高中数学《函数模型及其应用》学案8 新人教A版必修1

用心 爱心 专心1 2 2 6 6 函数模型及其应用函数模型及其应用 突破思路突破思路 本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题 要求学生掌握函数应用的基本 方法和步骤 函数的应用问题是高考中的热点内容 必须下功夫练好基本功 本节涉及的 函数模型有 一次函数 二次函数 分段函数及较简单的指数函数和对数函数 其中 最 重要的是二次函数模型 合作讨论合作讨论 1 解决函数应用题的基本步骤和流程图是什么 我的思路 我的思路 解决函数应用题的流程图是 解决函数应用题的基本步骤是 第一步 认真读题 缜密审题 确切理解题意 明确问题实际背景 然后进行科学的 抽象 概括 将实际问题转化成实际问题 即实际问题数学化 第二步 运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题 得出函数问题的解 第三步 将所得函数问题的解代入实际问题进行验证 看是否符合实际 并对实际问 题作答 2 解决函数应用题的关键点和难点是什么 我的思路 我的思路 解决函数应用题的关键有两点 一是实际问题数学化 即在理解的基础上 通过列表 画图 引入变量 建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题 把文字 语言翻译成数学符号语言 二是对得到的函数模型进行解答 得出数学问题的解 要注重 数学能力的培养 思维过程思维过程 解决函数应用题关键在于理解题意 提高学生的阅读能力 一方面要加强对常见函数 模型的理解 弄清其产生的实际背景 把数学问题生活化 另一方面 要不断拓宽学生的 知识面 提高其间接的生活阅历 如经常介绍一些诸如物价 行程 产值 利润 环保等 实际问题 也可以涉及角度 面积 体积 造价等最优化问题 逐步渗透 细水长流 培 用心 爱心 专心2 养学生实际问题数学化的意识和能力 新题解答新题解答 例例 1 1 某地方政府为保护地方电子工业发展 决定对某一进口电子产品征收附加 税 已知这种电子产品国内市场零售价为每件 250 元 每年可销售 40 万件 若政府增加附 加税率为每百元收t元时 则每年销售量将减少 5 8 t万件 1 将税金收入表示为征收附加税率的函数 2 若在该项经营中每年征收附加税金不低于 600 万元 那么附加税率应控制在什么 范围 解析 解析 1 设每年销售是x万件 则每年销售收入为 250 x万元 征收附加税金为 y 250 x t 依题意 x 40 5 8 t 所求的函数关系式为y 250 40 5 8 t t 2 依题意 250 40 5 8 t t 600 即t2 25t 150 0 10 t 15 即税率应控制在 10 15 之间为宜 例例 2 2 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份 0 20 元 卖出的价格是每份 0 30 元 卖不完的还可以以每份 0 08 元的价格退回报社 在一个月 以 30 天计算 有 20 天每天可卖出 400 份 其余 10 天只能卖 250 份 但每天从报社买进报纸的份数都相同 问 应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大 并计算每月最多能赚多少钱 解析 解析 本题所给条件较多 数量关系比较复杂 可以列表分析 设每天从报社买进x份 250 x 400 数量 份 价格 元 金额 元 买进 300 206x 卖出20 x 10 250 0 30 6x 750 退回10 x 250 0 08 0 8x 200 则每月获利润y 6x 750 0 8x 200 6x 0 8x 550 250 x 400 y在x 250 400 上是一次函数 用心 爱心 专心3 x 400 元时 y取得最大值 870 元 答 每天从报社买进 400 份时 每月获的利润最大 最大利润为 870 元 点评 点评 1 信息量大是数学应用题的一大特点 当所给条件错综复杂 一时难以理清关 系时 可采用列表分析的方法 有些典型应用题也可以画出相应的图形 建立坐标系等 2 自变量x的取值范围 250 400 是由问题的实际意义决定的 建立函数关系式时 应注意挖掘 变式练习变式练习 1 商店某种货物的进价下降了 8 但销售价没变 于是这种货物的销售利润由原来 的r 增加到 r 10 那么r的值等于 A 12 B 15 C 25 D 50 解析 解析 销售利润 进价 销售价 进价 100 设销售价为y 进价为x 则 10 100 81 81 100 r x xy r