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用心 爱心 专心1 江苏省江苏省 20122012 届高三数学二轮专题训练 解答题 届高三数学二轮专题训练 解答题 4343 本大题共本大题共 6 6 小题 小题 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1 在ABC 中 已知 3abc acbac 1 求角 B 的度数 2 求 2 2coscos AAC 的取值范围 2 如图 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D 中 E为BC的中点 F为 1 DC的中点 1 求证 1 BD A平面 1 C DE 2 求三棱锥ABDF 的体积 3 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的长轴为 AB 过点B的直线l与x轴垂直 直线 2 12 12 0 k xk ykkR 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点 且椭圆的 离心率 3 2 e 1 求椭圆的标准方程 2 设P是椭圆上异于A B的任意一点 PHx 轴 H为垂足 延长 HP到点Q使得 HPPQ 连结AQ延长交直线l于点M N为MB的中点 试判断直线QN与以 AB 为直 径的圆O的位置关系 A D B C A1 B1 C1D1 第 16 题 E F A x y M N Q P H l OB 用心 爱心 专心2 4 某水库堤坝因年久失修 发生了渗水现象 当发现时已有 200m2的坝面渗水 经测算知渗水 现象正在以每天 4m2的速度扩散 当地政府积极组织工人进行抢修 已知每个工人平均每天 可抢修渗水面积 2m2 每人每天所消耗的维修材料费 75 元 劳务费 50 元 给每人发放 50 元 的服装补贴 每渗水 1m2的损失为 250 元 现在共派去 x 名工人 抢修完成共用 n 天 写出 n 关于 x 的函数关系式 要使总损失最小 应派去多少名工人去抢修 总损失 渗水损失 政府支出 5 对于定义在区间 D 上的函数f x 若存在闭区间 a b D 和常数c 使得对任意 x1 a b 都有f x1 c 且对任意x2 D 当x2 a b 时 f x2 c恒成立 则称函数f x 为区间 D 上的 平底型 函数 1 判断函数f1 x x 1 x 2 和f2 x x x 2 是否为 R R 上的 平底型 函数 并说明理由 2 若函数g x mx 是区间 2 上的 平底型 函数 求m和n x2 2x n 的值 用心 爱心 专心3 6 已知数列 n a的前n项和为 n S 且满足2 nn aS 1 求数列 n a的通项公式 2 求证数列 n a中不存在任意三项按原来顺序成等差数列 3 若从数列 n a中依次抽取一个无限多项的等比数列 使它的所有项和S满足 41 6113 S 这样的等比数列有多少个 用心 爱心 专心4 1 在ABC 中 已知 3abc acbac 1 求角 B 的度数 2 求 2 2coscos AAC 的取值范围 解 1 由 3abc acbac 得 222 acbac 由余弦定理得 1 cos 2 B 所以角 3 B 6 分 2 由 1 知 2 3 AC 2 2 2coscos 1cos2cos 2 3 AACAA 13 1 cos2cos2sin2 22 AAA 2 1 6 A sin 10 分 由 2 0 3 A 得 3 2 662 A 2 1 6 A 1sin 所以 2 2coscos AAC 的取值范围为 0 2 2 如图 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D 中 E为BC的中点 F为 1 DC的中点 1 求证 1 BD A平面 1 C DE 2 求三棱锥ABDF 的体积 解 1 连接 1 DC与 1 DC交于点F 连接EF A D B C A1 B1 C1D1 第 16 题 E F 用心 爱心 专心5 因为E为BC的中点 F为 1 DC的中点 所以 1 EFBDA 又 EF 平面 1 C DE 1 BD 平面 1 C DE 所以 1 BD A平面 1 C DE 8 分 2 由于点F到平面ABD的距离为 1 故三棱锥ABDF 的体积 11 12 12 2 1 33 23 A BDFFABDABD VVS AA A A A 3 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的长轴为 AB 过点B的直线l与x轴垂直 直线 2 12 12 0 k xk ykkR 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点 且椭圆的 离心率 3 2 e 1 