江苏省八校2013届高三数学联考 理

1 江苏省八校江苏省八校 20132013 届高三数学联考届高三数学联考 理理 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一个选项是正确的 1 已知 则复数的模等于 12 2 1 2zi zi 2012 2013 2 1 3 1 iz zi z A B C D 5 5 2 2 5292 21 2 已知是实数集 集合 则R 3 1Mx x 23 3Ny yttt R NC M A B 2 3 2 C D 2 0 2 3 一个算法的程序框图如右 则其输出结果是 A 0 B 2 2 C D 2 1 2 21 4 某几何体的三视图 单位 m 如图所示 则其表面积为 A B 2 9632 2 m 2 6432 3 m C D 2 144 16 216 3 m 2 80 16 216 3 m 5 若圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线 若其中心为坐标原点 对称轴为坐 标轴 且过 则 3 2 2 3 5 2 AB A 曲线 C 可为椭圆 也可为双曲线 B 曲线 C 一定是双曲线 C 曲线 C 一定是椭圆 D 这样曲线 C 不存在 6 设等差数列的前 n 项和为 且满足 则 n a n S 15 0S 16 0S 中最大项为 31512 12315 SSSS aaaa n 2013 输出 s n n 1 否 是 n 1 s 0 结束 4 sin n ss 开始 2 A B C D 6 6 S a 7 7 S a 8 8 S a 9 9 S a 7 函数的导函数为 对任意的 都有成立 则 f x fx xR 2 fxf x A B 3 2ln2 2 2ln3 ff 3 2ln2 2 2ln3 ff C D 的大小不确定3 2ln2 2 2ln3 ff 3 2ln2 2 2ln3 ff与 8 已知点是不等式组 表示的平面区域内的一个动点 且目标函数 x y 的最大值为 7 最小值为 1 则的取值范围是 2zxy 4 c y a c x b A B C D 2 3 3 1 8 3 3 1 10 3 3 2 14 33 9 正方体的棱长为 2 是它的内切球的一条弦 我们把球面上任意 1111 ABCDABC D MN 两点之间的线段称为球的弦 为正方体表面上的动点 当弦的长度最大时 PMN 的取值范围是 PM PN A B C D 0 21 3 0 3 1 2 10 一高为 H 满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示 其底部碰了一个小洞 满缸水从洞 中流出 若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v 则函数的大致图像可能是 第 卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 11 已知向量 满足 且 则的夹角为 a b 2 1ab 5 2 abab ab 与 12 设 则多项式的常数项是 2 0 sin12cos 2 x axdx 62 1 2 a xx x 0axbyc 4xy 1x 3 13 将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息 假定每个人可以选择任 一房间 且选择各个房间是等可能的 则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安 排方式的总数为 14 定义在 R 上的函数满足 f x 1 0 0 1 1 32 x ff xfxff x 且当时 有 则 12 01xx 12 f xf x 1 2013 f 三 选做题 考生只能从中选做一题 两题都做的 只记前一题的分 本小题 5 分 15 1 坐标系与参数方程选做题 直角坐标系中 以原点为极点 轴的正半轴为极xoyx 轴建立极坐标系 已知曲线 曲线 1 22cos 2sin x C y 为参数 若两曲线有公共点 则 的取值范围是 2 cos 3 Ct t 2 不等式选做题 若不等式对任意的实数恒成立 则实数 4 2 3 1 xxa a x 的取值范围是 a 四 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 16 本小题满分 12 分 已知向量 sin 2cos axx 2 3 cos