广东省珠海市2014届高三数学9月开学摸底考试试题 理 新人教A版VIP

1 珠海市珠海市 20132013 年年 9 9 月高三摸底考试月高三摸底考试 理科数学试题理科数学试题 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 请在答题卡上填涂相应选项 1 已知集合 则 1 Ax x 2 20 Bx xx AB A B C D 0 x x 1 x x 12 xx 02 xx 2 复数 2 1 i i A B C D 1 i 1 i 2i 2i 3 下列函数中 既是偶函数又在区间上单调递增的函数为 0 A B C D 1 yx 2 logyx yx 2 yx 4 在中 是 的 ABC 0 60A 1 cos 2 A A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 如图 在中 点是边上靠近的三等分点 则 ABC DBCB AD A B C D ACAB 3 1 3 2 ACAB 3 2 3 1 ACAB 3 1 3 2 ACAB 3 2 3 1 6 已知满足约束条件 则的最小值为 x y 2 4zxy A B C D 14 15 16 17 7 一简单组合体的三视图及尺寸如图 1 示 单位 则该组合体的体积为 cm A 72000 B 64000 3 cm 3 cm C 56000 D 44000 3 cm 3 cm A B C D 第 5 题 主 主 主 202020 主 主 主 40 主 主 主 10 50 第 7 题 2 8 对于函数 如果存在区间 同时满足下列条件 在内是 yf x m n f x m n 单调的 当定义域是时 的值域也是 则称是该函数的 和谐 m n f x m n m n 区间 若函数存在 和谐区间 则的取值范围是 11 0 a f xa ax a A B C D 1 5 2 2 0 1 0 2 1 3 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 5 分 考生做答 6 小题 满分 30 分 其中 14 15 题是选做题 考生只能选做一题 两题全答的 只计算前一题得分 请将答案填在答题卡 相应位置 9 不等式的解集是 K s5u3 110 xx 10 在二项式的展开式中 含项的系数是 则实数的值为 25 a x x x80 a 11 设等比数列的公比 则 n a2q 4 4 S a 12 直线是函数的切线 则实数 1 4 yxb 1 f x x b 13 在中 则 ABC 2 3AB 2AC 0 60CBC 14 几何证明选讲选做题 如图 圆的直径O6ABPABP 是延长线上的一点 过作圆的切线 0 30CCPACP 切点为若 则长为 15 极坐标选做题 极坐标系中 曲线上的点到直线4cos 的距离的最大值是 cos3sin8 三 解答题 本题共有 6 个小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步 骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 cossin cosf xxxx B A o P C 第 14 题 3 M N F E B C AD A E F M N B 1 求的最小正周期和最小值 2 若且 求 f x 4 2 326 84 f 的值 cos 17 本小题满分 12 分 某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件 其中 有 A B C 三种软件投入使用 经一学年使用后 团队调查了这个专业大一四个班的使用 情况 从各班抽取的样本人数如下表 1 从这 12 人中随机抽取 2 人 求这 2 人恰好来自同一班级的概率 2 从这 12 名学生中 指定甲 乙 丙三人为代表 已知他们下午自习时间每人选择一 款软件 其中选 A B 两个软件学习的概率都是 且他们选择 A B C 任一款软件都是相 1 6 互独立的 设这三名学生中下午自习时间选软件 C 的人数为 求的分布列和数学期 望 K s5u 18 本小题满分 14 分 在边长为的正方形ABCD中 E F分别为BC CD的中点 4cm M N分别为AB CF的中点 现沿AE AF EF折叠 使B C D三点重合 重合后的点记 为 构成一个三棱锥 B 1 请判断与平面的位置关系 并给出证明 MNAEF 2 证明平面 AB BEF 3 求二面角的余弦值 MEFB 班级一二三四 人数 3234 4 19 本小题满分 14 分 若正数项数列的前项和为 首项 点 n an n S 1 1a 在曲线上 1 nn PSS 2 1 yx 1 求 23 a a 2 求数列的通项公式 n a n a 3 设 表示数列的前项和 若恒成立 求及实数的取 1 1 n nn b aa n T n b n Ta n Ta 值范围 20 本小题满分 14 分 已知点的坐标分别是 直线相AB 0 1 0 1 AMBM 交于点 且它们的斜率之积为 M 1 2 1 求点轨迹的方程 MC 2 若过点的直线 与 1 中的轨迹交于不同的两点 试求面积的 0 2 DlCEF OEF 取值范围 为坐标原点 