江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座6 应用题归类分析及应对策略

用心 爱心 专心1 应用题归类分析及应对策略应用题归类分析及应对策略 一 试题特点一 试题特点 2011 全国 35 套 不包括江苏 试卷的应用题中 只有考查湖北 湖南理考查了分段函 数 湖南文考查了数列应用题 山东考查了函数与导数 上海浙江没有应用题 含概率 其余省市都是考查了概率与统计 2010 全国 36 套 不包括江苏 试卷的应用题中 只有陕西 理 福建 文 理 考查了 解三角形 其余省市都是考查了概率与统计 2009 全国 36 套 不包括江苏 试卷应用题中 只有湖北 文 考查了基本不等式 函数 福建 理 辽宁 宁夏考查了解三角形 上海考查函数 其余都是概率与统计 2011 年 2003 年江苏高考应用题类型 2011 包装盒问题 几何背景 实则为几何问题代数化 2010 测量问题 几何背景 解直角三角形与基本不等式 填空题 14 函数与导数 的应用 2009 利润问题 基本不等式 销售背景 2008 几何最值 费马点 问题 函数与导数 几何背景 几何问题代数化 2007 概率 2006 体积最值问题 函数与导数 几何背景 几何问题代数化 2005 概率 2004 线性规划 2003 概率 数学应用题的发展趋势 越来越去生活化 数学化 实际建模的要求越来越低 江苏高考的应用题 06 蒙古包体积问题 08 费马点距离问题 10 解三角形测 量问题 11 包装盒体积问题 年都是几何背景 只有 09 年是销售问题 买进与卖出 其中 08 费马点距离问题 10 解三角形测量问题 11 包装盒体积问题 题目给出自 变量 06 蒙古包体积问题 09 销售问题买进与卖出 需要学生自己变量 数学应用性问题是江苏历年高考命题的主要题型之一 也是考生失分较多的一种题型 解答这类问题有一个宏观的解题程序表 步骤 1 将一个实际问题转化为一个数学问题 进行数学化设计 步骤 2 将一个数学问题化归为一个常规问题 进行标准化设计 步骤 3 求解常规数学问题或是解方程 或是证明 求解 不等式 或是函数求极值 或是几何求值 几何论证 或是解三角形等等 很多情况下 步骤之间没有明显的界线 是 环环相扣 一气呵成 但仅仅有这个表或者告诉学生这个解题程序 学生是不会解题的 因为能否很好得完 成步骤 1 反映了学生的数学素养 能否很好得完成步骤 2 反映了学生的数学技能 数学技 能可以通过一定的训练形成 但数学素养不是几节课或是几天课就能形成的 它需要长期 的有意识的培养才能较好地形成 学生不能完成步骤 1 那完成后面的步骤就无从谈起 因 此我们在平常的教学中 应时刻关注学生素养的培养 同时还要把这个宏观的解题程序表 细致化 使得应用题的解法具有较好的可操作性 仔细分析江苏高考应用题 除去概率题目外 其它的题目不论是函数 不等式 线性 规划 三角 还是几何问题 都有一个共同的特征 那就是变量 函数与导数问题是单变 元问题 线性规划是双变元问题 高中阶段的基本不等式问题是双变元问题 但由于两变 元之间往往有一定的联系 所以其本质是单变元问题 因此要很好地解决应用性问题 心中 首先应有强烈的变量意识 对学生来讲能从变元角度思考问题 就等于抓住了解应用性问 用心 爱心 专心2 题的 牛鼻子 若能再适当了解一些应用性问题的常见背景 那么解决应用性问题就更是 如虎添翼了 所以在应用问题的复习教学中 应紧紧把握变元这条主线 这应该是应用题复 习教学的重点 例题选择侧重于不同背景的问题 对于同一问题注重变式 背景变换 教 学 以利于学生能更好得弄清各变元之间的关系 这应该是应用题复习教学的难点 抓重点 变元思想是主线 破难点 变式教学是关键抓重点 变元思想是主线 破难点 变式教学是关键 具体教学操作举例如下 教学路线图 从给定变元 选择变元 从给定模式 背景变换 变式教学 从单一主元 多参变元 例 有一块边长为 4 的正方形钢板 现将其切割 焊接成一个长方体形无盖容器 切 焊损耗忽略不计 有人应用数学知识作了如下设计 如图 a 在钢板的四个角处各切去 一个小正方形 剩余部分围成一个长方体 该长方体的高为小正方形边长 如图 b 1 请你求出这种切割 焊接而成的长方体的最大容积 V1 变换背景 变式教学 变换背景 变式教学 变式 1 由于上述设计存在缺陷 材料有所浪费 请你重新设计切焊方法 使材料浪费减 少 而且所得长方体容器的容积 V2 V1 解法 1 由题中的三个重要信息 切割 焊接 材料浪费减少 V2 V1 教学中 在此要强调审题的重要性 审题要慢 要品 只需把方法 1 中省余的材料裁成细条接在上 面的长方体的上沿即可 解法 2 为了制作简单 利于操作 只需如图分割钢板 则 V2 2 3 1 6 V1 128 27 解法 3 如图分割钢板再焊接 也满足要求 则 V2 2 2 4 V1 22 128 27 变式 2 现制作一个底面为正方形的长方体型无盖容器 请你重新设计切焊方法 使得所 制作的长方体容器的容积最大 徐州期末 