2012届高考数学第一轮函数单元练习题6

高三数学单元练习题 函数 高三数学单元练习题 函数 第 卷 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的 代号填在题后的括号内 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知 是上的增函数 那么 a 的取值范围是 31 4 1 log 1 a axa x f x x x A 0 1 B 0 C D 1 3 1 7 1 3 1 1 7 2 函数的定义域是 2 3 lg 31 1 x f xx x A B C D 1 3 1 1 3 1 1 3 3 1 3 3 已知函数 对任意的两个不相等的实数 都有 xfy 21 x x 2121 xfxfxxf 成立 且 则的值是 0 0 f 2006 2005 2005 2006 ffff A 0 B 1 C 2006 D 2006 2 4 偶函数 在 上单调递增 则 与 的大 小 关系是 A B 2 1 bfaf 2 1 bfaf C D 2 1 bfaf 2 1 bfaf 5 函数y log2 1 x2 6x 17 的值域是 A RB 8 C 3 D 3 6 已知函数满足 对于任意的实数都满足 xf1 1 fyx 若 则函数的解析式为 1 2 yxyyfxfyxf Nx xf 10 c 61 2 O 10 c O t A B C D 1 xf14 2 xxf0 xf22 2 xxxf 7 在下列四个函数中 满足性质 对于区间 1 2 上的任意 1 x 2 x 12 xx 恒成立 的只有 2121 f xf xxx A B C D 1 f x x f xx 2f x 2 f xx 8 定义在 上的奇函数f x 和偶函数 g x 在区间 0 上的图像 关于 x轴对称 且f x 为增函数 则下列各选项中能使不等式f b f a g a g b 成立的是 A a b 0B a b0D ab0 使对一切实数x均成 xf xmxf 立 则称为F函数 给出下列函数 xf 图 14 0 xf 2 xxf cos sin2 xxxf 1 2 xx x xf 是定义在 R 上的奇函数 且满足对一切实数x1 x2均有 xf 其中是F函数的序号为 16 汽车在行驶过程中 汽油平均消耗率 g 即每小时的汽油耗油量 单位 L h 与汽车 行驶的平均速度v 单位 km h 之间有所示的函数关系 1500 5 50 2500 1 2 vvg 汽油的使用率最高 即每千米汽油平均消耗量最小 单位 L km 则汽油的使用率 最高时 汽车速度是 L km 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 个大题 共 74 分 17 12 分 设函数是奇函数 都是整数 且 2 1 ax f x bxc a b c 1 2f 2 3f 1 求的值 a b c 2 当 的单调性如何 用单调性定义证明你的结论 0 x f x 18 12 分 已知二次函数 cbxaxxf 2 1 若a b c 且f 1 0 证明f x 的图象与x轴有 2 个交点 2 在 1 的条件下 是否存在m R 使池f m a成立时 f m 3 为正数 若 存在 证明你的结论 若不存在 说明理由 3 若对 方程有 2 212121 xfxfxxRxx 且 2 1 21 xfxfxf 个不等实根 21 xx证明必有一个根属于 19 12 分 设函数 7 7 2 2 xfxfxfxfxf 上满足在 且在闭区间 0 7 上 只有 0 3 1 ff 1 试判断函数的奇偶性 xfy 2 试求方程在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 0 xf 20 12 分 对 1 个单位质量的含污物体进行清洗 清洗前其清洁度 含污物体的清洁度 定义为 为 要求清洗完后的清洁度为 有两种 物体质量 含污物 污物质量 1 8 099 0 方案可供选择 方案甲 一次清洗 方案乙 分两次清洗 该物体初次清洗后受 残留水等因素影响 其质量变为 设用单位质量的水初次清洗后的清 31 aax 洁度是 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 1 8 0 x x 1 axy ay acy 其中是该物体初次清洗后的清洁度 c 99 0 8 0 c 1 分别求出方案甲以及时方案乙的用水量 并比较哪一种方案用水量较95 0 c 少 2 若采用方案乙 当为某固定值时 如何安排初次与第二次清洗的用水量 使a 总用水量最小 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响 a 21 12 分 已知函数 2 2 4 0 4 0 xx x x f x xx x x 1 求证 函数是偶函数 f x 2 判断函数分别在区间 上的单调性 并加以证明 f x 2 0 2 3 若 求证 12 1 4 1 4x x 12 1f xf x 22 14 分 设f x 是定义在 0 1 上的函数 若存在x 0 1 使得f x 在 0 x 上单调递增 在 x 1 上单调递减 则称f x 为 0 1 上的单峰函数 x 为峰点 包含峰点的区间为含峰区间 对任意的 0 l 上的单峰函数f x 下面研究缩短其含峰区间长度的方法 1 证明 对任意的x1 x2 0 1 x1 x2 若f x1 f x2 则 0 x2 为 含峰区间 若f x1 f x2 则 x 1 为含峰区间 2 对给定的 r 0 r 0 5 证明 存在x1 x2 0 1 满足x2 x1 2r 使 得由 I 所确定的含峰区间的长度不大于 0 5 r 3 选取x1 x2 0 1 x1 x2 由 I 可确定含峰区间为 0 x2 或 x1 1 在所得的含峰区间内选取x3 由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区 间 在第一次确定的含峰区间为 