 2 0mxnxr 或 2 0mynyr 然后用判别式0 判定直线与圆锥曲线相交 若是双曲线或抛 物线 要讨论 2 x的系数为 0 的情况 此时直线与双曲线或抛物线也是相交 只有一个交点 用0 判定 直线与圆锥曲线相切 用0 判定直线与圆锥曲线相离 弦长问题的处理 设出弦所在的直线方程 用联立法 联立弦所在直线方程与圆锥曲线方程 消去 y 或 x 得到一个一元二次方程 2 0mxnxr 或 2 0mynyr 根据需要 用判别式0 设弦 端点为 1122 P x yQ xy 则弦长 22 12 1 1 PQkxxk m 或 12 22 11 1 1 PQyy mkk 其中 k 为弦所在直线的斜率 过圆锥曲线焦点的弦长问题注意用圆锥曲线的定义做题 如抛物线 2 2ypx 过焦点弦端点为 1122 P x yQ xy 则由抛物线定义 知 12 PQxxp 点差法 涉及弦中点 弦所在直线的斜率问题 用点差法 一旦涉及弦长问题 仍是用联立法简单 些 涉及直线与圆锥曲线交点的坐标运算问题 在联立直线与圆锥曲线的方程后 得到一个一元二次方程 若是双曲线或抛物线 要讨论 2 x的系数为 0 的情况 设出交点坐标 把坐标运算配凑成 1212 xxx x 利 用韦达定理 整体运算 运算中注意设而不求思想运用 设出的点的坐标 只是起到过渡作用 并不具体 求出 而是整体运算 直指目标 涉及圆锥曲线焦点问题 应首先考虑用圆锥曲线的定义解题 求轨迹方程的主要方法有 直接法 定义法 坐标代入法 变量代换法 交轨法等 考纲要求考纲要求 1 理解直线方程的五种形式 能根据已知条件恰当选择方程的形式 在解决直线和圆的有关问题时 应充分利用几何图形的性质 2 注意体会数形结合思想 函数方程思想 分类讨论思想 等价转化思想和坐标法 向量法 参数法 待定系数法 配方法 换元法等数学思想和方法在解题中的应用 知识纵横知识纵横 两圆位置关系 直线与圆的位置关系 圆的方程 圆 位置关系点到直线距离和两直线 直线方程 直线的倾斜角和斜率 直线 教法指引教法指引 由于本章内容属解析几何的基础知识 在历年高考中多以中低档题出现 主要考查基础知识和基本 方法 同时鉴于它的基础性和工具性 又容易和其他知识联系和交叉 如与向量 与圆锥曲线 与函数 不等式等的综合题等等 典例精析典例精析 1 1 直线的基本问题 直线的方程几种形式 直线的斜率 两条直线平行与垂直的条件 两直线交点 直线的基本问题 直线的方程几种形式 直线的斜率 两条直线平行与垂直的条件 两直线交点 点到直线的距离 点到直线的距离 例例1 1已知 2 1 2 20lxm ym 与 2 36lyx 若两直线平行 则m的值为 解析 解析 2 226 3136 mm m 点评 点评 解决两直线平行问题时要记住看看是不是重合 易错指导 易错指导 不知道两直线平行的条件 不注意检验两直线是否重合是本题容易出错的地方 例例 2 2 经过圆 22 20 xxy 的圆心C 且与直线0 xy 垂直的直线方程是 解析 解析 圆心坐标是 1 0 所求直线的斜率是1 故所求的直线方程是1yx 即10 xy 点评 点评 本题考查解析几何初步的基本知识 涉及到求一般方程下的圆心坐标 两直线垂直的条件 直线的 点斜式方程 题目简单 但交汇性很强 非常符合在知识网络的交汇处设计试题的命题原则 一个小题就 把解析几何初步中直线和圆的基本知识考查的淋漓尽致 易错指导 易错指导 基础知识不牢固 如把圆心坐标求错 不知道两直线垂直的条件 或是运算变形不细心 都可 能导致得出错误的结果 2 2 圆的基本问题 圆的标准方程和一般方程 两圆位置关系圆的基本问题 圆的标准方程和一般方程 两圆位置关系 例例 3 3 已知圆的方程为 22 680 xyxy 设该圆过点 35 的最长弦和最短弦分别为AC和BD 则四 边形ABCD的面积为 A 10 6B 20 6C 30 6D 40 6 解析 解析 圆心坐标是 3 4 半径是5 圆心到点 3 5的距离为1 根据题意最短弦BD和最长弦 即圆的 直径 AC垂直 故最短弦的长为 22 2 514 6 所以四边形ABCD的面积为 11 10 4 620 6 22 ACBD 点评 点评 本题考查圆 平面图形的面积等基础知识 考查逻辑推理 运算求解等能力 解题的关键有二 一 是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径 二是能根据根据面积分割的道理 推出这个四边 形的面积就是两条对角线之积的一半 本题是一道以分析问题解决问题的能力立意设计的试题 易错指导 易错指导 逻辑思维能力欠缺 不能找到解题的关键点 或是运算能力欠缺 运算失误 是本题不能解答 或解答错误的主要原因 3 3 圆锥曲线的基本问题 椭圆 双曲线 抛物线的标准方程及其性质 求简单的曲线方程圆锥曲线的基本问题 椭圆 双曲线 抛物线的标准方程及其性质 求简单的曲线方程 例例 4 4 已知点 P 在抛物线 y2 4x 上 那么点 P 到点 Q 2 1 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得 最小值时 点 P 的坐标为 A 4 1 1 B 4 1 1 C 1 2 D 1 2 解析 解析 定点 2 1Q 在抛物线内部 由抛物线的定义 动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离 问题转化为当点P到点Q和抛物线的准线距离之和最小时 求点P的坐标 显然点P是直线1y 和抛 物线 2 4yx 的交点 解得这个点的坐标是 1 1 4 点评 点评 本题考查抛物线的定义和数形结合解决问题的思想方法 类似的题目在过去的高考中比较常见 