广东省2013年高考数学第二轮复习 专题二 函数与导数第3讲　导数及其应用 文

1 专题二专题二 函数与导数第函数与导数第 3 3 讲讲 导数及其应用导数及其应用 真题试做真题试做 1 2012 辽宁高考 文 8 函数y x2 ln x的单调递减区间为 1 2 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 2 2012 辽宁高考 文 12 已知P Q为抛物线x2 2y上两点 点P Q的横坐标分别 为 4 2 过P Q分别作抛物线的切线 两切线交于点A 则点A的纵坐标为 A 1 B 3 C 4 D 8 3 2012 广东高考 文 21 设 0 a 1 集合A x R R x 0 B x R R 2x2 3 1 a x 6a 0 D A B 1 求集合D 用区间表示 2 求函数f x 2x3 3 1 a x2 6ax在D内的极值点 4 2012 天津高考 文 20 已知函数f x x3 x2 ax a x R R 其中a 0 1 3 1 a 2 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 2 0 内恰有两个零点 求a的取值范围 3 当a 1 时 设函数f x 在区间 t t 3 上的最大值为M t 最小值为m t 记 g t M t m t 求函数g t 在区间 3 1 上的最小值 考向分析考向分析 文科用从近三年高考来看 该部分高考命题有以下特点 从内容上看 考查导数主要有三个层次 1 导数的概念 求导公式与法则 导数的几 何意义 2 导数的简单应用 包括求函数极值 求函数的单调区间 证明函数的单调性等 3 导数的综合考查 包括导数的应用题以及导数与函数 不等式等的综合题 从形式上看 考查导数的试题有选择题 填空题 解答题 有时三种题型会同时出现 热点例析热点例析 热点一 导数的几何意义 例 1 设函数f x ax a b Z Z 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 1 x b 为y 3 1 求y f x 的解析式 2 证明曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 1 和直线y x所围三角形的面积为定 值 并求出此定值 规律方法规律方法 1 导数的几何意义 函数y f x 在x0处的导数f x0 的几何意义是 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的 切线的斜率 瞬时速度就是位移函数s t 对时间t的导数 2 求曲线切线方程的步骤 1 求出函数y f x 在点x x0的导数f x0 即曲线y f x 在点P x0 f x0 处切 线的斜率 2 已知或求得切点坐标P x0 f x0 由点斜式得切线方程为y y0 f x0 x x0 特别提醒 当曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线平行于y轴 此时导数不存在 时 由切线定义可知 切线方程为x x0 当切点坐标未知时 应首先设出切点坐标 再 求解 变式训练变式训练 1 1 1 设曲线y ax2在点 1 a 处的切线与直线 2x y 6 0 平行 则 a 2 设f x xln x 1 若f x0 2 则f x 在点 x0 y0 处的切线方程为 2 热点二 利用导数研究函数的单调性 例 2 已知函数f x x2 aln x 1 当a 2 时 求函数f x 的单调递减区间 2 若函数g x f x 在 1 上单调 求实数a的取值范围 2 x 规律方法规律方法 利用导数研究函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导函数f x 3 若求单调区间 或证明单调性 只需在函数f x 的定义域内解 或证明 不等式 f x 0 或f x 0 若已知函数的单调性求参数 只需转化为不等式f x 0 或 f x 0 在单调区间内恒成立问题求解 解题过程中要注意分类讨论 函数单调性问题以 及一些相关的逆向问题 都离不开分类讨论思想 变式训练变式训练 2 2 已知函数f x x a 2 ln x a 0 讨论f x 的单调性 2 x 热点三 利用导数研究函数极值和最值问题 例 3 已知函数f x x3 ax2 3x 1 若f x 在区间 1 上是增函数 求实数a的取值范围 2 若x 是f x 的极值点 求f x 在 1 a 上的最大值 1 3 3 在 2 的条件下 是否存在实数b 使得函数g x bx的图象与函数f x 的图象恰 有 3 个交点 若存在 请求出实数b的取值范围 若不存在 试说明理由 规律方法规律方法 