cos 3 bxx 函数 且函数的最小正周期为 0 3 1f xaba f x 2 1 求的值 2 设的三边满足 且边所对的角为 若方程ABC abc 2 bac bx 有两个不同的实数解 求实数的取值范围 f xk k 17 本小题满分 12 分 已知数列的首项 前项和为 且 n a 1 4a n n S n 1n 3S 2n 4 0 nN S 1 求数列的通项公式 n a 2 设函数 是函数的导函数 令 23 121 n nnn f xa xaxaxa x fx f x 求数列的通项公式 并研究其单调性 1 n bf n b 4 18 本小题满分 12 分 甲 乙两名射击运动员参加射击选拔训练 在相同的条件下 两 人 5 次训练的成绩如下表 单位 环 次数 12345 甲 6 510 210 58 66 8 乙 10 09 59 89 57 0 1 请画出茎叶图 从稳定性考虑 选派谁更好呢 说明理由 不用计算 若从甲 乙 两人 5 次成绩中各随机抽取一次 求抽取的成绩至少有一个低于 9 0 环的概率 2 若从甲 乙两人 5 次成绩中各随机抽取二次 设抽到 10 0 环以上 包括 10 0 环 的次数为 求随机变量的分布列和期望 XX 3 经过对甲 乙两人的很多次成绩的统计 甲 乙的成绩都均匀分布在 6 5 10 5 之 间 现甲 乙比赛一次 求甲 乙成绩之差的绝对值小于 1 0 环的概率 5 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAB 平面 ABCD AD BC ABC 90 PA PB 3 BC 1 AB 2 AD 3 O 是 AB 中点 1 证明 CD 平面 POC 2 求二面角 C PD O 的平面角的余弦值 20 本小题满分 13 分 设椭圆C1 的左 22 22 1 0 xy ab ab 右焦点分别是F1 F2 下顶点为A 线段OA 的中点为B O为坐标原 点 如图 若抛物线C2 与y轴的交点为B 且经过 2 1yx F1 F2点 1 求椭圆C1的方程 2 设M 0 N为抛物线C2上的一动点 4 5 过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P Q两点 求面积的MPQ 最大值 21 本小题满分 14 分 已知函数 其中 2 1 ln 1 2 f xxaxx aR 1 求的单调区间 f x 2 求证 n n InInInIn 3 3 4 4 3 3 2 2 6 65 3 Nn n n 江西省江西省 20132013 届八校联考数学试卷 理科 届八校联考数学试卷 理科 x y O P Q A M F1 B F2 N 6 参参 考考 答答 案案 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 二 填空题 每小题 5 分 共 25 分 11 60 12 13 900 14 332 1 128 三 选做题 考生只能从中选做一题 两题都做的 只记前一题的分 本小题 5 分 15 1 2 13t 31aa 或 四 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 16 1 3 1f xaba sin 2cos sin3cos 0 1xxxx 311 sin 2cos2 222 xx 5 分 1 sin 2 62 x 6 分 2 22 T 2 2 中 8 分ABC 在 222 21 cos 222 acbacac x acac 9 分0 3 x 7 4 666 x 有两个不同的实数解时 1 sin 4 62 f xxk 的取值范围是 12 分k 1 1 2 17 1 由得 2 分 n 1n 3S 2n 4 0 nN S nn 1 3S 2n 2 4 0 n2 S 两式相减得 4 分 11 320 13 1 2 nnnn aaaan 可得 又由已知 所以 即是一个首项为 5 公比的等比数 2 14a 21 13 1 aa 1 n a 3q 列 所以 6 分 1 5 31 n n anN 1 因为 所以 1 11 2 n nn fxaaxna x 题号 12345678910 答案 CACDBCBDAB 7 8 分 11 120 1230 1 2 5 31 2 5 31 5 31 1 5 32 33 33 2 nn nn nnn faana n n n n 令则 1230 32 33 33 nnn Sn 121 332 33 33 nnn Sn 