广东省汕头市2013届高三数学上学期期末统一质量检测试题 理 新人教A版

1 绝密 启用前 试卷类型 A 汕头市汕头市 20132013 届高三上学期期末统一检测理科数学届高三上学期期末统一检测理科数学 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 第一部分 选择题第一部分 选择题 满分满分 4040 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 集合 若 A B 则的值是 5 3 1 A 2 baB 1 3 ba A 10 B 9 C 4 D 7 2 如图在复平面内 复数对应的向量分别是 21 z zOBOA 则复数的值是 1 2 z z A B C D i 21 i 22 i 21 i 21 3 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况 抽出了一个容量 为 n 的样本 其频率分布直方图如图所示 其 中支出在 50 60 元 的同学有 30 人 则 n 的值为 A 100 B 1000 C 90 D 900 4 若向量 则下列结论正确的是 1 1 0 2 ba A B C D 1 ba ba bba ba 5 如图正四棱锥 底面是正方形 顶点在底面的射影是底 面的中心 P ABCD 的底面边长为 6cm 侧棱长为 5cm 则它的侧视图的周长等于 A 17cm B cm5119 C 16cm D 14cm 6 设命题 p 函数 y sin2x 的最小正周期为 2 命题 q 函数 y cosx 的图象关于直线 x 对称 则下列的判断正确的是 2 A p 为真 B q 为假 C q 为假 D 为真 p pq 7 若 9 a 在函数的图象上 则有关函数性质的描述 正 2 logyx xx f xaa 确提 A 它是定义域为 R 的奇函数 B 它在定义域 R 上有 4 个单调区间 2 C 它的值域为 0 D 函数 y f x 2 的图象关于直线 x 2 对称 8 计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的数制 采用数字 0 9 和字母 A F 共 16 个记数符 号 这些符号与十进制的数的对应关系如下表 例如 用十六进制表示 E D 1B 则 A B A 6E B 72 C 5F D 5F D B0 第二部分第二部分 非选择题 非选择题 满分满分 110110 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 一 必做题 9 已知数列 的前几项为 用观察法写出满足数列的一个通 n a 1925 2 8 18 222 项公式 n a 10 的展开式中 x3的系数是 用数字作答 7 2 x x 11 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a 1 3c A B 2C 则 sinB 12 已知 x 0 y 0 且 1 则 2x 3y 的最小值为 19 xy 13 设 f x 是 R 是的奇函数 且对都有 f x 2 f x 又当 0 1 xR x 时 f x x2 那么 x 2011 2013 时 f x 的解析式为 二 选做题 二 选做题 第 14 15 题为选做题 考生只能选做一题 两题全答的 只计算前一题的 得分 14 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系 则直线 t 为参数 截圆 3 0 的弦长为 2 1 xt yt 2 2 cos 15 几何证明选讲 已知圆 O 的半径为 3 从圆 O 外一点 A 引 切线 AD 和割线 ABC 圆心 O 到 AC 的距离为 2 AB 3 则切2 线 AD 的长为 三 解答题三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 1 tan 36 f xx 3 I 求 f x 的最小正周期 II 求的值 3 2 f 皿 设 求的值 71 3 22 f sin cos 2sin 4 17 本小题满分 12 分 汕头市澄海区以塑料玩具为主要出口产品 塑料厂家在产品出厂前 需对产品做检验 厂家将一批产品发给商家时 商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验 以决定 是否接收这批产品 I 若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0 8 从中任意取出 3 件进行检验 求恰有 1 件 是合格品的概率 H 若厂家发给商家 20 件产品 其中有 3 件不合格 按合同规定 该商家从中任取 2 件 都进行检验 只有 2 件都合格时才接收这批产品 否则拒收 求该商家可能检验出不合格 产品数的分布列及期望 E 并指出该商家拒收这批产品的概率 18 本小题满分 14 分 2012 年 9 月 19 日汕头日报报道 汕头市西部生态新城启动建设 由金平区招商引资共 30 亿元建设若干个项目 现有某投资人打算投资甲 乙两个项目 根据预测 甲 乙项目 可能的最大盈利率分别为 100 和 50 可能的最大亏损率分别为 30 和 10 该投资人计划 投资金额不超过 10 亿元 为确保可能的资金亏损不超过 1 8 亿元 问 该投资人对甲 乙两 个项目各投资多少亿元 才能使可能的盈利最大 