x xy 解之得r 15 答案 答案 B 2 如下图所示 点 在边长为 1 的正方形的边上运动 设M是CD边的中点 则当点 沿着A B C M运动时 以点 经过的路程x为自变量 三角形APM的面积函数的图象 形状大致是 解析 解析 本题主要考查求分段函数的解析式 如图所示 用心 爱心 专心4 当 0 x 1 时 y 2 1 x 1 2 1 x 当 1 x 2 时 y 1 2 1 x 1 4 1 2 x 4 1 4 1 x 4 3 当 2 x 2 5 时 y 2 1 2 5 x 1 4 5 2 1 x 则y 5 22 4 5 2 1 21 4 3 4 1 10 2 1 xx xx xx 图形为 A 答案 答案 A 3 按复利计算利率的储蓄 银行整存一年 年息 8 零存每月利息 2 现把 2 万 元存入银行 3 年半 取出后本利和应为人民币 A 2 1 8 3 5万元 B 2 1 8 3 1 2 6万元 C 2 1 8 3 2 2 5 万元 D 2 1 8 3 2 1 8 3 1 2 6万元 解析 解析 3 年半本利和的计算问题 应转为 3 年按年息 8 计算 而半年按 6 个月 月息 2 计算 又由于是复利问题 故只有选 B 答案 答案 B 4 某学生离家去学校 为了锻炼身体 一开始跑步前进 跑累了再走余下的路 下图 中 纵轴表示离学校的距离 横轴表示出发后的时间 则下列四个图形中较符合该生走法 的是 解析 解析 由于d0表示学生的家与学校的距离 因而首先排除A C选项 又因为图中线 段的斜率的绝对值表示前进速度的大小 因而排除 B 故只能选择 D 答案 答案 D 用心 爱心 专心5 5 容器中有浓度为m 的溶液a升 现从中倒出b升后用水加满 再倒出b升后用水 加满 这样进行了 10 次后溶液的浓度为 A 10 a b m B 10 1 a b m C 9 a b m D 9 1 a b m 答案 答案 B 6 某城市出租汽车统一价格 凡上车起步价为 6 元 行程不超过 2km者均按此价收费 行程超过 2km 按 1 8 元 km 收费 另外 遇到塞车或等候时 汽车虽没有行驶 仍按 6 分 钟折算 1km 计算 陈先生坐了一趟这种出租车 车费 17 元 车上仪表显示等候时间为 11 分 30 秒 那么陈先生此趟行程介于 A 5 7km B 9 11km C 7 9km D 3 5km 答案 答案 A 7 某工厂生产两种成本不同的产品 由于市场销售发生变化 A产品连续两次提价 20 B产品连续两次降价 20 结果都以 23 04 元出售 此时厂家同时出售A B产品各 一件 盈亏情况为 A 不亏不赚 B 亏 5 92 元 C 赚 5 92 元 D 赚 28 96 元 答案 答案 B 8 某纯净水制造厂在净化水的过程中 每增加一次过滤可减少水中杂质 20 要使 水中杂质减少到原来的 5 以下 则至少需要过滤的次数为 参考数据 lg2 0 3010 lg3 0 4771 A 5 B 10 C 14 D 15 答案 答案 C 9 有一批材料可以建成 200m 的围墙 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形 如下图所示 则围成的矩形最大面积 为 m2 围墙厚度不计 用心 爱心 专心6 解析 解析 设矩形宽为xm 则矩形长为 200 4x m 则矩形面积为S x 200 4x 4 x 25 2 2500 0 x 50 x 25 时 S有最大值 2500m2 答案 答案 2500 10 将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售 每天可卖出 100 个 若每个销售涨价 一元 则日销售量减少 10 个 为获得最大利润 则此商品当日销售价应定为每个 元 解析 解析 设每个涨价x元 则实际销售价为 10 x 元 销售的个数为 100 10 x 则利润为y 10 x 100 10 x 8 100 10 x 10 x 4 2 360 0 x 10 因此x 4 即售价定为每个 14 元时 利润最大 答案 答案 14 11 在测量某物理量的过程中 因仪器和观察的结果的误差 使得几次测量分别得到 a1 a2 an 共n个数据 我们规定所测量的物理量 最佳近似值 a是这样一个量 与其他近似值比较 a与各个数据的差的平方和最小 依此规定 以a1 a2 an推出 的a 解析 解析 设a与各数据的差的平方和为y 则y a a1 2 a a2 2 a an 2 na2 2a a1 a2 an a12 an2 an2 因此a n aaa n 21 时 y取得最小值 答案 答案 a n aaa n 21 12 有一质量均匀的杠杆的支点在它的一端 