广东省深圳市松岗中学2013届高三数学 滚动考试（17）理

1 页 松岗中学松岗中学 20132013 年理科数学滚动考试 年理科数学滚动考试 1717 一选择题 一选择题 4040 分 分 1 1 若若 a bR i为虚数单位 且为虚数单位 且 ai ibi 则 则 A A 1 1ab B B 1 1ab C C 1 1ab D D 1 1ab 2 2 设设 1 2 M 2 Na 则 则 1a 是是 NM 则 则 A A 充分不必要条件 充分不必要条件 B B 必要不充分条件 必要不充分条件 C C 充分必要条件 充分必要条件 D D 既不充分又不必要条件 既不充分又不必要条件 3 3 设图一是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 设图一是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A A 9 12 2 B B 9 18 2 C C 942 D D 3618 4 4 通过随机询问通过随机询问 110110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下 的列联表 另一个是附表 的列联表 另一个是附表 男男女女总计总计 爱好爱好 404020206060 不爱好不爱好 202030305050 总计总计 60605050110110 由由 2 2 n adbc K ab cd ac bd 算得算得 2 2 110 40 3020 20 7 8 60 50 60 50 K 参照附表 得到的正确结论是 参照附表 得到的正确结论是 A A 在犯错误的概率不超过 在犯错误的概率不超过0 1 的前提下 认为的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关爱好该项运动与性别有关 B B 在犯错误的概率不超过 在犯错误的概率不超过0 1 的前提下 认为的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关爱好该项运动与性别无关 C C 有 有99 以上的把握认为以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关爱好该项运动与性别有关 D D 有 有99 以上的把握认为以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关爱好该项运动与性别有关 5 5 设双曲线设双曲线 22 2 1 0 9 xy a a 的渐近线方程为的渐近线方程为320 xy 则 则a的值为 的值为 A A 4 4 B B 3 3 C C 2 2 D D 1 1 6 6 由直线由直线 0 33 xxy 与曲线与曲线cosyx 所围成的封闭图形的面积为 所围成的封闭图形的面积为 A A 1 2 B B 1 1 C C 3 2 D D 3 2 P Kk 0 0500 0500 0100 0100 0010 001 k 3 8413 8416 6356 63510 82810 828 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 2 页 7 7 设设1m 在约束条件 在约束条件 1 yx ymx xy 下 目标函数下 目标函数zxmy 的最大值小于的最大值小于 2 2 则 则m的取值范围为 的取值范围为 A A 1 12 B B 12 C C 1 3 D D 3 8 8 设直线设直线xt 与函数与函数 2 lnf xxg xx 的图像分别交于点的图像分别交于点 M N 则当 则当 MN达到最小时达到最小时t的值为 的值为 A A 1 1 B B 1 2 C C 5 2 D D 2 2 二 填空题 二 填空题 3030 分 分 9 9 若执行如图 若执行如图 3 3 所示的框图 输入所示的框图 输入 123 1 2 3 2xxxx 则输出的数 则输出的数 等于等于 1010 在边长为 在边长为 1 1 的正三角形的正三角形ABC中 设中 设2 3BCBD CACE 则 则 AD BE 1111 如图 如图 EFGH是以是以O为圆心 半径为为圆心 半径为 1 1 的圆的内接正方形 将一颗豆的圆的内接正方形 将一颗豆 子随机地扔到该圆内 用子随机地扔到该圆内 用 A A 表示事件表示事件 豆子落在正方形豆子落在正方形EFGH内内 B B 表示表示 事件事件 豆子落在扇形豆子落在扇形OHE 阴影部分 内 阴影部分 内 则 则 1 1 P A 2 2 PA B 1212 过抛物线 过抛物线xy4 2 的焦点的焦点 F F 的直线交该抛物线于的直线交该抛物线于 A A B B 两点 两点 O O 为原点 为原点 若若3 AF 则 则AOB 