必修四平面向量的坐标运算(附答案)

平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 学习目标 1 了解平面向量的正交分解 掌握向量的坐标表示 2 掌握两个向量和 差及数 乘向量的坐标运算法则 3 正确理解向量坐标的概念 要把点的坐标与向量的坐标区分开来 知识点一 平面向量的坐标表示 1 向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 2 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 i j 作为基底 对于平面内的一个向量 a 有且只有一对实数 x y 使得 a xi yj 则有序 数对 x y 叫做向量 a 的坐标 a x y 叫做向量的坐标表示 3 向量坐标的求法 在平面直角坐标系中 若 A x y 则 x y 若 A x1 y1 OA B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 AB 思考 根据下图写出向量 a b c d 的坐标 其中每个小正方形的边长是 1 答案 a 2 3 b 2 3 c 3 2 d 3 3 知识点二 平面向量的坐标运算 1 若 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1 x2 y1 y2 即两个向量和的坐标等于这两个 向量相应坐标的和 2 若 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1 x2 y1 y2 即两个向量差的坐标等于这两个 向量相应坐标的差 3 若 a x y R 则 a x y 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标 4 已知向量的起点 A x1 y1 终点 B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 AB AB 思考 已知 a b c 如下图所示 写出 a b c 的坐标 并在直角坐标系 OA OB OC 内作出向量 a b a b 以及 a 3c 然后写出它们的坐标 答案 易知 a 4 1 b 5 3 c 1 1 a b 1 4 a b 9 2 a 3c 1 2 OD BA OF 题型一 平面向量的坐标表示 例 1 已知边长为 2 的正三角形 ABC 顶点 A 在坐标原点 AB 边在 x 轴上 C 在第一象限 D 为 AC 的中点 分别求向量 的坐标 AB AC BC BD 解 如图 正三角形 ABC 的边长为 2 则顶点 A 0 0 B 2 0 C 2cos 60 2sin 60 C 1 D 3 1 2 3 2 2 0 1 AB AC 3 1 2 0 1 BC 33 2 0 BD 1 2 3 2 3 2 3 2 跟踪训练 1 在例 1 的基础上 若 E 为 AB 的中点 G 为三角形的重心时 如何求向量 的坐标 CE AG BG GD 解 由于 B 2 0 E 1 0 C 1 D G 1 3 1 2 3 2 3 3 所以 1 1 0 0 CE 33 1 AG 3 3 1 2 0 1 BG 3 3 3 3 1 GD 1 2 3 2 3 3 1 2 3 6 题型二 平面向量的坐标运算 例 2 已知平面上三点 A 2 4 B 0 6 C 8 10 求 1 2 2 3 AB AC AB BC BC 1 2AC 解 A 2 4 B 0 6 C 8 10 0 6 2 4 2 10 AB 8 10 2 4 10 14 AC 8 10 0 6 8 4 BC 1 2 10 10 14 8 4 AB AC 2 2 2 10 2 8 4 18 18 AB BC 3 8 4 10 14 3 3 BC 1 2AC 1 2 跟踪训练 2 已知 a 1 2 b 2 1 求 1 2a 3b 2 a 3b 3 a b 1 2 1 3 解 1 2a 3b 2 1 2 3 2 1 2 4 6 3 4 7 2 a 3b 1 2 3 2 1 1 2 6 3 7 1 3 a b 1 2 2 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 3 1 3 7 6 2 3 题型三 平面向量坐标运算的应用 例 3 已知点 A 2 3 B 5 4 C 7 10 若 R 试求 为何值时 AP AB AC 1 点 P 在一 三象限角平分线上 2 点 P 在第三象限内 解 设点 P 的坐标为 x y 则 x y 2 3 x 2 y 3 AP 5 4 2 3 7 10 2 3 AB AC 3 1 5 7 3 5 1 7 AP AB AC Error 则Error 1 若 P 在一 三象限角平分线上 则 5 5 4 7 1 2 2 若 P 在第三象限内 则Error 1 时 点 P 在第一 第三象限角平分线上 1 时 点 P 在第三象限内 1 2 跟踪训练 3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 3 7 4 6 1 2 求第四个顶 点的坐标 解 不妨设 A 3 7 B 4 6 C 1 2 第四个顶点为 D x y 则 A B C D 四点构成平行四边形有以下三种情形 1 当平行四边形为 ABCD 时 AB DC 设点 D 的坐标为 x y 4 6 3 7 1 2 x y Error Error D 0 1 2 当平行四边形为 ABDC 时 仿 1 可得 D 2 3 3 当平行四边形为 ADBC 时 仿 1 可得 D 6 15 综上所述 第四个顶点的坐标可能为 0 1 2 3 或 6 15 坐标法解决向量问题 例 4 已知 O 是 ABC 内一点 AOB 150 BOC 90 设 a b c OA OB OC 且 a 2 b 1 c 3 试用 a b 