浙江省杭州市2017届高三（上）第一次教学质量检测数学试卷（理科）（解析版）

第 1 页 共 21 页 2016 2017 学年浙江省杭州市高三 上 第一次教学质量检测数学年浙江省杭州市高三 上 第一次教学质量检测数 学试卷 理科 学试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 设集合 A x x2 2x 0 B x 1 x 2 则 RA B A x 1 x 0 B x 0 x 2 C x 1 x 0 D x 1 x 0 2 若 sinx 2cosx 则 tanx A B C 2D 2 3 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的侧面 PAB 的面积是 A B 2C D 4 命题 x0 R x02 1 0 或 x0 sinx0 的否定是 A x R x2 1 0 且 x sinx B x R x2 1 0 或 x sinx C x0 R x 1 0 且 x0 sinx0 D x0 R x 1 0 或 x0 sinx0 5 设x 满足 f a f b f c 0 0 a b c 若函数 f x 存 在零点 x0 则 A x0 aB x0 aC x0 cD x0 c 6 设点 P 为有公共焦点 F1 F2的椭圆 M 和双曲线 的一个交点 且 cos F1PF2 椭 圆 M 的离心率为 e1 双曲线 的离心率为 e2 若 e2 2e1 则 e1 第 2 页 共 21 页 A B C D 7 在 Rt ABC 中 C 是直角 CA 4 CB 3 ABC 的内切圆交 CA CB 于点 D E 点 P 是图中阴影区域内的一点 不包含边界 若 x y 则 x y 的值可以 是 A 1B 2C 4D 8 8 记 Sn是各项均为正数的等差数列 an 的前 n 项和 若 a1 1 则 A S2mS2n Sm n2 lnS2mlnS2n ln2Sm n B S2mS2n Sm n2 lnS2mlnS2n ln2Sm n C S2mS2n Sm n2 lnS2mlnS2n ln2Sm n D S2mS2n Sm n2 lnS2mlnS2n ln2Sm n 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分分 9 设 ln2 a ln3 b 则 ea eb 其中 e 为自然对数的底数 10 设函数 f x ln x 1 g x 则 g 2 函数 y g x 1 的零点是 11 设实数 x y 满足不等式组 若 z 2x y 则 z 的最大值等于 z 的最小 值等于 12 设直线 l1 m 1 x m 3 y 8 0 m R 则直线 l1恒过定点 若过原点作直 线 l2 l1 则当直线 l1与 l2的距离最大时 直线 l2的方程为 13 如图 ABC 是等腰直角三角形 AB AC BCD 90 且 BC CD 3 将 ABC 沿 BC 的边翻折 设点 A 在平面 BCD 上的射影为点 M 若点 M 在 BCD 内部 含 边界 则点 M 的轨迹的最大长度等于 在翻折过程中 当点 M 位于线段 BD 上时 直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值等于 第 3 页 共 21 页 14 设 x 0 y 0 且 x 2 则当 x 取最小值时 x2 15 已知 是非零不共线的向量 设 定义点集 M K 当 K1 K2 M 时 若对于任意的 r 2 不等式 c 恒成立 则实数 c 的最小值为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 在 ABC 中 A B C 所对的边分别为 a b c 1 求 C 2 若 求 a b c 17 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 平面 ABC 平面 A1BC 平面 A1ABB1 1 求证 AB BC 2 设直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 二面角 A1 BC A 的大小为 试比较 和 的大小关系 并证明你的结论 18 设数列 an 满足 a1 an 1 an2 an 1 n N 1 证明 3 第 4 页 共 21 页 2 设数列 的前 n 项和为 Sn 证明 Sn 3 19 设点 A B 分别是 x y 轴上的两个动点 AB 1 若 0 求点 C 的轨迹 过点 D 作轨迹 的两条切线 切点分别为 P Q 过点 D 作直线 m 交轨迹 于不同 的两点 E F 交 PQ 于点 K 问是否存在实数 t 使得 恒成立 并说 明理由 20 设二次函数 f x ax2 2bx c c b a 其图象过点 1 0 且与直线 y a 有交 点 1 求证 2 若直线 y a 与函数 y f x 的图象从左到右依次交于 A B C D 四点 若线段 AB BC CD 能构成钝角三角形 求的取值范围 第 5 页 共 21 页 2016 2017 学年浙江省杭州市高三 上 第一次教学质学年浙江省杭州市高三 上 第一次教学质 量检测数学试卷 理科 