求椭圆的标准方程 2 设P是椭圆上异于A B的任意一点 PHx 轴 H为垂足 延长 HP到点Q使得 HPPQ 连结AQ延长交直线l于点M N为MB的中点 试判断直线QN与以 AB 为直 径的圆O的位置关系 解 1 将 2 12 12 0k xk yk 整理得 22 210 xykxy 解方程组 220 210 xy xy 得直线所经过的定点 0 1 所以1b 由离心率 3 2 e 得2a 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y 6 分 2 设 00 P xy 则 2 20 0 1 4 x y HPPQ 00 2Q xy 22 00 22OQxy Q点在以O为圆心 2 为半径的的圆上 即Q点在 以 AB 为直径的圆O上 又 2 0A 直线AQ的方程为 0 0 2 2 2 y yx x 令2x 得 0 0 8 2 2 y M x 又 2 0B N为MB的中点 0 0 4 2 2 y N x A x y M N Q P H l OB 用心 爱心 专心6 00 2OQxy 00 0 0 2 2 2 x y NQx x 2 2 00 0000 0000000 000 4 24 2222 222 xx x yx y OQ NQxxyxxxx xxx 0000 220 xxxx OQNQ 直线QN与圆O相切 4 某水库堤坝因年久失修 发生了渗水现象 当发现时已有 200m2的坝面渗水 经测算知渗水 现象正在以每天 4m2的速度扩散 当地政府积极组织工人进行抢修 已知每个工人平均每天 可抢修渗水面积 2m2 每人每天所消耗的维修材料费 75 元 劳务费 50 元 给每人发放 50 元 的服装补贴 每渗水 1m2的损失为 250 元 现在共派去 x 名工人 抢修完成共用 n 天 写出 n 关于 x 的函数关系式 要使总损失最小 应派去多少名工人去抢修 总损失 渗水损失 政府支出 解 由题意得所以 4 分 设总损失为 8 分 当且仅当时 即时 等号成立 所以应派 52 名工人去抢修 总损失最小 5 对于定义在区间 D 上的函数f x 若存在闭区间 a b D 和常数c 使得对任意 x1 a b 都有f x1 c 且对任意x2 D 当x2 a b 时 f x2 c恒成立 则称函数f x 为区间 D 上的 平底型 函数 1 判断函数f1 x x 1 x 2 和f2 x x x 2 是否为 R R 上的 平底型 函数 并说明理由 2 若函数g x mx 是区间 2 上的 平底型 函数 求m和n x2 2x n 的值 解 1 对于函数f1 x x 1 x 2 当x 1 2 时 f1 x 1 当x 1 或x 2 时 f1 x x 1 x 2 1 恒成立 故f1 x 是 平底型 函 数 对于函数f2 x x x 2 当x 2 时 f2 x 2 当x 2 时 用心 爱心 专心7 f2 x 2x 2 2 所以不存在闭区间 a b 使当x a b 时 f x 2 恒成立 故f2 x 不是 平底型 函数 2 因为函数g x mx 是区间 2 上的 平底型 函数 x2 2x n 则存在区间 a b 2 和常数c 使得mx c恒成立 x2 2x n 所以x2 2x n mx c 2恒成立 即解得或 m2 1 2mc 2 c2 n m 1 c 1 n 1 m 1 c 1 n 1 当时 g x x x 1 m 1 c 1 n 1 当x 2 1 时 g x 1 当x 1 时 g x 2x 1 1 恒成立 此时g x 是区间 2 上的 平底型 函数 当时 g x x x 1 m 1 c 1 n 1 当x 2 1 时 g x 2x 1 1 当x 1 时 g x 1 此时 g x 不是区间 2 上的 平底型 函数 所以m 1 n 1 6 已知数列 n a的前n项和为 n S 且满足2 nn aS 1 求数列 n a的通项公式 2 求证数列 n a中不存在任意三项按原来顺序成等差数列 3 若从数列 n a中依次抽取一个无限多项的等比数列 使它的所有项和S满足 41 6113 S 这样的等比数列有多少个 解 1 当1n 时 111 22aSa 则 1 1a 又2 nn aS 11 2 nn aS 两式相减得 1 1 2 nn aa n a 是首项为 1 公比为 1 2 的等比数列 1 1 2 n n a 4 分 2 反证法 假设存在三项按原来顺序成等差数列 记为 111 pqr aaapqr 则 111 2 222 qpr A 2 221 r qrp A 又pqr rq rpN 用心 爱心 专心8 式左边是偶数 右边是奇数 等式不成立 假设不成立 原命题得证 8 分 3 设抽取的等比数列首项为 1 2m 公比为 1 2n 项数为k 且满足 0 1 1m n kN mnk 则 11 1 22
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