解 设容器的底面正方形边长为a 容器的高为h 下底面和四个侧面的面积和为 S 16 则由题意知a2 4ah S 故h S a2 4a 则V a2h a2 a S a2 Sa a3 a 0 S a2 4a 1 4 1 4 V 0得a1 负值舍去 S 3 当a a1时 V是a的增函数 当a a1时 V是a的减函数 1 1 1 2 3 2 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 侧 侧 侧 用心 爱心 专心3 当a 时有最大容积 最大容积为 6 16 S 3 S 6 S 3 32 93 上面的变式实质是在条件a2 4ah S为定值时 求V a2h最大值 学生可把多变元化为 一元函数问题用导数求解 也可采用双变元 利用基本不等式求最值 问题变为在约束条 件a2 4ah S下 求a2 2ah 2ah 的最大值 变式 3 若要把制作长方体容器改为制作圆柱型无盖容器 请你重新设计切焊方法 使得 所制作的长方体容器的容积最大 问题变为在约束条件 r2 2 rh S下 求 V r2h的最 大值 解法同上 理论可求 实际操作会非常繁琐 如何制作圆 请学生谈谈对上述解法的感受 如图的所示的制作方法应是实际操作中的较好的选择 体积接近最大值 又操作简单 从数学的角度来看 长 宽 高分别为 1 2 3 大小是整数值又比较接近 对于较好的班级可以增加以下变式 变式 4 请你重新设计切焊方法 使得所制作的无盖长方体容器的容积最大 解 设容器的底面边长分别为a b 容器的高为h 下底面和四个侧面的面积和为 S 16 则由题意知 ab 2 a b h S 求 V abh的最大值 二 基本题型与基本策略 二 基本题型与基本策略 基本题型一 基本题型一 例 1 南京盐城 2012 届一模 17 本小题满分 14 分 在综合实践活动中 因制作一个工艺品的需要 某小组设计了如图所示的一个门 该图为 轴对称图形 其中矩形的三边 由长 6 分 米的材料弯折而成 ABCDABBCCD 边的长为分米 曲线拟从以下两种曲线中选择一种 曲线是BC2t 3 1 2 t AOD 1 C 一段余弦曲线 在如图所示的平面直角坐标系中 其解析式为 此cos1yx 时记门的最高点到边的距离为 曲线是一段抛物线 其焦点到OBC 1 h t 2 C 准线的距离为 此时记门的最高点到边的距离为 9 8 OBC 2 h t 1 试分别求出函数 的表达式 1 h t 2 h t 2 要使得点到边的距离最大 应选用哪一种曲线 此时 最大值是多少 OBC 从阅卷情况看 得分并不理想 函数关系都给出了 为什么还解不好啊 是 哪个环节出问题了 题目懂了吗 计算参过关吗 需要好好思考 怎样把这类问 题搞定 例 2 2008 江苏高考 17 本题满分 14 分 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的 顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 已知 AB 20km CB 10km 为了处理三家工厂的污水 现要 在矩形 ABCD 的区域上 含边界 且 A B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂 并铺 设排污管道 AO BO OP 设排污管道的总长为 ykm 1 按下列要求写出函数关系式 设 BAD rad 将 y 表示成的 函数关系式 设 OP x km 将 y 表示成x的函数关系式 PD A B C O 1 1 1 2 3 2 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 第 17 题 A D CB O x y 用心 爱心 专心4 2 请你选用 1 中的一个函数关系式 确定污水处理厂 的位置 使三条排污管道总长度最短 例 3 全国高考西红柿种植问题 题目略 基本策略 基本策略 这一类应用题特点是命题者已经选好主变元 降低了应试的难度 第一问 只要考生弄清多变元中主变元 自变量 与各变元的之间关系从而得到等量关系即可 难 点定位在第二问 完成步骤 2 主要考查学生的数学技能 对于这样的应用题 老师在讲 解时往往一带而过 不注重挖掘 提炼其中解题程序和方法 其实这样的问题完全可以让 学生解后反思 教师事先设计的问题可以集中在让学生提炼分析问题的中变量及各变量之 间的关系 比如在例 1 或例 3 中 可提出这样的问题 问题中共有几个变量 时间 价格 销量 销售额 随着时间的变化价格 或销量 如何变化 销售额如何计算 对于例 2 可以让学生对照选择不同的自变量 函数关系 对第二问中解题的影响 选择函数关系式 y 10tan 10 0 会碰到什么困难 如何解决 20 cos 4 选择函数关系式为y x 0 x 10 会碰到什么困难 如何解决 2x2 20 x 200 也可以让学生实际运算对照两种解法所碰到的困难 增加学生的对哪是 好 变元的 感性认识 让学生谈谈他的选择 为什么那样选择 