利用导数研究函数极值的一般步骤是 1 确定函数的定义域 2 求函数f x 的 导数f x 3 若求极值 则先求出方程f x 0 的根 再检验f x 在方程根左右 边f x 的符号 求出极值 当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内 若已知 极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0 根的大小或存在情况 从而求解 变式训练变式训练 3 3 设a R R 函数f x ax3 3x2 1 若x 2 是函数y f x 的极值点 求a的值 2 若函数g x f x f x x 0 2 在x 0 处取得最大值 求a的取值范围 思想渗透思想渗透 转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时 采用某种手段将问题通过变 换使之转化 进而使问题得到解决的一种数学方法 一般是将复杂的问题通过变换转化为简 单的问题 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 将未解决的问题通过变换转化为 已解决的问题 转化与化归常用的方法是等价转化法 把原问题转化为一个易于解决的等价问题 以达 到化归的目的 典型例题 已知函数f x x ln x m g x x3 x a 3 1 当m 2 时 求f x 的单调区间 2 若m 时 不等式g x f x 恒成立 求实数a的取值范围 3 2 解 解 1 当m 2 时 f x x ln x 2 xln x 2x 定义域为 0 且f x ln x 1 由f x 0 得 ln x 1 0 所以x e 由f x 0 得 ln x 1 0 所以 0 x e 故f x 的单调递增区间是 e 递减区间是 0 e 2 当m 时 不等式g x f x 3 2 即x3 x x恒成立 a 3 ln x 3 2 3 由于x 0 所以x2 1 ln x a 3 3 2 即x2 ln x 所以a a 3 1 2 3 ln x 1 2 x2 令h x 则h x 3 ln x 1 2 x2 6ln x x3 由h x 0 得x 1 且当 0 x 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0 即h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 所以h x 在x 1 处取得极大值h 1 3 2 也就是函数h x 在定义域上的最大值 因此要使a 恒成立 需有a 此即为a的取值范围 3 ln x 1 2 x2 3 2 1 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 3xf 1 x2 则f 1 A 1 B 2 C 1 D 2 2 曲线y 在点M处的切线的斜率为 sin x sin x cos x 1 2 4 0 A B C D 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2012 广东深圳高级中学月考 文 9 已知f x ln x x 0 f x 的导数是f x 若a f 7 b f c f 则a b c的大小关系是 1 2 1 3 A c b a B a b c C b c a D b a c 4 函数f x 的定义域为 R R f 1 2 对任意x R R f x 2 则f x 2x 4 的 解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 5 三次函数f x 当x 1 时有极大值 4 当x 3 时有极小值 0 且函数图象过原点 则f x 6 已知函数f x x3 3x2 9x a a为常数 在区间 2 2 上有最大值 20 那么此 函数在区间 2 2 上的最小值为 7 2012 广东华南师大附中月考 文 20 已知二次函数f x x2 x 若不等式f x f x 2 x 的解集为C 1 求集合C 2 若方程f ax ax 1 5 a 0 a 1 在C上有解 求实数a的取值范围 3 记f x 在C上的值域为A 若g x x3 3tx x 0 1 的值域为B 且AB t 2 求实数t的取值范围 参考答案参考答案 命题调研命题调研 明晰考向明晰考向 真题试做真题试做 4 1 B 解析 解析 对函数y x2 ln x求导 1 2 得y x x 0 1 x x2 1 x 令Error 解得x 0 1 因此函数y x2 ln x的单调递减区间为 0 1 故选 B 1 2 2 C 解析 解析 如图所示 由已知可设P 4 y1 Q 2 y2 点P Q在抛物线x2 