量检测数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 设集合 A x x2 2x 0 B x 1 x 2 则 RA B A x 1 x 0 B x 0 x 2 C x 1 x 0 D x 1 x 0 考点 交 并 补集的混合运算 分析 求出集合 A 以及它的补集 然后求解交集即可 解答 解 集合 A x x2 2x 0 x x 0 或 x 2 B x 1 x 2 则 RA x 0 x 2 RA B x 0 x 2 故选 B 2 若 sinx 2cosx 则 tanx A B C 2D 2 考点 同角三角函数基本关系的运用 分析 由已知可得 sinx 2cosx 两边平方 整理可得 5cos2x 4 4cosx 0 解得 cosx 可求 sinx 利用同角三角函数基本关系式即可求值 解答 解 sinx 2cosx sinx 2cosx 两边平方得 sin2x 1 cos2x 4cos2x 5 4cosx 整理可得 5cos2x 4 4cosx 0 解得 cosx 解得 sinx 2 第 6 页 共 21 页 tanx 故选 A 3 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的侧面 PAB 的面积是 A B 2C D 考点 由三视图求面积 体积 分析 由三视图可知 该几何体是一个三棱锥 底面是一个正三角形 后面的侧棱与底 面垂直 解答 解 由三视图可知 该几何体是一个三棱锥 底面是一个正三角形 后面的侧棱 与底面垂直 该几何体的侧面 PAB 的面积 故选 D 4 命题 x0 R x02 1 0 或 x0 sinx0 的否定是 A x R x2 1 0 且 x sinx B x R x2 1 0 或 x sinx C x0 R x 1 0 且 x0 sinx0 D x0 R x 1 0 或 x0 sinx0 考点 命题的否定 分析 利用特称命题的否定是全称命题 写出结果即可 解答 解 因为全称命题是否定是特称命题 所以 命题 x0 R x02 1 0 或 x0 sinx0 的否定为 x R x2 1 0 且 x sinx 故选 A 第 7 页 共 21 页 5 设x 满足 f a f b f c 0 0 a b c 若函数 f x 存 在零点 x0 则 A x0 aB x0 aC x0 cD x0 c 考点 函数零点的判定定理 分析 确定函数为增函数 进而可得 f a f b f c 中一项为负的 两项为正的 或者三项都是负的 分类讨论 结合函数的零点存在定理 从而得到答案 解答 解 y 2x在 0 上是增函数 y logx 在 0 上是减函数 可得x 在 0 上是增函数 由 0 a b c 且 f a f b f c 0 f a f b f c 中一项为负的 两项为正的 或者三项都是负的 即 f a 0 0 f b f c 或 f a f b f c 0 由于实数 x0是函数 y f x 的一个零点 当 f a 0 0 f b f c 时 a x0 b 此时 B 成立 当 f a f b f c 0 时 x0 c a 综上可得 B 成立 故选 B 6 设点 P 为有公共焦点 F1 F2的椭圆 M 和双曲线 的一个交点 且 cos F1PF2 椭 圆 M 的离心率为 e1 双曲线 的离心率为 e2 若 e2 2e1 则 e1 A B C D 考点 双曲线的简单性质 椭圆的简单性质 分析 如图所示 设椭圆与双曲线的标准方程分别为 1 1 ai bi 0 a1 b1 i 1 2 a12 b12 a22 b22 c2 c 0 设 PF1 m PF2 n 可得 m n 2a1 n m 2a2 由于 cos F1PF2 在 PF1F2中 由余弦定理可得 2c 2 m2 n2 2mn 结合 e2 2e1 化简整理即可得出 解答 解 如图所示 第 8 页 共 21 页 设椭圆与双曲线的标准方程分别为 1 1 ai bi 0 a1 b1 i 1 2 a12 b12 a22 b22 c2 c 0 设 PF1 m PF2 n 则 m n 2a1 n m 2a2 解得 m a1 a2 n a1 a2 由 cos F1PF2 在 PF1F2中 由余弦定理可得 2c 2 m2 n2 2mn 4c2 a1 a2 2 a1 a2 2 a1 a2 a1 a2 化为 5c2 a12 4a22 5 e2 2e1 e1 故选 C 7 在 Rt ABC 中 C 是直角 CA 4 CB 3 ABC 的内切圆交 CA CB 于点 D E 点 P 是图中阴影区域内的一点 不包含边界 若 x y 则 x y 的值可以 是 第 9 页 共 21 页 A 1B 2C 4D 8 考点 平面向量的基本定理及其意义 分析 求出内切圆半径 根据三点共线原理得出 x y 分别对于 1 2 4 8 时 P 点的轨 迹 从而判断出答案 解答 解 设圆心为 O 半径为 r 则 OD AC OE BC 3 r 4 r 5 解得 r 1 连结 DE 则当 x y 1 时 P 在线段 DE 上 排除 A 在 AC 上取点 M 在 CB 上取点 N 使得 CM 2CD CN 2CE 连结 MN 则点 P 在线段 MN 上时 1 故 x y 2 同理 