的面积等于的面积等于 13 13 在直角坐标系在直角坐标系xoy中 曲线中 曲线 C C1 1的参数方程为的参数方程为 cos 1 sin x y 为参数 在极坐标系 与直角坐标系为参数 在极坐标系 与直角坐标系 xoy取相同的长度单位 且以原点取相同的长度单位 且以原点 O O 为极点 以为极点 以x轴正半轴为极轴 中 曲线轴正半轴为极轴 中 曲线 2 C的方程为的方程为 cossin10 则 则 1 C与与 2 C的交点个数为的交点个数为 14 14 如图如图 2 2 A E是半圆周上的两个三等分点 直径是半圆周上的两个三等分点 直径4BC ADBC 垂足为垂足为 D D BE与与AD相交与点相交与点 F F 则 则AF的长为的长为 20132013 届松岗中学滚动考试 届松岗中学滚动考试 1717 答题卷 答题卷 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 8 8 小题 满分小题 满分 4040 分 分 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 8 答案答案 3 页 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 9 9 1010 1111 1212 1313 1414 15 15 1212 在 在ABC 中 角中 角 A B C所对的边分别为所对的边分别为 a b c 且满足 且满足sincoscAaC 1 1 求角 求角C的大小 的大小 2 2 求 求3sincos 4 AB 的最大值 并求取得最大值时角的最大值 并求取得最大值时角 A B的大小 的大小 16 16 1212 某商店试销某种商品 某商店试销某种商品 2020 天 获得如下数据 天 获得如下数据 日销售量 件 日销售量 件 0 01 12 23 3 频数频数 1 15 59 95 5 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 设某天开始营业时有该商品 设某天开始营业时有该商品 3 3 件 当天营业结束件 当天营业结束 后检查存货 若发现存货少于后检查存货 若发现存货少于 2 2 件 则当天进货补充至件 则当天进货补充至 3 3 件 否则不进货 将频率视为概率 件 否则不进货 将频率视为概率 1 1 求当天商品不进货的概率 求当天商品不进货的概率 2 2 记 记 X X 为第二天开始营业时该商品的件数 求为第二天开始营业时该商品的件数 求 X X 的分布列和数学期望 的分布列和数学期望 1717 1212 如图 直三棱柱 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 中 ACBC 1 AAAB D为为 1 BB的中点 的中点 E为为 1 AB上的上的 一点 一点 1 3AEEB 1 1 证明 证明 DE为异面直线为异面直线 1 AB与与CD的公垂线 的公垂线 2 2 设异面直线 设异面直线 1 AB与与CD的夹角为的夹角为 45 45 求二面角 求二面角 111 AACB 的大小 的大小 4 页 1818 1212 已知等差数列 已知等差数列 n a满足 满足 3 7a 57 26aa n a的前的前n n项和为项和为 n S 1 1 求 求 n a及及 n S 2 2 令 令b bn n 2 1 1 n a n n N N 求数列 求数列 n b的前的前n n项和项和 n T 1919 1414 如图 如图 7 7 椭圆 椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为的离心率为 3 2 x轴被曲线轴被曲线 2 2 Cyxb 截得的线截得的线 段长等于段长等于 1 C 的长半轴长 的长半轴长 1 1 求 求 1 C 2 C 的方程 的方程 2 2 设 设 2 C 与与 y 轴的交点为轴的交点为 M M 过坐标原点 过坐标原点 O O 的直线的直线l与与 2 C 相交于点相交于点 A B A B 直线直线 MA MBMA MB 分别与分别与 1 C 相交与相交与 D ED E i i 证明 证明 MD ME ii ii 记记 MAB MDE MAB MDE 的面积分别是的面积分别是 12 S S 问 是否存在直线问 是否存在直线l 使得使得 5 页 2 1 S S 32 17 请说明理由 请说明理由 20 20 1414 已知函数已知函数f x 3 x g g x x x 1 1 求函数 求函数 h h x f x g g x 的零点个数 并说明理由 的零点个数 并说明理由 2 2 设数列 设数列 n anN 满足满足 1 0 aa a 1 nn f ag a 证明 存在常数 证明 存在常数 M M 