0 x2 的情况下 试确定x1 x2 x3的值 满 足两两之差的绝对值不小于 0 02 且使得新的含峰区间的长度缩短到 0 34 区 间长度等于区间的右端点与左端点之差 参考答案 3 一 选择题 1 C 2 B 3 B 4 D 5 C 6 D 7 A 8 A 9 A 10 C 11 B 12 A 二 填空题 13 14 x 15 16 km h 5 1 650 v 三 解答题 17 解 1 由是奇函数 得对定义域内x恒成立 则 2 1 ax f x bxc fxf x 对对定义域内x恒成立 即 22 11 axax bxcbxc bxcbxc 0c 或由定义域关于原点对称得 0c 又由 得代入 得 1 2 1 2 2 341 3 2 a f b fa b 21ab 233 00 22 b b b 又是整数 得 a b c1ba 2 由 知 当 在上单调递增 2 11 x f xx xx 0 x f x 1 在上单调递减 下用定义证明之 1 0 设 则 12 1xx 21 121212 1212 11 xx f xf xxxxx xxx x 因为 12 12 1 1 xx x x 12 1xx 12 0 xx 12 1 10 x x 故在上单调递增 12 0f xf x f x 1 同理 可证在上单调递减 f x 1 0 18 解 1 的图 04 00 0 1 2 xfacbcacbacbaf 且且 象与x轴有两个交点 2 的一个根 由韦达定理知另一根为0 1 0 1 xff为 a c 10 00cabcba a c ca 又且 10 1 m a c am a c ma则13233 a c m 在 1 单调递增 即存在这样的m使 xf 0 1 3 fmf 0 3 mf 3 令 则是二次函数 2 1 21 xfxfxfxg xg 0 4 1 2 2 2 21 21 2 21 121 xfxf xfxf xf xfxf xfxgxg 的根必有一个属于 0 0 2121 xgxgxgxfxf 又 21 xx 19 解 f x 是 R 上的奇函数 且在 0 上是增函数 f x 是 R 上的增函 数 于是不等式可等价地转化为f cos2 3 f 2mcos 4m 即 cos2 3 2mcos 4m 即 cos2 mcos 2m 2 0 设t cos 则问题等价地转化为函数 g t t2 mt 2m 2 t 2 2m 2 在 0 1 上的值恒为正 又转化 2 m 4 2 m 为 函数g t 在 0 1 上的最小值为正 当 0 即m0m 1 与m0 2 m 4 2 m 4 2 m 4 2 4 21 即m 2 时 g 1 m 1 0m 1 2 m m 2 综上 符合题目要求的m的值存在 其取值范围是m 4 2 2 另法 仅限当m能够解出的情况 cos2 mcos 2m 2 0 对于 0 2 恒成 立 等价于m 2 cos2 2 cos 对于 0 恒成立 2 当 0 时 2 cos2 2 cos 4 2 m 4 2 2 22 20 解 1 设方案甲与方案乙的用水量分别为x与 z 由题设有 0 99 解得 0 8 1 x x x 19 由得方案乙初次用水量为 3 第二次用水量y满足方程 0 95c 解得y 4 故 z 4 3 即两种方案的用水量分别为 19 与 0 95 0 99 ya ya aa 4 3 a 因为当 故方案乙的用水量较少 13 4 4 0 axzaxz 时即 2 设初次与第二次清洗的用水量分别为与 类似 I 得xy 54 5 1 c x c 99 100 yac 于是 54 5 1 c xy c 99 100 ac 1 100 1 1 5 1 aca c 当为定值时 a 1 2100 1 14 51 5 1 xyacaaa c 当且仅当时等号成立 此时 1 100 1 5 1 ac c 11 1 1 0 8 0 99 10 510 5 cc aa 不合题意 舍去或 将代入 式得 1 1 10 5 c a 2 511 2 5 xaayaa 故时总用水量最少 此时第一次与第二次用水量分别为 1 1 10 5 c a 最少总用水量是 2 512 5aaa 与 4 51T aaa 当 故 T 是增函数 也可以用二次函数的单 2 5 13 10aT a a 时 a 调性判断 这说明 随着的值的最少总用水量 最少总用水量最少总用水a 量 21 解 1 当时 0 x0 x 则 22 4 4 xxxx f xfx xx 2 4xx x 当时 f xfx 0 x 0 x 则 22 4 4 xxxx f xfx xx 2 4xx x f xfx 综上所述 对于 都有 函数是偶函数 0 x f xfx f x 2 当时 0 x 2 44 1 xx f xx xx 设 则 21 0 xx 21 2112 12 4 xx f xf xxx xx 当时 21 2xx 21 0f xf x 当时 21 20 xx 21 0f xf x 函数在上是减函数 函数在上是增函数 f x 0 2 f x 2 3 由 2 知 当时 14x 5 6f x 又由 1 知 函数是偶函数 当时 f x1 4x 6 x f5 若 则 1 1 4x 2 1 4x 1 5 6f x 2 5 6f x 即 12 1 1f xf x 12 1f xf x 22 1 证明 设x 为f x 的峰点 则由单峰函数定义可知 f x 在 0 x 上单 调递增 在 x 1 上单调递减 当f x1 f x2 时 假设x 0 x2 则x1 x2f x1 这与f x1 f x2 矛盾 所以x 0 x2 即 0 x2 是含峰 区间 当f x1 f x2 时 假设x x2 1 则x x1f x2 这与f x1 f x2 矛盾 所以x x1 1 即 x1 1 是含峰区间 2 证明 由 I 的结论可知 当f x1 f x2 时 含峰区间的长度为l1 x2 当f x1 f x2 时 含峰区间的长度为l2 1 x1 对于上述两种情况 由题意得 2 1 0 5 10 5 xr xr 由 得 1 x2 x1 1 2r 即x1 x1 2r 又因为x2