而距支点 1m 处挂一个 490kg 的物体 同 时加力于杠杆的另一端 使杠杆保持水平 若杠杆本身每米重 5kg 则最省力的杆长为 解析 解析 如图所示 设杆长为xm 向上用力为F 用心 爱心 专心7 依杠杆原理易得 490 1 5x 2 x Fx 则F 2 5x x 490 70 当且仅当 2 5 x x 490 即x 14m 时 F的最小值为 70kg 答案 答案 14m 13 在国内投寄平信 每封不超过 20 克重应付邮资 80 分 超过 20 克不超过 40 克重 付邮资 160 分 将每封信应付邮资 分 表示为信重 0 x 40 克的函数 其表达式 f x 为 答案 答案 4020 200 160 80 x x 14 一家人 父亲 母亲 孩子 去某地旅游 有两个旅行社同时发出邀请 且有各 自的优惠政策 甲旅行社承诺 如果父亲买一张全票 则其家庭成员均可享受半价 乙旅 行社承诺 家庭旅行算团体票 按原价的 3 2 计算 这两家旅行社的原价是一样的 若家庭 中孩子数不同 试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式 比较选择哪家更优惠 解答 解答 设两家旅行社的原价为a a 0 家庭孩子个数为x x N 甲 乙两家旅 行收费分别为f x 和g x 则f x a x 1 2 a 2 a x 2 3 a x N g x x 2 3 2a 3 2a x 3 4a x N g x f x 得 2 a x 2 3a 3 2a x 3 4a x 1 因此 当家庭只有 1 个孩子时 两家随便选择 当孩子数多于 1 个时 应选择甲旅行 社 15 把物体放在冷空气中冷却 如果物体原来的温度是 1 空气的温度是 0 tmin 后物体的温度 可由公式 0 1 一 0 e kt确定 k是常数 现有 62 的 物体 放在 15 的空气中冷却 1min 后物体的温度是 52 求常数k的值并计算开始冷 用心 爱心 专心8 却后多长时间物体的温度是 42 精确到小数点后一位有效数字 解析 解析 由题意知 52 15 62 15 e k e k 47 37 0 7872 两边取对数 得 klge lg0 7872 k elg 1039 0 2 303 0 1039 0 2393 又 0 1 一 0 e kt 则 lg 一 0 lg 1 0 ktlge 则t eklg lg lg 001 1039 0 lg lg 001 将 1 62 0 15 代入上式得t 1039 0 15lg 6721 1 若 42 则t 2 3min 答案 答案 k 0 2393 2 3min 16 依法纳税是每个公民应尽的义务 国家征收个人工资 薪金所得税是分段计算的 总收入不超过 800 元 免征个人工资薪金所得税 超过 800 元部分征税 设全月纳税所得 额为x x 全月总收入 800 元 税率见下表 级 数全月应纳税所得额x税 率 1 不超过 500 元部分5 2 超过 500 元至 2000 元部分10 3 超过 2000 元至 5000 元部分15 9 超过 100000 元部分45 1 若应纳税额为f x 试用分段函数表示 1 3 级纳税额f x 的计算公式 2 某人 1999 年 3 月份工资总收入 3000 元 试计算这个人 3 月份应纳税多少元 3 某人 2000 年 4 月纳税 265 元 问该人这个月工资总额为多少元 答案 答案 1 f x 5000200012515 20005002510 50005 xx xx xx 2 205 3 3400 17 甲 乙两地相距 skm 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过ckm h 已知汽 车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度vkm h 用心 爱心 专心9 的平方成正比 比例系数为b 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v km h 的函数 并指出这个函数的定义 域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 答案 答案 1 y v s bv2 a 0 v c 2 当c b a v b a 时 最小值为 2sab 当c b a v c时 最小值为s bc c a 18 某商场在促销期间规定 商场内所有商品按标价的 80 出售 同时当顾客在该商 场内消费满一定金额后 按以下方案获得相应金额的奖券 消费金额的范围 200 400 400 500 500 700 700 900 