使得对于任意的使得对于任意的 nN 都有 都有 n a M 松岗中学松岗中学 20132013 年理科数学滚动考试 年理科数学滚动考试 1717 一选择题 一选择题 4040 分 分 1 1 若若 a bR i为虚数单位 且为虚数单位 且 ai ibi 则 则 A A 1 1ab B B 1 1ab C C 1 1ab D D 1 1ab 6 页 2 2 设设 1 2 M 2 Na 则 则 1a 是是 NM 则 则 A A 充分不必要条件 充分不必要条件 B B 必要不充分条件 必要不充分条件 C C 充分必要条件 充分必要条件 D D 既不充分又不必要条件 既不充分又不必要条件 3 3 设图一是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 设图一是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A A 9 12 2 B B 9 18 2 C C 942 D D 3618 4 4 通过随机询问通过随机询问 110110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下 的列联表 另一个是附表 的列联表 另一个是附表 男男女女总计总计 爱好爱好 404020206060 不爱好不爱好 202030305050 总计总计 60605050110110 由由 2 2 n adbc K ab cd ac bd 算得算得 2 2 110 40 3020 20 7 8 60 50 60 50 K 参照附表 得到的正确结论是 参照附表 得到的正确结论是 A A 在犯错误的概率不超过 在犯错误的概率不超过0 1 的前提下 认为的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关爱好该项运动与性别有关 B B 在犯错误的概率不超过 在犯错误的概率不超过0 1 的前提下 认为的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关爱好该项运动与性别无关 C C 有 有99 以上的把握认为以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关爱好该项运动与性别有关 D D 有 有99 以上的把握认为以上的把握认为 爱好该项运动与性别无关爱好该项运动与性别无关 5 5 设双曲线设双曲线 22 2 1 0 9 xy a a 的渐近线方程为的渐近线方程为320 xy 则 则a的值为 的值为 A A 4 4 B B 3 3 C C 2 2 D D 1 1 6 6 由直线由直线 0 33 xxy 与曲线与曲线cosyx 所围成的封闭图形的面积为 所围成的封闭图形的面积为 A A 1 2 B B 1 1 C C 3 2 D D 3 7 7 设设1m 在约束条件 在约束条件 1 yx ymx xy 下 目标函数下 目标函数zxmy 的最大值小于的最大值小于 2 2 则 则m的取值范围为 的取值范围为 A A 1 12 B B 12 C C 1 3 D D 3 8 8 设直线设直线xt 与函数与函数 2 lnf xxg xx 的图像分别交于点的图像分别交于点 M N 则当 则当 2 P Kk 0 0500 0500 0100 0100 0010 001 k 3 8413 8416 6356 63510 82810 828 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 7 页 MN达到最小时达到最小时t的值为 的值为 A A 1 1 B B 1 2 C C 5 2 D D 2 2 二 填空题 二 填空题 3030 分 分 9 9 若执行如图 若执行如图 3 3 所示的框图 输入所示的框图 输入 123 1 2 3 2xxxx 则输出的数等于 则输出的数等于 1010 在边长为 在边长为 1 1 的正三角形的正三角形ABC中 设中 设2 3BCBD CACE 则 则 AD BE 1111 如图 如图 EFGH是以是以O为圆心 半径为为圆心 半径为 1 1 的圆的内接正方形 将一颗豆子随机地扔到该圆内 用的圆的内接正方形 将一颗豆子随机地扔到该圆内 用 A A 表表 示事件示事件 豆子落在正方形豆子落在正方形EFGH内内 B B 表示事件表示事件 豆子落在扇形豆子落在扇形OHE 阴影部分 内 阴影部分 内 则 则 1 1 P A 2 2 PA B 1212 过抛物线 过抛物线xy4 2 的焦点的焦点 F F 的直线交该抛物线于的直线交该抛物线于 A A B B 两点 两点 O O 为原点 为原点 若若3 AF 则 则AOB 的面积等于的面积等于 13 13 在直角坐标系在直角坐标系xoy中 曲线中 曲线 