当 x y 4 或 x y 8 时 P 点不在三角形内部 排除 C D 故选 B 8 记 Sn是各项均为正数的等差数列 an 的前 n 项和 若 a1 1 则 A S2mS2n Sm n2 lnS2mlnS2n ln2Sm n B S2mS2n Sm n2 lnS2mlnS2n ln2Sm n C S2mS2n Sm n2 lnS2mlnS2n ln2Sm n D S2mS2n Sm n2 lnS2mlnS2n ln2Sm n 考点 等差数列的性质 分析 举出符合条件的数列 采用验证得答案 第 10 页 共 21 页 解答 解 由 Sn是各项均为正数的等差数列 an 的前 n 项和 可采用取特殊数列方法验证排除 如 数列 1 2 3 4 5 6 取 m 1 n 1 则 S2m S2 3 S2n S4 10 Sm n S3 6 S2mS2n S2S4 30 36 Sm n2 lnS2mlnS2n ln3 ln10 ln26 ln2Sm n 故选 B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题小题 多空题每题 6 分 单空题每题分 单空题每题 4 分 共分 共 36 分分 9 设 ln2 a ln3 b 则 ea eb 5 其中 e 为自然对数的底数 考点 对数的运算性质 分析 直接利用导数的运算法则化简求解即可 解答 解 ln2 a ln3 b 则 ea eb eln2 eln3 2 3 5 故答案为 5 10 设函数 f x ln x 1 g x 则 g 2 ln3 函数 y g x 1 的零点是 1 e 考点 函数零点的判定定理 函数的值 分析 g 2 f 2 令 g x 1 对 x 进行讨论 列方程组解出 x 即可 解答 解 当 x 0 时 g x f x g 2 f 2 ln3 令 y g x 1 0 得 g x 1 或 解得 x 1 e 故答案为 ln3 1 e 11 设实数 x y 满足不等式组 若 z 2x y 则 z 的最大值等于 2 z 的最小 值等于 0 考点 简单线性规划 第 11 页 共 21 页 分析 由约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解 把最优解的坐标代入目标函数得答案 解答 解 由约束条件作出可行域如图 化 z 2x y 为 y 2x z 由图可知 当直线 y 2x z 过 O 时 直线在 y 轴上的截距最小 z 有最小值为 0 当直线过 A 1 0 时 直线在 y 轴上的截距最大 z 有最大值为 2 故答案为 2 0 12 设直线 l1 m 1 x m 3 y 8 0 m R 则直线 l1恒过定点 2 2 若过 原点作直线 l2 l1 则当直线 l1与 l2的距离最大时 直线 l2的方程为 x y 0 考点 恒过定点的直线 点到直线的距离公式 分析 直线 l1 m 1 x m 3 y 8 0 m R 化为 m x y x 3y 8 0 可得 解出可得直线 l1恒过定点 2 2 过原点作直线 l2 l1 可设 l2方程为 m 1 x m 3 y 0 经过两点 0 0 与 2 2 的直线方程为 y x 则当直线 l1与 l2的距离最大时 l2与直线 y x 垂直 即可得出 解答 解 直线 l1 m 1 x m 3 y 8 0 m R 化为 m x y x 3y 8 0 可得 解得 x y 2 则直线 l1恒过定点 2 2 过原点作直线 l2 l1 可设 l2方程为 m 1 x m 3 y 0 则经过两点 0 0 与 2 2 的直线方程为 y x 则当直线 l1与 l2的距离最大时 l2与直线 y x 垂直 直线 l2的方程为 x y 0 故答案分别为 2 2 x y 0 第 12 页 共 21 页 13 如图 ABC 是等腰直角三角形 AB AC BCD 90 且 BC CD 3 将 ABC 沿 BC 的边翻折 设点 A 在平面 BCD 上的射影为点 M 若点 M 在 BCD 内部 含 边界 则点 M 的轨迹的最大长度等于 在翻折过程中 当点 M 位于线段 BD 上 时 直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值等于 考点 异面直线及其所成的角 轨迹方程 分析 点 A 的射影 M 的轨迹为 CD 的中位线 可得其长度 当点 M 位于线段 BD 上时 取 BC 中点为 N AC 中点为 P 可得 MNP 或其补角即为直线 AB 和 CD 所成的角 由已 知数据和余弦定理可得 解答 解 由题意可得点 A 的射影 M 的轨迹为 CD 的中位线 其长度为CD 当点 M 位于线段 BD 上时 AM 平面 ACD 取 BC 中点为 N AC 中点为 P MNP 或其补角即为直线 AB 和 CD 所成的角 则由中位线可得 MN CD PC AB 又 MP 为 RT AMC 斜边 AC 的中线 故 MP AC 在 MNP 中 由余弦定理可得 cos MNP 故答案为 第 13 页 共 21 页 14 设 x 0 y 0 且 x 2 则当 x 取最小值时 x2 12 考点 基本不等式 分析 当 x 取最小值时 x 2取最小值 变形可得 x 2 由基本不 等式和等号成立的条件可得 