【走向高考】2013高三数学一轮总复习 8-4空间中的垂直关系同步练习 北师大版

1 8 48 4 空间中的垂直关系空间中的垂直关系 基 础 巩 固 一 选择题 1 对于直线m l和平面 的一个充分条件是 A m l m l B m l m l C m l m l D m l l m 答案 D 解析 本题考查空间线面位置关系的判定 A 与两相互垂直直线平行的平面的位置 关系不能确定 B 平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直 这两个平面的位置关系也 不能确定 C 这两个平面也有可能重合可能平行 D 是成立的 故选 D 2 平面 垂直于平面 为不重合的平面 成立的一个充分条件是 A 存在一条直线l l l B 存在一个平面 C 存在一个平面 D 存在一条直线l l l 分析 本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识 由充分条件的含义可知本题 就是要从四个选项中寻求使平面 平面 成立的一个条件 答案 D 解析 对于选项 A l l 对于选项 B 对于选项 C 当 成立时 平面 的关 系是不确定的 对于选项 D 当l l 成立时 说明在 内必存在一条直线m 满 足m 从而有 成立 3 文 教材改编题 直线与平面 内无数条直线垂直 是 直线与平面 垂直的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 B 解析 由直线与平面垂直的定义知 为必要不充分条件 理 设平面 l 直线a 直线b 且a不与l垂直 b不与 l垂直 则a与b A 可能垂直 不可能平行 B 可能平行 不可能垂直 2 C 可能垂直 也可能平行 D 不可能垂直 也不可能平行 答案 B 解析 当a l b l时 a b 假设a b 如图 过a上一点作c l 则c b c 又b a b b l 与已知矛盾 4 2012 浙江文 5 设l是直线 是两个不同的平面 A 若l l 则 B 若l l 则 C 若 l 则l D 若 l 则l 答案 B 解析 本题考查了空间中线面的垂直与平行 A 中 和 也可以相交 C 中l应 平行于 或在 内 D 中l也可与 平行 5 下列命题中错误的是 A 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 D 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案 D 解析 本题主要考查空间中的线面 面面关系等基础知识 对于 A 内存在直线平行于 与 的交线 故 内必存在直线平行于 正确 对于 B 由于 不垂直于 内一定不存在直线垂直于 否则 正确 对于 C 由平面与平面垂直的性质知正确 故 D 不正确 选 D 6 在正四面体P ABC中 D E F分别是AB BC CA的中点 下面四个结论中不成 立的是 A BC 平面PDF B DF 平面PAE C 平面PDF 平面ABC D 平面PAE 平面ABC 答案 C 解析 D F分别为AB CA中点 3 DF BC BC 面PDF 故 A 正确 又 P ABC为正四面体 P在底面ABC内的射影O在AE上 PO 面ABC PO DF 又 E为BC中点 AE BC AE DF 又 PO AE O DF 面PAE 故 B 正确 又 PO 面PAE PO 面ABC 面PAE 面ABC 故 D 正确 四个结论中不成立的是 C 二 填空题 7 2012 太原调研 已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 下列 四个命题 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中正确的命题是 填上所有正确命题的序号 答案 解析 若m n m n 则 或 相交 所以 错误 若 m n m n 则 或 相交 所以 错误 故填 8 在 ABC中 ACB 90 AB 8 ABC 60 PC 平面ABC PC 4 M是AB 上一个动点 则PM的最小值为 4 答案 2 7 解析 如图 PC 平面ABC MC 面ABC PC MC 故PM PC2 MC2MC2 16 又 MC的最小值为 2 4 4 3 83 PM的最小值为 2 7 三 解答题 9 2012 北京文 16 如图 1 在 Rt ABC中 C 90 D E分别为AC AB的中 点 点F为线段CD上的一点 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1F CD 如图 2 5 1 求证 DE 平面A1CB 2 求证 A1F BE 3 线段A1B上是否存在点Q 使A1C 平面DEQ 说明理由 解析 