高中物理 数学知识与物理极值问题的整合教学参考素材

用心 爱心 专心 1 数学知识与物理极值问题的整合数学知识与物理极值问题的整合 摘 要 通过对物理极值问题的探索和求解 总结出中学物理极值问题的基本规律 并归 纳出解决物理极值的基本方法 建立与物理问题对应的数学模型 化物理极值问题为数学极值 问题 从而用中学数学中各种求极值的方法求出物理极值 关键词 物理极值问题 整合 数理结合 数学模型 物理极值问题 就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值 物理极值问题是中学物 理教学的一个重要内容 在高中物理的力学 热学 电学等部分均出现 涉及的知识面广 综合性强 加之学生数理结合能力差 物理极值问题已成为中学生学习物理的难点 随着高 考改革的深入及素质教育的全面推开 各学科之间的渗透不断加强 作为对理解能力和演绎 推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科 如果能与数学知识灵活整合 将会拓展解决 物理极值问题的思路 提高运用数学知识解决物理问题的能力 在中学物理中 描述某一过程或者某一状态的物理量 在其发展变化中 由于受到物理 规律和条件的制约 其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际 求这些量的值 的问题便可能涉及到要求物理量的极值 求解物理极值问题 通常涉及到的数学知识有 点 到直线的距离最短 两数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值 二次函数求极值的方法 求 导数 因式分解 三角函数 几何作图法 有关圆的知识等等 在求解物理极值过程中要想能与数学知识进行灵活的整合 充分发挥数学的作用 往 往要进行数学建模 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程 在科学领域中 数学因 为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言 因此 人们常对实际事物建立 种种数学模型以期通过对该模型的考察来描述 解释 预计或分析出与实际事物相关的规律 利用数学解决实际问题的方框图如下 物理极值与中学数学知识整合事例 一 运用二次函数求极值 1 利用二次函数极值公式求极值 实际问题 建立数学模型 数学模型的解 实际问题的解 分析 联想 抽象概括 推 理 演 算 还原说明 用心 爱心 专心 2 对于典型的一元二次函数 cbxaxy 2 若 则当时 y 有极小值 为 0 aa b x 2 a bac y 4 4 2 min 若 则当时 y 有极大值 为 0 aa b x 2 a bac y 4 4 2 max 例 1 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮时汽车以 3m s2的加速度开始行驶 恰 在这时一辆自行车以 6m s 的速度匀速驶来 从后边赶过汽车 汽车从路口开动后 在追上自 行车之前过多长时间两车相距最远 此时距离是多少 解 经过时间 t 后 自行车做匀速运动 其位移为 VtS 1 汽车做匀加速运动 其位移为 2 2 2 1 atS 两车相距为 22 21 2 3 6 2 1 ttatVtSSS 这是一个关于 t 的二次函数 因二次项系数为负值 故 S 有最大值 当 有最大值时S s a b t 2 2 3 2 6 2 6 2 3 4 60 4 4 22 m a bac Sm 2 利用一元二次方程判别式求极值 对于二次函数 可变形为一元二次方程cbxaxy 2 0 2 ycbxax 用判别式法 即 0 44 22 ycabacb a acb y 4 4 2 则由不等式可知 y 的极值为 a acb 4 4 2 对于例题 1 我们可以转化为二次方程求解 将 可转化为一元二次方程 2 21 2 3 6ttSSS 02123 2 Stt 要使方程有解 必使判别式0 2 3 4124 22 Sacb 解不等式得 即最大值为 6m6 S 3 利用配方法求极值 用心 爱心 专心 3 对于二次函数 函数解析式经配方可变为cbxaxy 2 a bac a b xay 4 4 2 2 2 1 若 a 0 时 当时 y 有极小值为 a b x 2 a bac ym 4 4 2 2 若 a 0 时 当时 y 有极大值为 a b x 2 a bac ym 4 4 2 对于例题 1 还可用配方法求解 二 利用不等式求极值 1 如果 a b 为正数 那么有 当且仅当 a b 时 上式取 号 abba2 推论 两个正数的积一定时 两数相等时 其和最小 两个正数的和一定时 两数相等时 其积最大 2 如果 a b c 为正数 则有 当且仅当 a b c 时 上式取 abccba3 号 推论 三个正数的积一定时 三数相等时 其和最小 三个正数的和一定时 三数相等时 其积最大 例 2 一轻绳一端固定在 O 点 另一端拴一小球 拉起小球使轻绳水平 然后无初速度 的释放 如图所示 小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中 小球所受重力的瞬时功率在 何处取得最大值 解 当小球运动到绳与竖直方向成 角的 C 时 重力的功率为 P mg cos mg sin 小球从水平位置到图中 C 位置时 机械能守恒有 2 2 1 cosmvmgL 解 可得 2 sincos2gLmgP 令 y cos sin sinsincos2 2 1 sincos2 2 1 sincos 222 