C C1 1的参数方程为的参数方程为 cos 1 sin x y 为参数 在为参数 在 极极 坐标系 与直角坐标系坐标系 与直角坐标系xoy取相同的长度单位 且以原点取相同的长度单位 且以原点 O O 为极点 以为极点 以x轴正半轴为极轴 中 曲线轴正半轴为极轴 中 曲线 2 C的的 方程为方程为 cossin10 则 则 1 C与与 2 C的交点个数为的交点个数为 14 14 如图如图 2 2 A E是半圆周上的两个三等分点 直径是半圆周上的两个三等分点 直径4BC ADBC 垂足为垂足为 D D BE与与AD相交与点相交与点 F F 则 则AF的长为的长为 20132013 届松岗中学滚动考试 届松岗中学滚动考试 1717 答卷 答卷 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 8 8 小题 满分小题 满分 4040 分 分 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 8 答案答案 D DA AB BC CC CD DA AD D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 9 9 3 2 1010 4 1 1111 4 1 2 1212 2 23 1313 2 2 1414 3 32 15 15 1212 在 在ABC 中 角中 角 A B C所对的边分别为所对的边分别为 a b c 且满足 且满足sincoscAaC 1 1 求角 求角C的大小 的大小 2 2 求 求3sincos 4 AB 的最大值 并求取得最大值时角的最大值 并求取得最大值时角 A B的大小 的大小 解析 I 由正弦定理得sinsinsincos CAAC 8 页 因为0 A 所以sin0 sincos cos0 tan1 4 ACCCCC 从而又所以则 II 由 I 知 3 4 BA 于是 3sincos 3sincos 4 3sincos2sin 6 311 0 46612623 ABAA AAA AAAA 从而当即时 2sin 6 A 取最大值 2 综上所述 3sincos 4 AB 的最大值为 2 此时 5 312 AB 16 16 1212 某商店试销某种商品 某商店试销某种商品 2020 天 获得如下数据 天 获得如下数据 日销售量 件 日销售量 件 0 01 12 23 3 频数频数 1 15 59 95 5 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 设某天开始营业时有该商品 设某天开始营业时有该商品 3 3 件 当天营业结束件 当天营业结束 后检查存货 若发现存货少于后检查存货 若发现存货少于 2 2 件 则当天进货补充至件 则当天进货补充至 3 3 件 否则不进货 将频率视为概率 件 否则不进货 将频率视为概率 1 1 求当天商品不进货的概率 求当天商品不进货的概率 2 2 记 记 X X 为第二天开始营业时该商品的件数 求为第二天开始营业时该商品的件数 求 X X 的分布列和数学期望 的分布列和数学期望 解析 I P 当天商店不进货 P 当天商品销售量为 0 件 P 当天商品销售量 1 件 153 202010 II 由题意知 X的可能取值为 2 3 51 2 204 P xP 当天商品销售量为1件 3 1953 2020204 P xPPP 当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售 量为3件 故X的分布列为 X23 P1 4 3 4 X的数学期望为 1311 2 3 444 EX 1717 1212 如图 直三棱柱 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 中 ACBC 1 AAAB D为为 1 BB的中点 的中点 E为为 1 AB上的上的 一点 一点 1 3AEEB 1 1 证明 证明 DE为异面直线为异面直线 1 AB与与CD的公垂线 的公垂线 9 页 2 2 设异面直线 设异面直线 1 AB与与CD的夹角为的夹角为 45 45 求二面角 求二面角 111 AACB 的大小 的大小 I 连接 A1B 记 A1B 与 AB1的交点为 F 因为面 AA1BB1为正方形 故 A1B AB1 且 AF FB1 又 AE 3EB1 所以 FE EB1 又 D 为 BB1的中点 故 DE BF DE AB1 3 分 作 CG AB G 为垂足 由 AC BC 知 G 为 AB 中点 又由底面 ABC 面 AA1B1B 连接 DG 则 DG AB1 故 DE DG 由三垂线 定理 得 DE CD 所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 