2y上 Error Error P 4 8 Q 2 2 又 抛物线可化为y x2 y x 1 2 过点P的切线斜率为y Error 4 过点P的切线为y 8 4 x 4 即y 4x 8 又 过点Q的切线斜率为y Error 2 过点Q的切线为y 2 2 x 2 即y 2x 2 联立Error 解得x 1 y 4 点A的纵坐标为 4 3 解 解 1 令g x 2x2 3 1 a x 6a 9 1 a 2 48a 9a2 30a 9 3 3a 1 a 3 当 0 a 时 0 1 3 方程g x 0 的两个根分别为 x1 3a 3 9a2 30a 9 4 x2 3a 3 9a2 30a 9 4 所以g x 0 的解集为 3a 3 9a2 30a 9 4 3a 3 9a2 30a 9 4 因为x1 x2 0 所以D A B 0 3a 3 9a2 30a 9 4 3a 3 9a2 30a 9 4 当 a 1 时 0 则g x 0 恒成立 1 3 所以D A B 0 综上所述 当 0 a 时 1 3 D 0 3a 3 9a2 30a 9 4 3a 3 9a2 30a 9 4 当 a 1 时 D 0 1 3 5 2 f x 6x2 6 1 a x 6a 6 x a x 1 令f x 0 得x a或x 1 当 0 a 时 由 1 知D 0 x1 x2 1 3 因为g a 2a2 3 1 a a 6a a 3 a 0 g 1 2 3 1 a 6a 3a 1 0 所以 0 a x1 1 x2 所以f x f x 随x的变化情况如下表 x 0 a a a x1 x2 f x 0 f x 极大值 所以f x 的极大值点为x a 没有极小值点 当 a 1 时 由 1 知D 0 1 3 所以f x f x 随x的变化情况如下表 x 0 a a a 1 1 1 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以f x 的极大值点为x a 极小值点为x 1 综上所述 当 0 a 时 f x 在D内有一个极大值点x a 没有极小值点 1 3 当 a 1 时 f x 在D内有一个极大值点x a 一个极小值点x 1 1 3 4 解 解 1 f x x2 1 a x a x 1 x a 由f x 0 得x1 1 x2 a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 1 1 a a a f x 0 0 f x 极大值 极小值 故函数f x 的单调递增区间是 1 a 单调递减区间是 1 a 2 由 1 知f x 在区间 2 1 内单调递增 在区间 1 0 内单调递减 从而函数 f x 在区间 2 0 内恰有两个零点当且仅当Error 解得 0 a 1 3 所以 a的取值范围是 0 1 3 3 a 1 时 f x x3 x 1 1 3 由 1 知f x 在 3 1 上单调递增 在 1 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 当t 3 2 时 t 3 0 1 1 t t 3 f x 在 t 1 上单调递增 在 1 t 3 上单调递减 因此 f x 在 t t 3 上的最大值M t f 1 而最小值m t 为f t 与 1 3 f t 3 中的较小者 由f t 3 f t 3 t 1 t 2 知 当t 3 2 时 f t f t 3 故m t f t 所以g t f 1 f t 而f t 在 3 2 上单调递增 因此f t f 2 5 3 所以g t 在 3 2 上的最小值为g 2 1 3 5 3 4 3 当t 2 1 时 t 3 1 2 且 1 1 t t 3 6 下面比较f 1 f 1 f t f t 3 的大小 由f x 在 2 1 1 2 上单调递增 有 f 2 f t f 1 f 1 f t 3 f 2 又由f 1 f 2 f 1 f 2 从而M t f 1 m t f 1 5 3 1 3 1 3 5 3 所以g t M t m t 4 3 综上 函数g t 在区间 3 1 上的最小值为 4 3 精要例析精要例析 聚焦热点聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 1 解 解 f x a 1 x b 2 于是Error 解得Error 或Error 由a b Z Z 故f x x 1 x 1 2 证明 证明 在曲线上任取一点 x0 x0 1 x0 1 由f x0 1 知 过此点的切线方程为 1 x0 1 2 y x x0 x02 x0 1 x0 1 1 1 x0 1 2 令x 1 得y 切线与直线x 1 的交点为 x0 1 x0 1 1 x0 1 x0 1 令y x 得y 2x0 1 