1 因为D E分别为AC AB的中点 所以DE BC 又因为DE 平面A1CB 所以DE 平面A1CB 2 由已知得AC BC且DE BC 所以DE AC 所以DE A1D DE CD 所以DE 平面A1DC 而A1F 平面A1DC 所以DE A1F 又因为A1F CD 所以A1F 平面BCDE 所以A1F BE 3 线段A1B上存在点Q 使A1C 平面DEQ 理由如下 如图 分别取A1C A1B的中点P Q 则PQ BC 6 又因为DE BC 所以平面DEQ即为平面DEP 由 2 知 DE 平面A1DC 所以DE A1C 又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点 所以A1C DP 所以A1C 平面DEP 从而A1C 平面DEQ 故线段A1B上存在点Q 使得A1C 平面DEQ 能 力 提 升 一 选择题 1 2012 安徽理 6 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线 b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题考查了立体几何中垂直关系及充要条件的问题 b m b b a 如果a m 则a b与b m条件相同 故选 A 2 文 a b为不重合的直线 为不重合的平面 给出下列 4 个命题 a 且a b b a 且a b b a 且a b b a 且 a 其中正确命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 7 答案 A 解析 Error b 或b 故 错 Error b 或b 故 错 Error a 或a 故 错 Error a 或a 故 错 理 棱长都为 2 的直平行六面体ABCD A1B1C1D1中 BAD 60 则对角线A1C与侧 面DCC1D1所成角的正弦值为 A B C D 1 2 2 2 3 4 3 8 答案 C 解析 过点A1作直线A1M D1C1 交C1D1延长线于点M 可得A1M 平面 DD1C1C A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角 由于所有棱长均为 2 及 A1D1C1 120 得A1M A1D1sin60 3 又A1C 4 A1C2 1 CC2 1 2 3 2 22 sin A1CM 故应选 C A1M A1C 3 4 二 填空题 3 已知P是 ABC所在平面 外一点 O是点P在平面 内的射影 1 若P到 ABC的三个顶点的距离相等 则O是 ABC的 2 若平面PAB PBC PCA与平面 所成的角相等 且O在 ABC的内部 则O是 ABC的 3 若PA PB PC两两垂直 则O是 ABC的 答案 1 外心 2 内心 3 垂心 4 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 且底面各边都相等 M是PC上 的一动点 当点M满足 时 平面MBD 平面PCD 只要填写一个你认为是正确的条 件即可 答案 DM PC 或BM PC 8 解析 由定理知 BD PC 当DM PC 或BM PC 时 即有PC 平面MBD 而PC 平面PCD 平面MBD 平面PCD 三 解答题 5 在正方体ABCD A1B1C1D1中 S是B1D1的中点 E F G分别是BC SC和DC的中 点 点P在线段FG上 1 求证 平面EFG 平面SDB 2 求证 PE AC 解析 1 E F G分别为BC SC CD的中点 EF SB EG BD EF 平面SBD EG 平面SBD EF 平面SBD EG 平面SBD EG EF E 平面EFG 平面SDB 2 B1B 底面ABCD AC B1B 又 四边形ABCD是正方形 AC BD AC 平面B1BDD1 即AC 平面SBD 又平面EFG 平面SBD AC 平面EFG PE 平面EFG PE AC 6 文 2012 湖北文 19 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体 其下部是底 面均是正方形 侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1 ABCD 上部是一个底面与四棱 台的上底面重合 侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD A2B2C2D2 9 1 证明 直线B1D1 平面ACC2A2 2 现需要对该零部件表面进行防腐处理 已知 AB 10 A1B1 20 AA2 30 AA1 13 单位 cm 每平方厘米的加工处理费为 0 20 元 需加工处理费多少元 解析 1 四棱柱ABCD