你选的变元到底好在哪里 你能总结 出 好 变元 自变量 的选择原则吗 基本题型二 基本题型二 例 4 南京 2011 届一模 节选 如图 在半径为 30cm 的半圆形 O为圆心 铝 皮上截取一块矩形材料ABCD 其中点A B在直径上 点C D在圆周上 若将所截 得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面 不计剪裁和拼接损耗 应怎样截取 才能使做出的圆柱形罐子体积最大 并求最大体积 例 5 2006 江苏高考 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为 1m 的正 六棱柱 上部形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥 如右图所示 试问当帐篷的顶 点 O 到底面中心 O 的距离为多少时 帐篷的体积最大 基本策略 基本策略 这一类应用题特点是以几何为背景 都是变化着的几何背景 都有变化的量影响着几何图 形 体 的形状 从而面 体 积也是变化的 要求 学生能从变化中求出最值 对于这类问题 老师可以引导学生从下列角度入手 问题 1 是什么在影响影响着几何体形状的变化 主动点 幕后的黑手 是谁 问题 2 如何把这种 影响影响 用一个变量来体现 问题 3 可以用选好的变量来算出的几何体体积吗 问题 4 你选择的变量是 好 变量吗 例 6 2011 届南通二模 如图 实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成 圆P和圆Q的半径都是 2km 点P在圆Q上 现要在公园内建一块顶 点都在圆P上的多边形活动场地 1 如图甲 要建的活动场地为 RST 求场地的最大面积 2 如图乙 要建的活动场地为等腰梯形ABCD 求场地的最大面积 变化着的几何背景 变元在哪儿 变化着的几何背景 变元在哪儿 想明白了 怎样表述 想明白了 怎样表述 解 1 如右图 过S作SH RT于H AB CD O D A C B Q P N M R S M N PQ T 用心 爱心 专心5 T QP N M S R M N P Q B C A D 甲乙 S RST RTSH 2 1 2 分 由题意 RST在月牙形公园里 RT与圆Q只能相切或相离 4 分 RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形 则有RT 4 SH 2 当且仅当RT切圆Q于P时 如下左图 上面两个不等式中等号同时成立 此时 场地面积的最大值为S RST 1 42 2 4 km2 6 分 2 同 1 的分析 要使得场地面积最大 AD左边的部分是一个大小不超过半圆的 弓形 AD必须切圆Q于P 再设 BPA 则有 11 22sin222sin 2 4 sinsincos 0 222 ABCD S 四边形 8 分 令 cossinsin y 则 sin sincoscoscos y 1coscos2 2 11 分 若0 y 1 cos 23 又 0 3 时 0 y 32 时 0 y 14 分 函数 cossinsin y在 3 处取到极大值也是最大值 故 3 时 场地面积取得最大值为3 3 km2 16 分 基本题型三 基本题型三 用心 爱心 专心6 例 7 2009 江苏高考 19 本小题满分 16 分 按照某学者的理论 假设一个人生产 某产品的单件成本为a元 如果他卖出该产品的单价为m元 则他的满意度为 如果 m m a 他买进该产品的单价为n元 则他的满意度为 如果一个人对两种交易 卖出或买进 a n a 的满意度分别为h1和h2 则他对这两种交易的综合满意度为 现假设甲生产 A B 两 h1h2 种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为mA元和mB元 甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h甲 乙卖 出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙 1 求h甲和h乙关于mA mB的表达式 当mA mB时 求证 h甲 h乙 3 5 2 设mA mB 当mA mB分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最大的综合满 3 5 意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为h0 试问能否适当选取mA mB的值 使得h甲 h乙和h乙 h0同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 基基本策略 本策略 根据 09 江苏高考命题组的说明 这是一道在函数概念 函数最值及基本不 等式的交汇处命制的自编题 重在考查学生运用函数知识解决实际问题的能力以及数学建 模的能力 试题背景贴近生活实际 只要学生具有较强的数学阅读能力 