O K s5u 21 本小题满分 14 分 已知函数 1 ln x f xx ax 0 x 1 当时 求在上的最小值 1a f x 1 2 2 2 若函数 f x在上为增函数 求正实数的取值范围 1 2 a 5 3 若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根 求x12 ln20 xxxmx 1 e e 实数的取值范围 m K s5u 珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试理科数学 试题与参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 请在答题卡上填涂相应选项 1 集合 已知集合 则 1 Ax x 2 20 Bx xx AB A B C D 0 x x 1 x x 12 xx 02 xx 2 复数的除法 复数 2 1 i i A B C D 1 i 1 i 2i 2i 3 函数的奇偶性与单调性 下列函数中 既是偶函数又在区间上单调递增的函0 数为 A B C D 1 yx 2 logyx yx 2 yx 4 充要条件 在中 是 的 ABC 0 60A 1 cos 2 A A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 K s5u 5 向量 如图 在中 点是边上靠近的三等分点 则 ABC DBCBAD A B 21 33 ABAC 12 33 ABAC C D 21 33 ABAC 12 33 ABAC 6 线性规划 已知满足约束条件 则的最小值为 x y 50 0 0 xy xy y 2 4zxy A B C D 14 15 16 17 7 三视图 一简单组合体的三视图及尺寸如图 1 示 单位 则该组合体的体积为cm A B C D 6 主 主 主 202020 主 主 主 40 主 主 主 10 50 A 72000 B 64000 3 cm 3 cm C 56000 D 44000 3 cm 3 cm 8 信息题 对于函数 如果存在区间 同时满足下列条件 在 yf x m n f x 内是单调的 当定义域是时 的值域也是 则称是该函 m n m n f x m n m n 数的 和谐区间 若函数存在 和谐区间 则的取值范围是 11 0 a f xa ax a A B C D 1 5 2 2 0 1 0 2 1 3 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 其中 14 15 题是选做题 考生 只能选做一题 两题全答的 只计算前一题得分 请将答案填在答题卡相应位置 9 绝对值不等式 不等式的解集是 3 110 xx 10 xx 10 二项展开式 在二项式的展开式中 含项的系数是 则实数的值 25 a x x x80 a 为 2 11 等比数列 设等比数列的公比 则 n a2q 4 4 S a 15 8 12 导数 直线是函数的切线 则实数 1 4 yxb 1 f x x b 11或 13 解三角形 在中 则 4 ABC 2 3AB 2AC 0 60CBC 14 几何证明选讲选做题 如图 圆的直径O6ABPABP 是延长线上的一点 过作圆的切线 0 30CCPACP 切点为若 则长为3 3 15 极坐标选做题 极坐标系中 曲线上的点到直线4cos B A o P C 7 的距离的最大值是 cos3sin8 7 三 解答题 本题共有 6 个小题 12 分 12 分 14 分 14 分 14 分 14 分 80 分 16 三角函数 已知函数 2 cossin cosf xxxx 1 求的最小正周期和最小值 2 若且 f x 4 2 326 84 f 求的值 cos 解 1 2 11112 cossin coscos2sin2sin 2 222224 f xxxxxxx 4 分 所以 当时 有最小 2 2 T sin 2 1 4 x f x 值 6 分 12 2 2 3123121226 sin 2 sin 2 sin2 8224422224 f 所 以 1 3 sin2 2 0 分 因为 所以 所以 4 2 2 2 2 2 3 3 所 以 1 cos 2 12 分 17 概率 某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件 其中有 A B C 三 种软件投入使用 经一学年使用后 团队调查了这个专业大一四个班的使用情况 从各班 抽取的样本人数如下表 班级一二三四 人数 3234 8 1 从这 12 人中随机抽取 2 人 求这 2 人恰好来自同一班级的概率 2 从这 12 名学生中 指定甲 乙 丙三人为代表 已知他们下午自习时间每人选择一 款软件 其中选择 A B 两个软件学习的概率每个都是 且他们选择 A B C 任一款软件 1 6 都是相互独立的 设这三名学生中下午自习时间选软件 C 的人数为 求的分布列和数 学期望 解 1 设 从这 12 人中随机抽取 2 人 这 2 人恰好来自同一班级 的事件为M 则 2222 3234 2 12 13 66 CCCC P M C 3 分 答 从这 12 人中随机抽取 2 人 这 2 