切线与直线y x的交点为 2x0 1 2x0 1 直线x 1 与直线y x的交点为 1 1 从而所围三角形的面积为 1 2 x0 1 x0 1 1 0 21 1x 2 1 2 2 x0 1 0 22x 所围三角形的面积为定值 2 变式训练 1 1 1 解析 解析 y ax2 y 2ax y x 1 2a 又y ax2在点 1 a 处的切线与直线 2x y 6 0 平行 2a 2 a 1 文科用 2 2x y e 1 0 解析 解析 因为f x xln x 1 所以f x ln x x ln x 1 1 x 因为f x0 2 所以 ln x0 1 2 解得x0 e y0 e 1 由点斜式得 f x 在点 e e 1 处的切线方程为y e 1 2 x e 即 2x y e 1 0 例 2 解 解 1 由题意知 函数的定义域为 0 当a 2 时 f x 2x 2 x 2 x 1 x 1 x 故f x 的单调递减区间是 0 1 7 2 由题意得g x 2x 函数g x 在 1 上是单调函数 a x 2 x2 若g x 为 1 上的单调增函数 则g x 0 在 1 上恒成立 即a 2x2在 1 上恒成立 设 x 2x2 2 x 2 x x 在 1 上单调递减 x max 1 0 a 0 若g x 为 1 上的单调减函数 则g x 0 在 1 上恒成立 不可能 实数a的取值范围为a 0 变式训练 2 解 解 f x 的定义域是 0 f x 1 2 x2 a x x2 ax 2 x2 设g x x2 ax 2 二次方程g x 0 的判别式 a2 8 当 0 即 0 a 2时 对一切x 0 都有f x 0 2 此时f x 是 0 上的单调递增函数 当 0 即a 2时 仅对x 有f x 0 对其余的x 0 都有f x 0 22 此时f x 也是 0 上的单调递增函数 当 0 即a 2时 方程g x 0 有两个不同的实根 2 x1 x2 0 x1 x2 a a2 8 2 a a2 8 2 x 0 x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 单调递增 极大值单调递减 极小值单调递增 此时f x 在上单调递增 在上单调递减 在 0 a a2 8 2 a a2 8 2 a a2 8 2 上单调递增 a a2 8 2 例 3 解 解 1 f x 3x2 2ax 3 f x 在 1 上是增函数 f x 在 1 上恒有f x 0 即 3x2 2ax 3 0 在 1 上恒成立 则必有 1 且f 1 2a 0 a 3 a 0 2 依题意 f 0 即 a 3 0 1 3 1 3 2 3 a 4 f x x3 4x2 3x 令f x 3x2 8x 3 0 得x1 x2 3 1 3 则当x变化时 f x 与f x 变化情况如下表 x1 1 3 3 3 4 4 f x 0 f x 6 18 12 f x 在 1 4 上的最大值是f 1 6 3 函数g x bx的图象与函数f x 的图象恰有 3 个交点 即方程x3 4x2 3x bx恰 有 3 个不等实根 x3 4x2 3x bx 0 x 0 是其中一个根 方程x2 4x 3 b 0 有两个非零不等实根 Error 8 b 7 且b 3 存在满足条件的b值 b的取值范围是b 7 且b 3 变式训练 3 解 解 1 f x 3ax2 6x 3x ax 2 因为x 2 是函数y f x 的极值点 所以f 2 0 即 6 2a 2 0 因此a 1 经验证 当a 1 时 x 2 是函数y f x 的极值点 2 由题设 g x ax3 3x2 3ax2 6x ax2 x 3 3x x 2 当g x 在区间 0 2 上的最大值为g 0 时 g 0 g 2 即 0 20a 24 得a 6 5 反之 当a 时 对任意x 0 2 6 5 g x x2 x 3 3x x 2 2x2 x 10 2x 5 x 2 0 6 5 3x 5 3x 5 而g 0 0 故g x 在区间 0 2 上的最大值为g 0 综上 a的取值范围为 6 5 创新模拟创新模拟 预测演练预测演练 文科用 1 A 解析 解析 f x 3f 1 2x 令x 1 得f 1 3f 1 2 f 1 1 故选 A 2 B 解析 解析 对y 求导得y sin x sin x cos x 1 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x 2 1 sin x cos x 2 当x 时 y x 4 4 1 2 2 2 2 2 1 2 3 B 解析 解析 f x 1 x f 2 f 3 即b 2 c 3 1 2 1 3 又a f 7 ln 7 e 7 e2 f 7 ln 7 2 综上 a b c 故选 B 4 B 解析 解析 设h x