一元二次方程

一元二次方程根与系数关系一元二次方程根与系数关系 学习目标学习目标 1 掌握一元二次方程的根的判别式 根与系数的关系 并能灵活的应用 2 体会 化归 方程 分类讨论 等常用数学思想 并努力把它们运用于解决问题 当中 命题思路剖析命题思路剖析 1 1 重视关于方程根的讨论的考查 重视关于方程根的讨论的考查 例题例题 已知关于的方程 1 有两个不相等的实数根 且x03 21 22 axax 关于的方程 2 没有实数根 问取什么整数时 方程 1 有整数x0122 2 axxa 解 分析分析 在同时满足方程 1 2 条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值aa 解解 方程 1 有两个不相等的实数根 0 3 4 21 22 1 aa 解得 4 13 a 方程 2 没有实数根 0 12 4 2 2 2 a 解得 1 a 于是 同时满足方程 1 2 条件的的取值范围是a 4 13 1 a 其中 的整数值有或a2 a3 a 当时 方程 1 为 无整数根2 a013 2 xx 当时 方程 1 为 有整数根3 a065 2 xx 3 2 21 xx 所以 使方程 1 有整数根的的整数值是a 3 a 剖析剖析 熟悉一元二次方程实数根存在条件是解本题的基础 正确确定的取值范围依赖a 熟练的解不等式的基本技能 筛选出则依赖一定的逻辑推理 这些都是学习数学的努力3 a 目标 2 2 灵活应用一元二次方程根与系数关系解题 灵活应用一元二次方程根与系数关系解题 一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系 是分析研 究有关一元二次方程根的问题的重要工具 也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工 具 知识的运用方法灵活多样 是设计考察创新能力试题的良好载体 在中考中与此有联系的 试题出现频率很高 是同学们应重点练习的重要内容 例题例题 已知 是关于的一元二次方程的两个非零实 1 x 2 xx0 1 44 22 mxmx 数根 问和能否同号 若能同号 请求出相应的的取值范围 若不能同号 请说明理 1 x 2 xm 由 解解 因为关于的一元二次方程x 0 1 44 22 mxmx 有两个非零实数根 则有 0163244 1 4 22 mmm 2 1 m 又 是方程的两个实数根 所以由一元二次方程根与系 1 x 2 x0 1 44 22 mxmx 数的关系 有 2 2121 4 1 1 mxxmxx 假设 同号 则有两种可能 1 x 2 x 1 2 0 0 21 xx0 0 21 xx 若 则有 0 0 21 xx 0 0 21 21 xx xx 即有 0 4 1 0 1 2 m m 解这个不等式组 得1 m 时方程才有实树根 2 1 m 此种情况不成立 若 则有0 0 21 xx 0 0 21 21 xx xx 即有 0 4 1 0 1 2 m m 解这个不等式组 得 又因为1 m 2 1 m 当时 两根能同号 2 1 m 解题方法点拨解题方法点拨 1 1 充分运用一元二次方程根的意义与根与系数的关系解题 充分运用一元二次方程根的意义与根与系数的关系解题 有关一元二次方程根的计算问题 当根是无理数时 运算将十分繁琐 这时 如果方程 的系数是有理数 利用根与系数的关系解题能起到化难为易 化繁为简的作用 这类问题在解 法上灵活多变 式子的变形具创造性 是考查能力的好题 是多年来中考命题的热点之一 例题例题 已知 是方程的两个实数根 则的值为 052 2 xx 2 2 分析分析 本题为填空题 应迅速得解 所以应摒弃常规的求根后在带入的方法而力求简 解 应充分运用根的意义和根与系数关系解题 解法一解法一 由于是方程的实数根 所以 052 2 xx 052 2 设 与相加 得M 2 2 2 2 52 2 2 2 M52 2 5 2 22 构造和 是变形目的 5 2 2 根据根与系数的关系 有 2 5 于是 得 5 5 2 2 2 2 M 05544 0 2 2 解法二解法二 由于 是方程的实数根 所以 052 2 xx 2 02 2 2 2 2 点拨点拨 既要熟悉问题的常规解法 也要随时想到特殊的简捷解法 是解题能力提高的 重要标志 是努力的方向 2 2 关于一元二次方程的实数根问题的讨论 应在 关于一元二次方程的实数根问题的讨论 应在 判别式非负判别式非负 的前提下进行的前提下进行 才有意义 才有意义 例题例题 已知两方程和至少有一个05 2 mmxx0713 17 2 mxmx 相同的实数根 求这两个方程的四个实数根的乘积 分析分析 当设两方程的相同根为时 根据根的意义 可以构成关于和的二元方 m 程组 得解后再由根与系数的关系求值 解解 设两方程的相同根为 根据根的意义 有 05 2 mm 0713 17 2 mm 两式相减 得 16 2 16 mm 当时 方程的判别式016 m 6 1 m 0 3 58 36 1 5 6 1 4 6 1 5 4 22 mm 方程无实数解 当时 有实数解 016 m2 16 16 2 m m 代入原方程 得 05222 mm 所以9 m 于是 两方程至少有一个相同的实数根 4 个实数根的相乘积为 173612414 713 5 mm 点拨点拨 1 本题的易错点为忽略关于的讨论和判别式的作用 除了犯有016 m 默认的错误 并且还得出并不存在的解 016 m 当时 两方程相同 方程的另一根也相同 所以 4 个根的相乘积016 m 6 1 m 为 36 841 6 29 5 6 1 5 222 m 实际上 这个解是无稽之谈 2 既然本题是讨论一元二次方程的实根问题 就应首先确定方程有实根的条件 0204 5 4 22 1 mmmm 且0273849 713 4 17 22 2 mmmm 求得的的值必须满足这两个不等式才有意义 这是绝不可忽略的 m 能力训练能力训练 3030 分钟完成 分钟完成 一一 选择题 选择题 1 当代数式的值为 7 时 代数式的值是 53 2 xx293 2 xx A 4 B 0 C 2 D 4 2 如果是一元二次方程的一个根 是一元二次方程 03 2 mxx 的一个根 那么的值等于 03 2 mxx A 1 或 2 B 0 或 3 C 1 或 2 D 0 或 3 3 已知关于的方程有两个相等的正实根 则的值是 x06 2 2 kxkxk A B C 或 D 210 210 52 4 如果方程组有一个实数解 那么的值为 3 62 22 ymx yx m A 1 B 1 C 0 或 1 D 1 或 1 5 已知等式 则的值是 0 2 2 44 2 2 x x xx x A 1 B 2 C 3 D 1 或 3 二二 填空题 填空题 6 已知关于的二次方程的一个根是 那么x044 22 kkxx2 k 7 若 是方程的两个根 且则 1 x 2 x02 2 mxx 2 11 21 xx m 8 若关于的方程有增根 则的值是 x01 1 1 x ax a 9 比较大小 当实数时 0 aaa 1 1 三 解答题 三 解答题 10 解方程 x x x x 3 2 4