解答 解 x 0 y 0 当 x 取最小值时 x 2取最小值 x 2 x2 x 2 x2 x 2 2 16 x 4 当且仅当 即 x 2y 时取等号 x2 16 x2 16 x2 16 12 故答案为 12 15 已知 是非零不共线的向量 设 定义点集 M K 当 K1 K2 M 时 若对于任意的 r 2 不等式 c 恒成立 则实数 c 的最小值为 考点 平面向量数量积的运算 分析 由 可得 A B C 共线 再由向量的数量积的几何意义可得 KC 为 AKB 的平分线 由角平分线的性质定理可得 r 可得 K 的轨迹为圆 求得圆的直径与 AB 的关系 即可得到所求最值 第 14 页 共 21 页 解答 解 由 可得 A B C 共线 由 可得 cos AKC cos BKC 即有 AKC BKC 则 KC 为 AKB 的平分线 由角平分线的性质定理可得 r 即有 K 的轨迹为圆心在 AB 上的圆 由 K1A r K1B 可得 K1B 由 K2A r K2B 可得 K2B 可得 K1K2 AB AB 由 r 在 r 2 递增 可得 r 2 即有 K1K2 AB 即 由题意可得 c 故 c 的最小值为 故答案为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 15 页 共 21 页 16 在 ABC 中 A B C 所对的边分别为 a b c 1 求 C 2 若 求 a b c 考点 正弦定理 平面向量数量积的运算 分析 1 先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦 进而利用两角和的公式 化简整理求的 cotC 的值 进而求得 C 2 根据求得 ab 的值 进而利用题设中和正弦定理联立方 程组 求得 a b 和 c 解答 解 1 由得 则有 得 cotC 1 即 2 由推出 而 即得 则有解得 17 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 平面 ABC 平面 A1BC 平面 A1ABB1 1 求证 AB BC 2 设直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 二面角 A1 BC A 的大小为 试比较 和 的大小关系 并证明你的结论 考点 二面角的平面角及求法 空间中直线与直线之间的位置关系 第 16 页 共 21 页 分析 1 过点 A 在平面 A1ABB1内作 AD A1B 于 D 推导出 AD 面 A1BC AD BC AA1 BC 从而 BC 侧面 A1ABB1 由此能证明 AB BC 2 连结 CD 求出 ACD 是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角 ABA1是二面角 A1 BC A 的平面角 从而 ACD ABA1 由此能求出 解答 证明 1 过点 A 在平面 A1ABB1内作 AD A1B 于 D 面 A1BC 面 A1ABB1 面 A1BC 面 A1ABB1 A1B AD 面 A1BC BC 平面 A1BC AD BC AA1 平面 ABC AA1 BC AA1 AD A BC 侧面 A1ABB1 AB 面 A1ABB1 AB BC 解 2 连结 CD 由 1 知 ACD 是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角 又 ABA1是二面角 A1 BC A 的平面角 设 ACD ABA1 在 Rt ADC 中 sin 在 Rt ADB 中 sin AB AC sin sin 18 设数列 an 满足 a1 an 1 an2 an 1 n N 1 证明 3 2 设数列 的前 n 项和为 Sn 证明 Sn 3 考点 数列的求和 数列递推式 分析 1 数列 an 满足 a1 an 1 an2 an 1 n N 可得 an 0 变形 an 1 利用基本不等式的性质即可证明 第 17 页 共 21 页 2 由 1 可得 anan 1 可得 可得当 n 2 时 2 即可证明 解答 证明 1 数列 an 满足 a1 an 1 an2 an 1 n N an 0 an 1 1 3 当且仅当 an 1 时取等号 3 2 由 1 可得 anan 1 当 n 2 时 2 Sn 2 2 3 an 1 Sn 3 19 设点 A B 分别是 x y 轴上的两个动点 AB 1 若 0 求点 C 的轨迹 过点 D 作轨迹 的两条切线 切点分别为 P Q 过点 D 作直线 m 交轨迹 于不同 的两点 E F 交 PQ 于点 K 问是否存在实数 t 使得 恒成立 并说 明理由 考点 轨迹方程 分析 由题意可知 C 在线段 BA 的延长线上 设出 A m 0 B 0 n 可得 m2 n2 1 再设 C x y 由向量等式把 m n 用含有 x y 的代数式表示 代入 m2 n2 1 可得点 C 的轨迹 分别设出 E F K 的横坐标分别为 xE xF xK 点 D s t 可得直线 PQ 的方 程为 再设直线 m 的方程 y kx b 得到 t ks b 进一步求得 第 18 页 共 21 页 xK 联立直线方程与椭圆 m