19 本小题满分 14 分 已知有两个数列 它们的前 n 项和分别记为 且数列 是各项 n a n b nn S T n a 均为正数的等比数列 26 前 m 项中数值最大的项的值 18 728 又 m S 2m S 2 2 n Tn I 求数列 的通项公式 n a n b II 若数列 满足 求数列 的前 n 项和 Pn n c nnn cb a n c 20 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AB 丄平面 PAD PD AD E 为 PB 的中点 向量 点 H 在 AD 上 且 4 I EF 平面 PAD II 若 PH AD 2 AB 2 CD 2AB 3 1 求直线 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值 2 求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角的余弦值 21 本小题满分 14 分 集合 A B D A B lgxR yx 2 22 1 1 0 xRxa xaa I 当 a 2 时 求集合 D 用区间表示 II 当时 求集合 D 用区间表示 1 0 2 a III 在 II 的条件下 求函数在 D 内的极值点 32 43 12 6f xxa xax 理科数学答案理科数学答案 一 选择题一 选择题 1 1 C C 2 2 A A 3 3 A A 4 4 C C 5 5 D D 6 6 C C 7 7 D D 8 8 A A 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分分 9 9 或 或 注意 本题答案有多种可能 只要学生给出的通项公 注意 本题答案有多种可能 只要学生给出的通项公 2 1 2 1 n n 2 1 2 1 n n 式计算出的前几项满足就可以判正确 式计算出的前几项满足就可以判正确 1010 8484 1111 1 1 1212 1313 6629 2012 2011 2012 2013 2012 2012 2 2 xx xx xf 1414 4 4 15 15 三 解答题三 解答题 1616 本题满分 本题满分 1212 分 分 解 1 的最小正周期为 T 3 分 f x 3 1 3 2 6 分 33 tan tan3 2663 f 3 由 8 分 711711 3 tan 3 tan 2232622 f 即即 5 所以 9 分 1 tan 2 cos0 10 分 sin cos sincos sincos 2sin 4 11 分 tan1 tan1 12 分 1 1 2 3 1 1 2 另解 先求再求得最后正确答案这步也得 3 分sincos 即 1717 本小题满分本小题满分 1212 分分 解 记 厂家任取 3 件产品检验 恰有 1 件是合格品 为事件 A 则 3 分 12 3 0 81 0 8 3 0 8 0 04 0 096P AC 可能的取值为 4 分 0 1 2 2 17 2 20 136 0 190 C P C 11 317 2 20 51 1 190 C C P C 2 3 2 20 3 2 190 C P C 7 分 8 分 9 分 1365133 012 19019019010 E 记 商家任取 2 件产品检验 都合格 为事件 B 则商家拒收这批产品的概率 11 分 13627 11 19095 PP B 所以商家拒收这批产品的概率为 12 分 27 95 1818 本小题满分本小题满分 1414 分分 解 设该投资人对甲 乙两个项目分别投资亿元 亿元 可能的盈利为 z 亿元 则xy 0 2 P 136 190 51 190 3 190 6 1 分 1 2 zxy 依题意得 即 5 分 10 31 1 8 1010 0 0 xy xy x y 10 318 0 0 xy xy x y 画出可行域如图阴影部分 8 分 10 10 18 6 x y o 作出直线 1 0 2 o lxy 作的一组平行线 o l 22l yxz 当直线过直线与直线100 xy 3180 xy 的交点 A 时直线在 y 轴上的截距 2z 最大 此时 z 最大 10 分 解方程组 得 12 分 100 3180 xy xy 4 6 x y A 4 6 13 分 max 1 467 2 z 亿元 答 投资人对甲项目投资 4 亿元 对乙项目投资 6 亿元 才能使可能的盈利最大 14 分 1919 本小题满分本小题满分 1414 分分 解 设等比数列的公比为 q n a0 n a 0q 7 若 q 1 时 此时 而已知 1m Sma 21 2 m Sma 2 2 mm SS 26 m S 2 728 m S 1 分 2 2 mm SS 1q 由 得 2 分 26 728 m m S S 1 2 1 1 26 1 1 1 728 2 1 m m aq q aq q 得 3 分 12 128 m q 27 m q 前 m 项中最大 4 分 1q m a18 m a 即 即 1 1 18 m a q 1 1 18 27 m m a q q 1 2 3 3 a q 1 2 3 aq 把及代入 1 式得 1 2 3 aq 27 m q 2 1 27 3 26 1 q q 解得 q 3 把 q 3 代入得 所以 7 分 1 2 3 aq 1 2a 1 2 3n n a 由 2 2 n Tn 1 当 n 1 时 11 2bT 2 当 时 2n 