江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 二次函数与方程、不等式

1 江苏省金湖县实验中学高中数学江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导奥赛辅导 二次函数与方程 不等式二次函数与方程 不等式 基础知识 一 二次函数 1 定义 形如 y ax2 bx c a 0 的函数叫二次函数 2 二次函数的有关性质 a 0 时 开口向上 开口方向 a 0 时 开口向下 对称轴方程 x a2 b 自然定义域 R 定义域 指定定义域 D 3 图象 x a2 b x a2 b 4 二次函数的解析式 一般式 y ax2 bx c 顶点式 y a x m 2 n 其中 m n 是二次函数图象的顶点 交点式 y a x x1 x x2 其中 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 的两实根 二 二次方程 1 当 f x ax2 bx c 中 f x 0 时 即得到二次方程 ax2 bx c 0 其解的几何意义即为二次函数的图象与 x 轴的交点横坐标 2 根的判别式 b2 4ac 0 时 方程有两个不相等的实数根 x0 y a 0 x0 y a 0 2 0 时 方程有两个相等的实数根 0 时 方程无实数根 但有两个共轭的虚数根 3 根与系数的关系 韦达定理 x1 x2 x1x2 a b a c 4 二次方程根的分布 根的位置图象位置等价条件 ax2 bx c 0 a 0 若有二根 x1 1 x2 1 则 f 0 若有二根 x1 x2 2 3 则 f 0 f 0 0 2 3 a2 b 三 一元二次不等式 一元二次不等式 ax2 bx c 0 或 0 的解集 即函数 f x ax2 bx c 的自变量的取 值范围 使其函数值 f x 0 或 0 的自变量的取值范围 0 0 0 x0 y a 0 x0 y x0 y x1 x2x0 3 例题 1 选择填空题 f x x2 bx c 对任意实数 t 都有 f 2 t f 2 t 那么 A f f f B f f f C f f f D f f f 解 由题意 f x 的图象关于直线 x 2 对称 且图象开口向上 画出示意图 由图 象知 f f f 选 A x 2 已知 y log x2 2x 在区间 0 上单调递增 则 a 的取值范围是 2 a A a 1B 1 a 1 C a R 且 a 0D a 1 或 a 1 解 由函数的单调性的定义知 x 在 0 上增大时 函数值 y 随之增大 故有以下过程 x 0 增大 u x2 2x 0 减小 故必有 0 a2 1 1 a 1且 a 0 选 B 已知函数 y log x2 6x 7 则 y 2 1 A 有最大值没有最小值 B 有最小值没有最大值 C 有最大值也有最小值 D 没有最大值也没有最小值 解 u x2 6x 7 2 而定义域要求 u 0 即 u 0 b log0 5u b 选 D x0 y 4 2 填空题 方程 x2 2 x a a R 有且仅有两个不同的实数根 则实数 a 的取值范围是 解 令 y1 x2 2 x y2 a 则 y1 其函数图象如下 0 x x2x 0 x x2x 2 2 思考 a 为何 范围 值时 方程无实数根 有四个实数根 有三个实数根 关于 x 的方程 x2 2ax 9 0 的两个实数根分别为 则 1 2 1 2的 最小值是 解 方程有实数根 故 4a2 4 9 0 a 3 或 a 3 又 2a 9 y 1 2 1 2 2 2 2 2 4a2 4a 16 a 3 或 a 3 y 8 a 3 时取等号 ymin 8 3 已知函数 y x2 4ax 2a 30 的图象与 x 轴无交点 求关于 x 的方程 a 1 1 的根的范围 3a x 分析 由于图象与 x 轴没有交点 所以 0 解得 a 的取值范围 又对于每一个 a 值 原方程都是一元一次方程 但由于 a 是变化的 可知 x 是 a 的二 次函数 又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题 解 y x2 4ax 2a 30 的图象与 x 轴无交点 所以 4a 2 4 2a 30 0 解得 2 5 a 3 当 a 2 5 1 时 方程化为 x a 3 2 a 5 a2 a 6 4 25 4 9 当 a 1 3 时 方程化为 x a 3 a a2 3a 4 18 综上所述 x 18 4 9 4 设 a b 为实常数 k 取任意实数时 函数 y k2 k 1 x2 2 a k 2x k2 3ak b 的图象与 x 轴都交于点 A 1 0 求 a b 的值 若函数与 x 轴的另一个交点为 B 当 k变化时 求 AB 的最大值 分析 由 A 在曲线上 得 k 的多项式对 k 恒成立 即可求的 a b 的值 解 由已知条件 点 A 1 0 在函数图象上 故 k2 k 1 2 a k 2 k2 3ak b 0 整理得 1 a k b 1 2a2 0 对 k R 上式恒成立 1 a 0 且 b 1 2a2 0 从而 a 1 b 1 y k2 k 1 x2 2 k 1 2x k2 3k 1 设 B 0 则 AB 1 k2 k 1 x2 2 k 1 2x k2 3k 1 0 的两个根为 1 由韦达定理 1 1kk 1k3k 2 2 整理得 1 k2 3 k 1 0 1 时 得 2k 0 k 0 1 时 k R 0 即 3 2 4 1 2 0 6 得 1 且 1 3 5 综合得 1 3 5 2 1 3 2 AB 1 0 2 即 AB 的最大值为 2 5 设实数 a b c 满足 a2 bc 8a 7 0 b2 c2 bc 6a 6 0 求 a 的取值范围 分析 如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题 转化为只含有 a 的不等式 是解 决本题的关键 仔细分析观察方程组的特点 发现可以利用 a 来表示 bc 及 b c 从而用韦 达定理构造出 a 为变量的一元二次方程 由 0 建立 a 的不等式 解 由 得 bc a2 8a 7 由 得 b c 2 a2 2a 1 即 b c a 1 由 得 b c 为方程 x2 a 1 x a2 8a 7 0 的两个实数根 由于 b c R 所以 0 即 a 1 2 4 a2 8a 7 0 即 a2 10a 9 0 得 1 a 9 7 6 设二次函数 f x ax 2 bx c a 0 方程 f x x 0 的两个根 x 1 x2满足 0 x1 x2 a 1 当 x 0 x1 时 证明 x f x x1 设函数 f x 的图象关于直线 x x0对称 证明 x0 2 x1 分析 由于涉及方程根的问题 故需用韦达定理来分析和解决 证明 令 F x f x x 因为 x1 x2是方程 f x x 0 的根 得 F x a x x1 x x2 当 x 0 x1 时 由于 x1 x2 x x1 0 x x2 0 得 x x1 x x2 0 又 a 0 得 F x a x x1 x x2 0 即 x f x 而x1 f x x1 x F x x1 x a x x1 x x2 x1 x 1 a x x2 因为 0 x x1 x2 a 1 所以 x1 x 0 1 a x x2 1 a 0 a 1 得 x1 f x 0 即 f x x1 依题意知 x0 2a b 因为 x1 x2是方程 f x x 0 的根 即 x1 x2是方程 ax 2 b 1 x c 0 的根 8 所以 x1 x2 a 1b x0 2a 1axax 2a 1 xa x 2a b 2121 因为 ax2 1 所以