422 y 2 cos sin2sinsincos2 22222 又 v mg A B C O L T 用心 爱心 专心 4 根据基本不等式 定和求积知 abccba3 当且仅当 y 有最大值 22 sincos2 3 3 coscos1cos2 22 得由 结论 当时 y 及功率 P 有最大值 3 3 cos 三 利用三角函数求极值 1 利用三角函数的有界性求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数 可利用三角函数的有界性求极值 若所求物理 量表达式可化为 的形式 可变为 cossinAy 2sin 2 1 Ay 当时 有极值 45 y 2 A 例 3 如图所示 底边恒定为 b 当斜面与底边所成夹角 为多大时 物体沿此光滑斜面由 静止从顶端滑到底端所用时间才最短 此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式 这是一道运动学 和动力学的综合题 应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程 解 设斜面倾角为 时 斜面长为 S 物体受力如 图所示 由图知 cos b S 由匀变速运动规律得 2 2 1 atS 由牛顿第二定律提 mgsin ma 联立 式解得 2sin 4 cossin 22 g b g b a S t 可见 在 90 0 内 当 2 90 时 sin2 有最大值 t 有最小值 即 45 时 有最短时间为 g b t 4 min 2 利用 化一 法求三角函数极值 对于复杂的三角函数 例如 cossinbay 要求极值时 先需要把不同名的三角函数和 变成同名的三角函数 这个工作叫 sin cos 做 化一 cossin cossin 2222 22 ba b ba a babay b mg N 用心 爱心 专心 5 cossinsin cos 22 ba a b ba tan sin 22 其中 故 y 的极大值为 22 ba 例题 4 物体放置在水平地面上 物理与地面之间的动摩擦因数为 物体重为 G 欲 使物体沿水平地面做匀速直线运动 所用的最小拉力 F 为多大 该题的已知量只有 和 G 说明最小拉力的表达式中最多只含有 和 G 但是 物体沿 水平地面做匀速直线运动时 拉力 F 可由夹角的不同值而有不同的取值 因此 可根据题意 先找到 F 与夹角有关的关系式再作分析 解 设拉力 F 与水平方向的夹角为 根据题意可列平衡方程式 即 0cos fF GFN sin Nf 由联立 解得 sincoscos sin1 cossin 2 GG F sin 1 2 G 其中 1 tan GF 2 min 1 四 利用向量求极值 向量就是物理学中的矢量 当物体受三力平衡时 将三矢量首尾相连后 必定构成三角 形 利用点到直线的垂直线段最短可求极值 对于例题 4 我们也可用矢量知识求极值 将摩擦力 f 和地面对木块的弹力 N 合成一个力 F 如图 F 与竖直方向的夹角为 为一定 N f tan 值 这样木块可认为受到三个力 重力 G 桌面对木块的 作用力 F 和拉力 F 的作用 尽管 F 大小方向均未确定 F 方向一定 但大小未定 但三力首尾相连后必构成 三角形 如右图所示 只用当 F 与 F 垂直时 即拉力与水平方向成角时 拉力 F 最小为 sinGF N F f mg F N F f G F F G F F F F 用心 爱心 专心 6 而 22 1tan1 tan sin 故 2 1 sin G GF 五 用图像法求极值 通过分析物理过程遵循的物理规律 找到变量之间的函数关系 做出其图像 由图像可 求得极值 例 5 从车站开出的汽车作匀加速运动 它开出一段时间后 突然发现有乘客未上车 于是立即制动做匀减速运动 结果汽车从开动到停下来共用 20 秒 前进了 50 米 求这过程 中汽车达到的最大速度 解 设最大速度为 vm 即加速阶段的末速度为 vm 画出其速度时间图象如右图所示 图线与 t 轴围成的面 积等于位移 即 m VtS 2 1 即 sm VV mm 520 2 1 50 解得 六 利用数学求导的方法求极值 如果当 x 0 时 有极限 我们把这个极限叫做 f x 在该点 x x0 的导数 它正是曲 线在该点处切线的斜率 tan 如果 f x0 0 则在 x0处函数有极值 例 6 如图所示 相距 2L 的 A B 两点固定着两个正点电荷 带电量均为 Q 在它们的 中垂线上的 C 点 由静止释放一电量为 q 质量为 m 的正检验电荷 不计重力 试求检验 电荷运动到何处加速度最大 最大加速度为多少 解 由于对称性 在 AB 的中点受力为零 在 AB 中垂线 上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的 当 q 运动到中垂线 上的 D 点时 由图可知 sin cos 2sin2 2 1 L kQq FF 合 故其加速度为 sin sin 2 cossin2 3 22 2 mL kQq mL kQq m F a 合 发现加速度是一个关于 的函数 令 3 sinsin f cossin3cos 2 f f的导数为则 t 0 20 V m s 1 F1F2 QQ AB D L L C 用心 爱心 专心 7 0cossin3cos 0 2 即令f 3 3 sin 解得不合题意有极值 900 即3 9 2 3 3 3 3 3 3 arcsin 2 有极大值为时 f 所以当时 加速度有最大值为 3 3 arcsin 3 9 4 2 mL KQq 以上求极值的方法是解高中物理题的常用方法 在使用