表示 c 分析 注意到两个已知的特殊角 联想到建立直角坐标系求向量坐标 解 如图 以 O 为原点 为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系 OA 由三角函数的定义 得 B cos 150 sin 150 C 3cos 240 3sin 240 即 B C 3 2 1 2 3 2 3 3 2 又 A 2 0 故 a 2 0 b c 3 2 1 2 3 2 3 3 2 设 c 1a 2b 1 2 R 1 2 0 2 2 1 2 2 3 2 3 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 Error Error c 3a 3b 3 1 设平面向量 a 3 5 b 2 1 则 a 2b 等于 A 7 3 B 7 7 C 1 7 D 1 3 2 已知向量 3 2 5 1 则向量的坐标是 OA OB 1 2AB A B 4 1 2 4 1 2 C 8 1 D 8 1 3 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A 0 2 B 1 2 C 3 1 且 2 则顶点 D 的 BC AD 坐标为 A B C 3 2 D 1 3 2 7 2 2 1 2 4 已知向量 a 2 3 b 1 2 p 9 4 若 p ma nb 则 m n 5 设向量 a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量 4a 4b 2c 2 a c d 的有 向线段首尾相接能构成四边形 求向量 d 一 选择题 1 已知平面向量 a 1 1 b 1 1 则向量 a b 等于 1 2 3 2 A 2 1 B 2 1 C 1 0 D 1 2 2 已知 a b 1 2 a b 4 10 则 a 等于 1 2 A 2 2 B 2 2 C 2 2 D 2 2 3 已知向量 a 1 2 b 2 3 c 3 4 且 c 1a 2b 则 1 2的值分别为 A 2 1 B 1 2 C 2 1 D 1 2 4 已知 M 3 2 N 5 1 且 则点 P 的坐标为 MP 1 2MN A 8 1 B 1 3 2 C D 8 1 1 3 2 5 在平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 2 4 1 3 则等于 AB AC BD A 2 4 B 3 5 C 3 5 D 2 4 6 向量 7 5 将按向量 a 3 6 平移后得向量 则的坐标形式为 AB AB A B A B A 10 1 B 4 11 C 7 5 D 3 6 二 填空题 7 已知点 A 1 3 B 4 1 则与向量同方向的单位向量为 AB 8 已知平面上三点 A 2 4 B 0 6 C 8 10 则 的坐标是 1 2AC 1 4BC 9 已知 A 1 2 B 2 3 C 2 0 D x y 且 2 则 x y AC BD 10 已知四边形 ABCD 为平行四边形 其中 A 5 1 B 1 7 C 1 2 则顶点 D 的坐 标为 三 解答题 11 已知 a 2 1 b 1 3 c 1 2 求 p 2a 3b c 并用基底 a b 表示 p 12 已知点 A 3 4 与 B 1 2 点 P 在直线 AB 上 且 2 求点 P 的坐标 AP PB 13 已知点 A 1 2 B 2 8 及 求点 C D 和的坐标 AC 1 3AB DA 1 3BA CD 当堂检测答案 1 设平面向量 a 3 5 b 2 1 则 a 2b 等于 A 7 3 B 7 7 C 1 7 D 1 3 2 已知向量 3 2 5 1 则向量的坐标是 OA OB 1 2AB A B 4 1 2 4 1 2 C 8 1 D 8 1 3 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A 0 2 B 1 2 C 3 1 且 2 则顶点 D 的 BC AD 坐标为 A B C 3 2 D 1 3 2 7 2 2 1 2 4 已知向量 a 2 3 b 1 2 p 9 4 若 p ma nb 则 m n 5 设向量 a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量 4a 4b 2c 2 a c d 的有 向线段首尾相接能构成四边形 求向量 d 课时精练答案 一 选择题 1 答案 D 2 答案 D 3 答案 D 解析 由Error 解得Error 4 答案 C 解析 设 P x y 由 x 3 y 2 8 1 1 2 x 1 y 3 2 5 答案 B 解析 AC AB AD 1 1 AD AC AB 3 5 BD AD AB 6 答案 C 解析 与方向相同且长度相等 A B AB 故 7 5 A B AB 二 填空题 7 答案 3 5 4 5 解析 4 1 1 3 3 4 AB OB OA 与同方向的单位向量为 AB AB AB 3 5 4 5 8 答案 3 6 9 答案 11 2 解析 2 0 1 2 1 2 AC x y 2 3 x 2 y 3 BD 又 2 即 2x 4 2y 6 1 2 BD AC Error 解得Error x y 11 2 10 答案 7 6 解析 设 D x y 由 AD BC x 5 y 1 2 5 x 7 y 6 三 解答题 11 解 p 2a 3b c 2 2 1 3 1 3 1 2 4 2 3 9 1 2 2 13 设 p xa yb 则有 Error 解得Error p a b 19 7 24 7 12 解 设 P 点坐标为 x y 2 AP PB 当 P 在线段 AB 上时 2 AP PB x 3 y 4 2 1 x 2 y Error 解得Error P 点坐标为 0 1 3 当 P 在线段 AB 延长线上时 2 AP PB x 3 y 4 2