II 因为 DG AB1 故 CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角 CDG 45 设 AB 2 则 AB1 DG CG AC 作 B1H A1C1 H 为垂足 因为底面 A1B1C1 面 AA1CC1 故 B1H 面 AA1C1C 又作 HK AC1 K 为垂足 连接 B1K 由三垂线定理 得 B1K AC1 因此 B1KH 为二面角 A1 AC1 B1的平面角 10 页 1818 1212 已知等差数列 已知等差数列 n a满足 满足 3 7a 57 26aa n a的前的前n n项和为项和为 n S 1 1 求 求 n a及及 n S 2 2 令 令b bn n 2 1 1 n a n n N N 求数列 求数列 n b的前的前n n项和项和 n T 解析 设等差数列 n a的公差为 d 因为 3 7a 57 26aa 所以有 1 1 27 21026 ad ad 解得 1 3 2ad 所以321 2n 1 n an n S n n 1 3n 2 2 2 n 2n 11 页 由 知2n 1 n a 所以bn 2 1 1 n a 2 1 2n 1 1 11 4 n n 1 111 4n n 1 所以 n T 111111 1 4223n n 1 11 1 4n 1 n 4 n 1 即数列 n b的前n项和 n T n 4 n 1 1919 1414 如图 如图 7 7 椭圆 椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为的离心率为 3 2 x轴被曲线轴被曲线 2 2 Cyxb 截得的线截得的线 段长等于段长等于 1 C 的长半轴长 的长半轴长 1 1 求 求 1 C 2 C 的方程 的方程 2 2 设 设 2 C 与与 y 轴的交点为轴的交点为 M M 过坐标原点 过坐标原点 O O 的直线的直线l与与 2 C 相交于点相交于点 A B A B 直线直线 MA MBMA MB 分别与分别与 1 C 相交与相交与 D ED E i i 证明 证明 MD ME ii ii 记记 MAB MDE MAB MDE 的面积分别是的面积分别是 12 S S 问 是否存在直线问 是否存在直线l 使得使得 2 1 S S 32 17 请说明理由 请说明理由 解析 I 由题意知 3 2 c e a 从而2ab 又2 ba 解得2 1ab 故 1 C 2 C 的方程分别为 2 22 1 1 4 x yyx II i 由题意知 直线l的斜率存在 设为k 则直线l的方程为ykx 由 2 1 ykx yx 得 2 10 xkx 设 1122 A x yB xy 则 12 x x是上述方程的两个实根 于是 1212 1xxk x x 又点M的坐标为 0 1 所以 222 12121212 121212 11 1 1 11 1 1 MAMB yykxkxk x xk xxkk kk xxx xx x 故MAMB 即MD ME ii 设直线的斜率为 1 k 则直线的方程为 1 1yk x 由 1 2 1 1 yk x yx 解得 0 1 x y 或 1 2 1 1 xk yk 则 12 页 点的坐标为 2 11 1 k k 又直线MB的斜率为 1 1 k 同理可得点 B 的坐标为 2 11 11 1 kk 于是 2 2 1 111 2 111 11111 1 1 222 k SMAMBkk kkk 由 1 22 1 440 yk x xy 得 22 11 14 80kxk x 解得 0 1 x y 或 1 2 1 2 1 2 1 8 14 41 14 k x k k y k 则点D的坐标为 2 11 22 11 841 1414 kk kk 又直线的斜率为 1 1 k 同理可得点E的坐标 2 11 22 11 84 44 kk kk 于是 2 11 2 22 11 32 1 1 2 14 4 kk SMDME kk 因此 2 1 1 2 21 11 417 64 S k Sk 由题意知 2 1 2 1 1117 417 6432 k k 解得 2 1 4k 或 2 1 1 4 k 又由点 A B的坐标可知 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k k kk k k k 所以 3 2 k 故满足条件的直线l存在 且有两条 其方程分别为 3 2 yx 和 3 2 yx 20 20 1414 已知函数已知函数f x 3 x g g x x x 1 1 求函数 求函数 h h x f x g g x 的零点个数 并说明理由 的零点个数 并说明理由 2 2 设数列 设数列 n anN 满足满足 1 0 aa a 1 nn f ag a 证明 存在常数 证明 存在常数