所以 作差得所以 1 33 24 n n S 1 5 315 6 1 42 n n n f 即 1 5 315 6 42 n n n n b 而所以 作差得 2 1 5 315 1 7 42 n n nn b 1 15 37 0 22 n nn bbn 所以是单调递增数列 12 分 n b 18 1 茎叶图如下 从图上看 乙更集中 选派乙更好 2 分 从甲 乙两人 5 次成绩中各随机抽取一次 则至少有一个低于 9 0 环的概率为 4 分 2123 1 5525 2 由题可知 随机变量可能为 X0 1 2 3 22 34 22 55 0 0 18 C C P X C C 112211 234314 22 55 1 0 48 C C CC C C P X C C 22111 24234 22 55 2 0 30 C CC C C P X C C 21 24 22 55 3 0 04 C C P X C C 分布列为 6 分 甲乙 8 56 70 68 9 5 5 8 5 21 00 X0123 P 0 1 8 0 4 8 0 3 0 0 0 4 10 分 8 期望为 EX 1 2 8 分 3 设甲的成绩为 乙的成绩为 xy 则即 10 分 1 xy 11yx 则 12 分 4 43 37 1 4 416 p xy 19 1 O 是 AB 的中点 PAPB POAB 平面 PAB 平面 ABCD 且平面 PAB 平面 ABCD AB PO平面 PAB PO 平面 ABCD PO CD AD BC ABC 90 BAD 90 在 Rt OBC 中 OB BC 1 22 2 OCOBBC 在 Rt OAD 中 OA 1 AD 3 OD 22 10OAAD 过 C 作 CE AD 垂足为 E 易得 DE CE 2 CD 22222 2 2 CEDECDOCOD 即 CD OC 由 得 CD 平面 POC 4 分 2 取 CD 的中点 F 连接 OF 则 OF 平面 PAB 建立如图的空间直角坐标 系 O xyz 易知 则 P 0 0 D 1 3 0 C 1 1 0 2 2OP 2 2 1 3 0 OD 7 分 0 0 2 2 2 2 0 1 1 2 2 OPCDCP 设平面 OPD 的法向量为 则取 3 1 0 nx y z 0 2 20 30 0 n OP z xy n OD A A n 设平面 PCD 的法向量为 则 10 分 mxy z 0 2 20 220 0 m CDxyz xy m CP A A 取 2 2 11 分m 2 84 cos 51010 m n m n mn 依题意二面角 O PD C 的余弦值为 12 分 4 5 20 1 由题意可知B 0 1 则A 0 2 故b 2 令y 0 得即 则F1 1 0 F2 1 0 故c 1 2 10 x 1x 9 所以 于是椭圆C1的方程为 2 分 222 5abc 22 1 54 xy 2 设N 由于知直线PQ的方程为 2 1t t 2yx 即 4 分 2 1 2 ytt xt 2 21ytxt 代入椭圆方程整理得 22222 4 1 5 20 1 5 1 200txt txt 222222 400 1 80 1 5 1 4 tttt 42 80 183 tt 2 12 2 5 1 1 5 t t xx t 22 12 2 5 1 20 4 1 5 t x x t 故 222 121212 1414 4PQtxxtxxx x 6 分 242 2 514183 1 5 ttt t 设点M到直线PQ的距离为d 则 7 分 22 22 41 1 55 1414 tt d tt 所以 的面积SMPQ 1 2 PQ d 2 242 2 2 1 1514183 5 21 5 14 t ttt t t 12 分 42 5 183 10 tt 22 5 9 84 10 t 5105 84 105 当时取到 经检验此时 满足题意 3t 0 综上可知 的面积的最大值为 13 分MPQ 105 5 10 21 1 2 分 1 1 xaax fx x 1 x 若 则的增区间是 01a f x 1 0 1 a 减区间是 和 3 分 1 0 1 1 a 若 则的减区间是 无增区间 4 分1a f x 1 若 则的增区间 减区间是 5 分1a f x 1 1 0 a 1 1 1 0 a 和 若 的减区间是 增区间是 6 分0a f x 1 0 0 2 由 1 知 当时 即0a 0 0f xf ln 1 xx 即 恒成立 8 分 1ln 0 xx x 当且仅当时取 1ln