人恰好来自同一班级的概率 是 4 分 13 66 2 0 1 2 3 5 分 由题设知 每个人选软件 C 概率均 为 6 分 2 3 3 11 0 327 P 12 3 122 1 339 PC 22 3 124 2 339 PC 3 28 3 327 P 10 分 的分布列如下 0123 P1 27 2 9 4 9 8 27 的期望是 1248 01232 279927 E 12 分 9 M N F E B C AD A E F M N B 18 立几 在边长为的正方形ABCD中 E F分别为BC CD的中点 M N分别为4cm AB CF的中点 现沿AE AF EF折叠 使B C D三点重合 重合后的点记为 构成一B 个三棱锥 1 请判断与平面的位置关系 并给出证明 MNAEF 2 证明平面 AB BEF 3 求二面角的余弦值 MEFB 解 1 平行平MN 面 1 分AEF 证明 由题意可知点在折叠前后都分别是的中点 折叠后MN ABCF 两点重合 BC 所以平MN 行 2 分AF 因为 所以平行平 MNAEF AFAEF MNAF 面 面 平行 MN 面 4 分AEF 2 证明 由题意可知的关系在折叠前后都没有改变ABBE 因为在折叠前 由于折叠后 点 所以ADDF ADAB与重合DF与重合 5 分ABBF 因为 所以平 ABBE ABBF BEBEF BFBEF BEBF B 面 面 AB 面 8 分BEF 3 解 EFGMFBGMG记的中点为连接 BEBF MEMFBGEFMGEF 因为所以且 所以是二面角的平面角 MGB MEFB 10 分 因为 所以 ABBEF面 0 90MGB 10 在中 由于 所以 BEF 2BG 2MB 22 6MGMBBG 于 是 13 分 23 cos 36 MGB 所以 二面角的余弦值MEFB 为 14 分 3 3 19 数列 若正数项数列的前项和为 首项 点在曲线 n an n S 1 1a 1 nn PSS 上 2 1 yx 1 求 23 a a 2 求数列的通项公式 n a n a 3 设 表示数列的前项和 若恒成立 求及实数的取 1 1 n nn b aa n T n b n Ta n Ta 值范围 解 1 因为点在曲线上 所以 1 nn PSS 2 1 yx 2 1 1 nn SS 分别取和 得到 1n 2n 2 121 2 12312 1 1 aaa aaaaa 由解得 1 1a 2 3a 4 分 3 5a 2 由得 2 1 1 nn SS 1 1 nn SS 所以数列是以为首项 1 为公差的等差数列 n S 1 S 所以 1 1 1 n SSn 即 6 分 2 n Sn 11 由公式 得 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 1 1 212 n n a nn 所 以 21 n an 8 分 3 因为 所以 1 11 21 21 n nn b aann 0 n b 111 1 33 5 21 21 n T nn 11111111 233523212121nnnn 1 12 221 n n 1 1 21 2 n n n 10 分 显然是关于的增函数 所以有最小值 n Tn n T 1 11 1 3 2 1 T 12 分 由于恒成立 所以 n Ta 1 3 a 13 分 于是的取值范围为 14 分a 1 3 a a 20 圆锥曲线 已知点的坐标分别是 直线相交于点AB 0 1 0 1 AMBM 且它们的斜率之积为 M 1 2 1 求点轨迹的方程 MC 2 若过点的直线 与 1 中的轨迹交于不同的两点 试求面积的 0 2 DlCEF OEF 取值范围 为坐标原点 O 解 1 设点的坐标为 M x y 1 2 AMBM kk 111 2 yy xx 2 分 12 整理 得 这就是动点的轨迹方1 2 2 2 y x 0 x M 程 4 分 2 由题意知直线 的斜率存在 设 的方程为 ll2ykx 5 分 将 代入得 K s5u1 2 2 2 y x 6 分 22 21 860kxkx 由 解得 7 分0 2 3 2 k 设 则 11 E x y 22 F xy 2 12 2 12 2 8 21 6 21 k xx k x x k 8 分 12121212 1111 2 2222 OEFOEDOFD SSSOD xOD xOD xxxxxx 10 分 2 22 22 121212 222222 3 16 861624 2 4 4 2121 21 21 k kk xxxxxx kkkk 11 分 令 所以 2 3 0 2 kt t 2 3 0 2 ktt 所以 12 222 164112 222 4 24 2 44442 4 OEF ttt Sxx tttt t t 13 分 所 以 2 0 2 OEF S 14 分 y x D o F E 13 21 导数 已知函数 1 ln x f xx ax 1 当时 求在上的最小值 1a f x 1 2 2 2 若函数 f x在上为增函数 求正实数的取值范围 1 2 a 3 若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根 求x12 ln20 xxxmx 1 e e 实数的取值范围 m 解 1 当 1a 1 ln