建模并不困难 着 重考查学生的数学素质 属难题 预测难度系数为 0 21 预测均分为 3 3 对于变量多 等 量关系复杂的问题 要让学生理清各变量之间的关系 最好的方法是列表 在教学中可引 导学生从下列角度思考问题 题中有哪些变量 变量之间有怎样的变化关系 你能列一个表格来表示各变量之间的 关系吗 列表 用心 爱心 专心7 甲生产成 本 卖出单 价 卖出满意 度 买入单 价 买进满意度综合满意度h甲 A12 mA mB 3 5 12 mA 12 B5mB mB mB 5 乙生产成 本 卖出单 价 卖出满意度买入 单价 买进满 意度 综合满意度h乙 A3 mA mB 3 5 mA mA 3 B20mB 20 mB 20 列表手段 思路清晰自然 学生很快就可以理顺复杂的变量关系 不仅具有很好的可 操作性 而且变量关系一目了然 好 变元暴露无遗 大大降低了步骤 1 实际问题数学 化 的难度 使得学生能顺利通过应用问题最难的一关 阅读关 也为学生完成后面的问 题打下了良好的基础 基本题型四 基本题型四 解析几何 三角 数列 概率 统计 例 8 南京模考与数列有关的问题 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元 因设备老化等 原因 企业的生产能力逐年下降 若不进行技术改造 预计从今年起每年比上一年纯利 润减少 20 万元 今年初该企业一次性投资 600 万元进行技术改造 预计在未扣除技术 改造资金的情况下 第n年 今年为第一年 的利润为 500 1 万元 n为正整数 1 2n 设从今年起的前n年 该企业不进行技术的改造的累计纯利润为An万元 进行技术 改造后的累计纯利润为Bn万元 须扣除技术改造资金 求An Bn的表达式 以上述预测 从今年起该企业至少经过多少年 进行技术改造后的累计纯利润超过 不进行技术改造的累计纯利润 说明 数列的应用题虽然不像函数应用题地位重要 但也不要轻视 它毕竟也是课本上的 内容 其实数列应用问题不过就是等差或等比的问题 这两个类问题都可以归结为 利润问题 单利是等差 复得是等比 因此在二轮的复习过程中 也可以就单利与 复利问题入手总结出数列应用题的这两类问题 上面的例题既有等差问题也有等比 的问题 例 9 南京模考与三角有关的问题 如图 港口B在港口O正东方向 120 海里处 小岛C 在港口O北偏东 60 方向 港口B北偏西 30 方向上 一艘科学考察船从港口O出发 沿 北偏东 30 的OA方向以 20 海里 小时的速度驶离港口O 一艘快艇从港口B出发 以 60 海里 小时的速度驶向小岛C 在C岛装运补给物资后给考察船送去 现两船同时出发 补给物资的装船时间要 1 小时 问快艇驶离港口B后最少要经过多少小时才能和考察船 相遇 东 北 O C B A 东 北 O C B A D 用心 爱心 专心8 N M 海岸 暗礁区 内陆海湾 大海 航 道 y x O H G F E C D D 1 C 1 B 1 B A A 1 例 10 2009 宁夏海南卷文 如图 为了解某海域海底构造 在海平面内一条直线上的 A B C 三点进行测量 已知 AB 50m BC 120m 于 A 处测得水深 AD 80m 于 B 处测得水深 BE 200m 于 C 处测得水深 CF 110m 求 DEF的余弦值 例 11 2007 山东理 20 如图 甲船以每小时 30海里的速度向正北方航行 乙船按固 2 定方向匀速直线航行 当甲船位于 A1处时 乙船位于甲船的北偏西 1050方向的 B1处 此 时两船相距 20 海里 当甲船航行 20 分钟到达 A2处时 乙船航行到甲船的北偏西 1200方 向的 B2处 此时两船相距 10海里 问乙船每小时航行多少海里 2 说明 解三角形是一大类应用问题 上面的例题中 DEF中没有已知元素 需要学生自己 找到三角形可解的条件 通过分割把非三角形变为可解的三角形 虽然问题不复杂 但要 求学生要有良好的解三角形的素养 要有判断一个三角形是否可解的能力 要求什么 怎 样才能可解 条件到哪儿去找 例 12 南京模考概率问题 某学校的篮球队 羽毛球队 乒乓球队各有 10 名队员 某些 队员不止参加了一支球队 具体情况如图所示 现从中随机抽取一名队员 求 1 该队员只属于一支球队的概率 2 该队员最多属于两支球队的概率 例 13 南京 06 模考与解析几何有关的问题 某校兴趣小组运用计算机 对轮船由海上驶入内陆海湾进行了一次模拟试验 如图 内陆海湾的入 口处有暗礁 图中阴影所示的区域为暗礁区 其中线段 AA1 B1B CC1 D1D关于坐标轴或原点对称 线段B1B的方程为 y x x a b 过O有一条航道 5 羽毛球篮球 2 1 2 3 4 乒乓球 3 北 1 B 2 B 1 A 2 A 120 105 乙 甲 北 1 B 2 B 1 A 2 A 120 105 乙 甲 用心 爱心 专心9 有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾 在点 M a 0 处测得该