易错指导 易错指导 不能通过草图和简单的计算确定点Q和抛物线的位置关系 不能将抛物线上的点到焦点的距离 转化为其到准线的距离 是解错本题或不能解答本题的原因 例例 5 5 已知圆 22 6480C xyxy 以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点 则 适合上述条件的双曲线的标准方程为 解析 解析 22 1 412 xy 圆C和x轴的交点是 2 0 4 0 和y轴没有交点 故只能是点 2 0为双曲线的 一个顶点 即2a 点 4 0为双曲线的一个焦点 即4c 222 12bca 所以所求双曲线的标 准方程为 22 1 412 xy 点评 点评 本题考查圆和双曲线的基础知识 考查数形结合的数学思想 解题的关键是确定所求双曲线的焦点 和顶点坐标 易错指导 易错指导 数形结合的思想意识薄弱 求错圆与坐标轴的交点坐标 用错双曲线中 a b c的关系等 是不 同出错的主要问题 4 4 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 例例 6 6 若圆C的半径为 1 圆心在第一象限 且与直线430 xy 和x轴相切 则该圆的标准方程是 A 2 2 7 3 1 3 xy B 22 2 1 1xy C 22 1 3 1xy D 2 2 3 1 1 2 xy 解析 解析 设圆心坐标为 a b 则1b 且 43 1 5 ab 又0b 故1b 由435a 得 1 2 a 圆心 在第一象限 舍去 或2a 故所求圆的标准方程是 22 211xy 点评 点评 本题考查直线和圆的有关基础知识 考查坐标法的思想 考查运算能力 解题的关键是圆心坐标 易错指导 易错指导 不能把直线与圆相切的几何条件通过坐标的思想转化为代数条件 或是运算求解失误等 例例 7 7 过双曲线 22 1 916 xy 的右顶点为 A 右焦点为 F 过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线 交于点 B 则 AFB 的面积为 解析 解析 双曲线右顶点 3 0A 右焦点 5 0F 双曲线一条渐近线的斜率是 4 3 直线FB的方程是 4 5 3 yx 与双曲线方程联立解得点B的纵坐标为 32 15 故 AFB 的面积为 113232 2 221515 B AF y 点评 点评 本题考查双曲线的基础知识和运算能力 易错指导 易错指导 过右焦点F和渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点 如果写错渐近线的方程 就会解出两 个交点 不但增加了运算量 还使结果错误 例例 8 8 在平面直角坐标系中 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为2c 以O为圆心 a为半径的圆做圆 M 若过点P 0 2 c a 所作圆M的两切线互相垂直 则该椭圆的离心率为 解析解析 过点 0 2 c a 作圆的两切线互相垂直 如图 这说明四边形 OAPB是一个正方形 即圆心O到点P 0 2 c a 的距离等于圆的半径的2倍 即 2 2 a a c 故 2 2 c e a 点评 点评 本题把椭圆方程 圆和圆的切线结合起来 考查椭圆的简单几何性质 体现了 在知识的网络交汇 处设计试题 的原则 较全面地考查了解析几何的基本知识 解题的突破口是将圆的两条切线互相垂直转 化为一个数量上的关系 易错指导 易错指导 陷入圆的两条切线互相垂直 不能通过数形结合的方法找到解题途径等 是考生解错本题的主 要原因 例例 9 9 设0b 椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb 抛物线方程为 2 8 xyb 如图 4 所示 过点 02 Fb 作x轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为G 已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点 1 F 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设AB 分别是椭圆长轴的左 右端点 试探究在抛物线上是否存在点P 使得ABP 为直角三角 形 若存在 请指出共有几个这样的点 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 解析 解析 1 由 2 8 xyb 得 2 1 8 yxb 当2yb 得4x G 点的坐标为 4 2 b 1 4 yx 4 1 x y 过点 G 的切线方程为 2 4ybx 即2yxb 令0y 得2xb 1 F 点的坐标为 2 0 b 由椭圆方程得 1 F点的坐标为 0 b 2bb 即1b 即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 1 2 x y 和 2 8 1 xy 2 过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P 以PAB 为直角的Rt ABP 只有一个 同理 以 PBA 为直角的Rt ABP 只有一个 若以APB 为直角 设P点坐标为 2 1 1 8 xx A B两点的坐标分别为 2 0 和 2 0 22242 115 2 1 10 8644 PA PBxxxx A 关于 2 x的二次方程有一大于零的解 x 有两解 即以APB 为直角的Rt ABP 有两个 因此抛物线上 A y x OB G F F1 存在四个点使得ABP