获得奖券的金额 3060100130 根据上述促销方法 顾客在该商场购物可以获得双重优惠 例如 购买标价 400 元的 商品 则消费金额为 320 元 获得的优惠额为 400 0 2 30 110 元 设购买商品的优惠 率 商品的标价 购买商品获得的优惠 试问 1 若购买一件标价为 1000 元的商品 顾客得到的优惠率是多少 2 对于标价在 500 800 内的商品 顾客购买标价为多少元的商品 可获得不小 于 3 1 的优惠率 答案 答案 1 优惠率为 33 2 标价在 625 750 内的商品 购买时可获得不小于 3 1 的优惠率 19 某家庭今年一月份 二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表示 月份用气量煤气费 一月份 4m3 4 元 二月份 25m3 14 元 三月份 35m3 19 元 该市煤气收费的方法是 煤气费 基本费 超额费 保险费 若每月用量不超过最低 用心 爱心 专心10 限度Am3 只付基本费 3 元和每家每月的定额保险C元 若用气量超过Am3 则超过部分每 m3付B元 又知保险费C不超过 5 元 根据上面的表格求A B C 答案 答案 A 5 b 0 5 C 1 20 经市场调查 某商品在近 100 天内 其销售量和价格均为时间t的函数 且销售 量近似地满足关系g t 3 1 t 3 109 t N 0 t 100 在前 40 天里价格为 f t 4 1 t 22 t N 0 t 40 在后 60 天里价格为f t 2 1 t 52 t N 40 t 100 求这种商品的日销售额的最大值 解析 解析 由题意知 当 0 t 40 h t 12 1 t 10 5 2 48 38809 当 40 t 100 h t 6 1 t 106 5 2 24 25 t 10 或 11 时 这种商品的日 销售额的最大值为 808 5 21 为保护环境 实现城市绿化 某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD 如下图所示 上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR 公园的两边分别落在BC和CD上 但不 能超过文物保护三角形AEF的红线EF 问如何设计才能使公园占地面积最大 并求出最大 面积 已知AB CD 200m BC AD 160m AE 60m AF 40m 解析 解析 设PO x 则S 3 2 x 190 2 3 2 1902 0 x 200 即x 190 时 最 大面积为 24067m2 答案 答案 方案略 最大面积 24067m2 22 国际上常用恩格尔系数 记作n 来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况 它的计算公式为 n 消费支出总额 食品消费支出总额 100 各种类型家庭的n如下表所示 家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕 n n 60 50 n 60 40 n 50 30 n 40 n 30 用心 爱心 专心11 根据某市城市家庭抽样调查统计 1997 年至 2003 年间 每户家庭支出总额每年平均 增加 700 元 其中食品消费支出总额每年平均增加 100 元 1 若 1997 年该市城区刚达到小康 且该年每户家庭消费支出总额为 9000 元 问 2002 年能否达到富裕 2 若 2002 年比 1997 年的消费支出总额增加 35 而其中食品消费支出总额增加 10 问哪一年能达到富裕 答案 答案 1 2002 年刚好达到富裕 2 至少到 2003 年才能达到富裕 23 某人从A地到B地乘坐出租车 有两种方案 第一种方案 租用起步价 10 元 每 km 价为 1 2 元的汽车 第二种方案 租用起步价为 8 元 每 km 价为 1 4 元的汽车 按出 租车管理条例 在起步价内 不同型号行驶的里程是相等的 则此人从A地到扫地选择哪 一种方案比较合适 答案 答案 当A B距离在起步价以内时 选择第二种方案 当A B距离在 a a 10 时 选择第二种方案 当A B距离恰好为a 10 时 选择两种方案均可以 当A B距离大于a 10 时 选择第一种方案 其中a为起步价内汽车行驶的里程 规律总结规律总结 1 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时 一是要注意自变量的取值范围 二 是要检验所得结果 必要时运用估算和近似计算 以使结果符合实际问题的要求 2 在实际问题向数学问题的转化过程中 