2 222 1 2212221 nnn bTTnnnnn 42n 适合上式 9 分 1 2b 42 n bn 由 1 1 2 3n n a 42 n bn 11 3 12 432 24 nn n nnc 记 的前 n 项和为 显然 1 3 12 n n nd n d n Q nn QP4 1210 321 3 12 353331 n nn nddddQ n nn nddddQ3 12 353331 3 321 321 11 分 得 2 n Q nn n3 12 32 3232321 1321 8 13 分 n n n3 12 31 31 3 21 1 n n3 22 2 即 14 分 43 1 44 n n nQ43 1 4 n n nP 2020 本小题满分本小题满分 1414 分分 取 PA 的中点 Q 连结 EQ DQ 则E 是 PB 的中点 1 2 EQABAB且EQ 1 2 DFAB 又 1 2 DFABAB 且D F 四边形 EQDF 为平行四边形 DFEQDFEQ 且 EFQD EFPADPAD 又平面且D Q平面 3 分 EFPAD平面 解法一 证明 PH AD 0PHAD PHAD 又 AB 平面 PAD 平面 PAD AB PH PH 又 PHAD H PH 平面 ABCD 4 分 连结 AE PDAD QPA 为的中点DQPA 又且ABPAD 平面DQPAD 平面ABDQ 5 分 ABPAA DQPAB 平面 由 知 EFDQEFPAB 平面 AEAFPAB 为在平面上的射影 7 分 FAEAFPAB 为直线与平面所成的角 2PDAD 3PH Rt PHD 在中 2 222 231HDPDPH 又 H 为AD 中点PHAD 2PAPDAD 3EFDQPH ABPAD 平面ABAD DFABDFAD 在 Rt ADF 中 22 4 15AFADDF 又 EFPAB 平面EFAE 9 Rt AEF 在中 315 sin 55 EF FAE AF 9 分 15 5 AFPAB 直线与平面所成的角的正弦值为 5 15 2 延长 DA CB 交于点 M 连接 PM 则 PM 为平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的交线 10 分 因为 所以点 A B 分别为 DM CM 的中点 所以 DM 4 CDABCDAB 2 1 在中 PHMRT 222 MHPHPM 32 PM 222 DMPMPD 11 分 PDPM 又因为 所以PMDCD平面 PMCP 即为所求的二面角的平面角 13 分 CPD 所以在中 14 分 PCDRT 5 5 52 2 cos PC PD CPD 解法二 向量法 1 由 可得 又PHABCD 平面ABPAD 平面 在平面 ABCD 内过点 以 H 为原点 以 HHGAB作HGPAD 平面 正方向建立空间直角坐标系 HAHG HPxyz 的方向分别为轴 轴 轴Hxyz 2PDAD 3PH Rt PHD 在中 2 222 231HDPDPH HAD 为中点 10 0A 3P O O 12 0B 13 1 22 E 110F 设平面 PAB 的一个法向量为 210AF nx y z 1 0 3PA 1 2 3PB 得 y 0 令 得 x 3 0 0 nPAn PA nPBn PB 由得 30 230 xz xyz 3z 11 分 3 0 3n 设直线 AF 与平面 PAB 所成的角为 则 2 2 22 2 33 sincos 53 2133 AF n AF n AF n A 15 5 10 9 分 15 5 AFPAB 直线与平面所成的角的正弦值为 2 显然向量为平面 PAD 的一个法向量 且AB 0 2 0 AB 设平面 PBC 的一个法向量为 1111 zyxn 1 2 3PB 0 2 2 BC 由得到 0 1 nPB032 111 zyx 由得到 令 则 0 1 nBc022 11 yx1 1 x3 1 11 zy 所以 3 1 1 1 n 1 1 2 1 2 15 cos 5 21 13 AB n AB n AB n A 所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角的余弦值为 14 分 5 5 21 解 1 A 1 分 0 x x 当 a 2 时 B 2 10 xR xx 解不等式 得 或 2 10 xx 15 2 x 15 2 x 2 分 1515 22 Bx xx 或 3 分 15 2 AB 2 不等式 令 2 22 110 xa xaa 2 22 11h xxa xaa 2 2 14 2aa a aa 1 2 4 18 1aa a 11 4 112aaa 4 11 3aa 4 分 41 31aa 当 1 00 3 a 时 0h x 此时方程有两个不同的解 1 2 14 3111311 42 aaaaaa x 2 2 14 3111311 42 aaaaaa x 12 Bx xxxx 或 12 1xxa 1 0 3 a 12 10 xxa 2 12 131111 31121 0 4442 aaaaaaaaaa xx 12 00 xx 且 2 0 DABxx 13111311 0 22 aaaaaa 6 分 当 1 3 a 时 00h x 此时方程有唯一解 12 1 3 xx 7 分 1111 0 3333 BDAB 此时 于是 当 11 32 a 时0 xR 对 0h x BR 8 分 0DABA 3 2 126 126fxxa xa