A2B2C2D2的侧面是全等的矩形 AA2 AB AA2 AD 又 AB AD A AA2 平面ABCD 连接BD 因为BD 平面ABCD 所以AA2 BD 底面ABCD是正方形 AC BD 根据棱台的定义可知 BD与B1D1共面 又已知平面ABCD 平面A1B1C1D1 且平面BB1D1D 平面ABCD BD 平面BB1D1D 平面 A1B1C1D1 B1D1 B1D1 BD AA2 BD AC BD AA2 B1D1 AC B1D1 又 AA2 AC A B1D1 平面ACC2A2 2 因为四棱柱ABCD A2B2C2D2的底面是正方形 侧面是全等的矩形 所以S1 A2B2 10 2 4AB AA2 102 4 10 30 1300 cm2 又因为四棱台A1B1C1D1 ABCD的上 下底面均是正方形 侧面是全等的梯形 所以S2 A1B1 2 4 AB A1B1 h斜高 1 2 202 4 10 20 1 120 cm2 1 2 132 1 2 20 10 2 于是该实心零部件的表面积为S S1 S2 1 300 1 120 2 420 cm2 故所需加工处理费为 0 2S 0 2 2 420 484 元 理 2012 浙江文 20 如图 在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AD BC AD AB AB AD 2 BC 4 AA1 2 E是DD1的中点 F是平面B1C1E与直 2 线AA1的交点 1 证明 EF A1D1 BA1 平面B1C1EF 2 求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值 解析 1 C1B1 A1D1 C1B1平面ADD1A1 C1B1 平面A1D1DA 又 平面B1C1EF 平面A1D1DA EF C1B1 EF A1D1 EF BB1 平面A1B1C1D1 BB1 B1C1 又 B1C1 B1A1 B1C1 平面ABB1A1 B1C1 BA1 在矩形ABB1A1中 F是AA1的中点 tan A1B1F tan AA1B 即 A1B1F AA1B 2 2 故BA1 B1F 又 BA1 B1C1 所以BA1 平面B1C1EF 2 设BA1与B1F交点为H 连接C1H 11 由 1 知BA1 平面B1C1EF 所以 BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角 在矩形AA1B1B中 AB AA1 2 得BH 2 4 6 在 Rt BHC1中 BC1 2 BH 得 5 4 6 sin BC1H BH BC1 30 15 所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是 30 15 7 文 如图 在四棱锥S ABCD中 侧棱SA SB SC SD 底面ABCD是菱形 AC 与BD交于O点 1 求证 AC 平面SBD 2 若E为BC的中点 点P在侧面 SCD内及其边界上运动 并保持PE AC 试写出 动点P的轨迹 并证明你的结论 分析 本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法 旨在对推理论证能力 空 间想象力和探究能力的考查 第 1 问要证线面垂直 根据线面垂直的判定定理 只要证明 直线和平面内两条相交直线垂直即可 第 2 问要探究保持线线垂直的动点的轨迹 只要找 出与AC垂直且过E点的平面即可得到动点P的轨迹 12 解析 1 底面ABCD是菱形 O为中心 AC BD 又SA SC AC SO 而SO BD O AC 平面SBD 2 取棱SC的中点M CD的中点N 连接MN 则动点P的轨迹即是线段MN 证明如下 连接EM EN E是BC的中点 M是SC的中点 EM SB 同理EN BD AC 平面SBD AC SB AC EM 同理AC EN 又EM EN E AC 平面EMN 因此 当P点在线段MN上运动时 总有AC PE P点不在线段MN上时 不可能有 AC PE 点评 由于 考试说明 中对立体几何部分整体要求的下降 故高考对立体几何考 查的难度不会太高 但在空间位置关系的证明上 还是会一如既往地重点考查 并且在 方式上会寻求突破和创新 变传统证明为判断型 探究型问题 增加了难度 体现了 能力立意 复习中需引起足够重视 理 如图 1 等腰梯形ABCD中 AD BC AB AD ABC 60 E是BC的中点 将 ABE沿AE折起后如图 2 使平面ABE 平面ADCE 设F是CD的中点 P是棱BC的中 点 1 求证 AE BD 2 求证 平面PEF 平面AECD 13 3 判断DE能否垂直于平面ABC 并说明理由 解析 1 设AE中点为M 在等腰梯形ABCD中 AD BC AB AD ABC 6