要充分使用数学语言 如引入字母 列表 画图 建立坐标系等 以使实际问题数学符号化 3 对于建立的各种数学模型 要能够模型识别 充分利用数学方法加以解决 并能积 累一定数量的典型的函数模型 这是顺利解决实际问题的重要资本 相关链接相关链接 数学模型及其应用数学模型及其应用 数学来源于实际又服务于实际 如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题 这里 的关键是 问题情景的数学化 即从所熟悉的生活 生产和其他学科的实际问题出发 进 行观察 比较 分析 综合 抽象 概括和必要的逻辑推理 得出数学概念和规律 通过 构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化 具体化 找到有效的解题途径 构建数学 用心 爱心 专心12 模型 使实际生活问题抽象为数学问题 逐步把数学知识用到生产 生活的实际中 形成 应用数学的意识 培养分析问题和解决问题的能力 1 数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型 1 直接套用现成的公式 2 利用现成的数学模型对应用题进行定量分析 3 对于已经经过提炼加工 忽略了次要因素 保留下来的诸因素之间数量关系比较 清楚的实际问题 建立数学模型 4 对原始的实际问题进行分析加工 建立数学模型 2 解应用题的策略 一般思路可表示如下 因此 解决应用题的一般程序是 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 建模 将文字语言转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 解模 求解数学模型 得出数学结论 还原 将用数学知识和方法得出的结论 还原为实际问题的意义 请你解决 某县 1995 2000 年县财政收入情况如下表所示 表中第 1 年即 1995 年 其他依此类推 123456 2 593 053 804 896 688 50 1 请建立一个数学模型 预测该县以后几年的财政收入情况 2 计算该县财政收入的平均年增长率 由 1 2 分别预测 2001 年该县财政收入 并讨论哪种预测结果更有可行性 假如 你是该县县长 将会采用哪种模型 知识归纳知识归纳 用心 爱心 专心13 学力测评学力测评 基础巩固基础巩固 一 选择题一 选择题 1 函数y xx x 0 1 的定义域是 A x x 0 B x x 0 C x x 0 且x 1 D x x R 且x 0 答案 答案 C 2 下列各组中 f x 与g x 是同一函数的是 A f x x g x x 2 B f x lg x g x 2 1 lgx2 C f x 1 g x x0 D f x x g x 33 x 答案 答案 B 3 log89 log23 等于 用心 爱心 专心14 A 3 2 B 1 C 2 3 D 2 答案 答案 A 4 如下图所示 当a 1 时 在同一个坐标系内 函数y a x与y logax的图象可 能是 答案 答案 A 5 若函数y f x x R 为奇函数 则它的图象必经过点 A a f a B a f a C a f a 1 D a f a 答案 答案 D 6 下列不等式中正确的是 A log 2 1 3 log 2 1 3 1 log 3 1 2 1 B log 2 1 3 log 3 1 2 1 log 2 1 3 1 C log 2 1 3 1 log 2 1 3 log 3 1 2 1 D log 3 1 2 1 log 2 1 3 1 log 2 1 3 答案 答案 A 二 填空题二 填空题 7 若函数f x a2 4 x在定义域内是减函数 则a的取值范围是 答案 答案 2 a 5 8 如下图所示 M N P Q分别为幂函数图象上的四个点 且它们的纵坐标相 用心 爱心 专心15 同 若四个幂函数为 y x 3 y x 2 y x 3 2 y x 3 1 则M N P Q与四个 函数序号的对应顺序只能是 答案 答案 9 函数f x 1 1 1 xx 的最大值是 答案 答案 3 4 三 解答题三 解答题 10 设 0 a 1 b 试比较 logab与 logba的大小 答案 答案 当ab 1 时 logab logba 当ab 1 时 logab logba 当ab 1 时 logab logba 11 集合A x y y x2 mx 2 B x y x y 1 0 且 0 x 2 若A B 求实数m的取值范围 答案 答案 m 1 迁移应用迁移应用 一 选择题一 选择题 1 函数y ax在 0 1 上的最大值和最小值的和为 3