2012-2013高中数学 1-5-3 定积分的概念同步检测 新人教B版选修2-2

1 选修选修 2 22 2 1 5 31 5 3 定积分的概念定积分的概念 一 选择题 1 定积分 3 dx等于 3 1 A 6 B 6 C 3 D 3 答案 A 解析 由积分的几何意义可知 3 dx表示由x 1 x 3 y 0 及y 3 所围成的 3 1 矩形面积的相反数 故 3 dx 6 3 1 2 定积分f x dx的大小 b a A 与f x 和积分区间 a b 有关 与 i的取法无关 B 与f x 有关 与区间 a b 以及 i的取法无关 C 与f x 以及 i的取法有关 与区间 a b 无关 D 与f x 区间 a b 和 i的取法都有关 答案 A 解析 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知 A 正确 3 下列说法成立的个数是 f x dx i b a n i 1 f b a n f x dx等于当n趋近于 时 f i 无限趋近的值 b a b a n f x dx等于当n无限趋近于 时 i 无限趋近的常数 b a n i 1 f b a n f x dx可以是一个函数式子 b a A 1 B 2 C 3 D 4 2 答案 A 解析 由f x dx的定义及求法知仅 正确 其余不正确 故应选 A b a 4 已知f x dx 56 则 3 1 A f x dx 28 B f x dx 28 2 1 3 2 C 2f x dx 56 D f x dx f x dx 56 2 1 2 1 3 2 答案 D 解析 由y f x x 1 x 3 及y 0 围成的曲边梯形可分拆成两个 由y f x x 1 x 2 及y 0 围成的曲边梯形知由y f x x 2 x 3 及y 0 围成的曲边梯形 f x dx f x dx f x dx 3 1 2 1 3 2 即f x dx f x dx 56 2 1 3 2 故应选 D 5 已知f x dx 6 则 6f x dx等于 b a b a A 6 B 6 b a C 36 D 不确定 答案 C 解析 f x dx 6 b a 在 6f x dx中曲边梯形上 下底长变为原来的 6 倍 由梯形面积公式 知 6f x b a b a dx 6f x dx 36 故应选 C b a 6 设f x Error 则 1f x dx的值是 1 3 答案 D 解析 由定积分性质 3 求f x 在区间 1 1 上的定积分 可以通过求f x 在区间 1 0 与 0 1 上的定积分来实现 显然 D 正确 故应选 D 7 下列命题不正确的是 A 若f x 是连续的奇函数 则 B 若f x 是连续的偶函数 则 C 若f x 在 a b 上连续且恒正 则f x dx 0 b a D 若f x 在 a b 上连续且f x dx 0 则f x 在 a b 上恒正 b a 答案 D 解析 本题考查定积分的几何意义 对 A 因为f x 是奇函数 所以图象关于原点对 称 所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等 故积分是 0 所以 A 正确 对 B 因为f x 是 偶函数 所以图象关于y轴对称 故图象都在x轴下方或上方且面积相等 故 B 正确 C 显 然正确 D 选项中f x 也可以小于 0 但必须有大于 0 的部分 且f x 0 的曲线围成的面积 比f x 0 的曲线围成的面积大 答案 B 9 利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分 1 tanx 11 cosx 21 dx 1 4 A 2 tanx 11 cosx 21 dx 1 0 B 0 C 2 cosx 21dx 1 0 D 2 答案 C 解析 y tanx为 1 1 上的奇函数 y tanx 11仍为奇函数 而y cosx 21是偶函数 原式 1 cosx 21dx 2 cosx 21dx 故应选 C 1 1 0 10 设f x 是 a b 上的连续函数 则f x dx f t dt的值 b a b a A 小于零 B 等于零 C 大于零 D 不能确定 答案 B 解析 f x dx和f t dt都表示曲线y f x 与x a x b及y 0 围成的曲边梯 b a b a 形面积 不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置 所以其值为 0 二 填空题 11 由y sinx x 0 x y 0 所围成的图形的面积可以写成 2 答案 解析 由定积分的几何意义可得 12 2x 4 dx 6 0 答案 12 解析 如图A 0 4 B 6 8 S AOM 2 4 4 1 2 S MBC 4 8 16 1 2 5 2x 4 dx 16 4 12 6 0 13 2010 新课标全国理 13 设y f x 为区间 0 1 上的连续函数 且恒有 0 f x 1 可以用随机模拟方法近似计算积分f x dx 先产生两组 每组N个 区间 0 1 上的均匀 1 0 随机数x1 x2 xN和y1 y2 yN 由此得到N个点 xi yi i 1 2 N 再数 出其中满足yi f xi i 1 2 N 的点数N1 那么由随机模拟方法可得积分f x dx的 1 0 近似值为 答案 N1 N 分析 本题考查了几何概型 积分的定义等知识 难度不大 但综合性较强 很好的 考查了学生对积分等知识的理解和应用 题目比较新颖 解析 因为 0 f x 1 且由积分的定义知 f x dx是由直线 1 0 x 0 x 1 及曲线y f x 与x轴所围成的面积 又产生的随机数对在 如图所示的正方形内 正方形面积为 1 且满足yi f xi 的有N1个点 即在函数f x 的图象上及图象下方有N1个点 所以用几何概型的概率公式得 f x 在x 0 到x 1 上与x轴围成的面积为 1 即f x dx N1 N N1 N 1 0 N1 N 三 解答题 15 利用定积分的几何意义 说明下列等式 6 解析 1 2xdx表示由直线y 2x 直线x 0 x 1 y 0 所围成的图形的面积 1 0 如图所示 阴影部分为直角三角形 所以S 1 2 1 故 2xdx 1 1 2 1 0 2 1dx表示由曲线y 直线x 1 x 1 y 0 所围成的图形面积 1 1 x21 x2 而y 表示圆x2 y2 1 在x轴上面的半圆 如图所示阴影部分 所以S半圆 1 x2 2 16 利用定积分的性质求dx 2x x4 1 sin3x x2 ex 1 ex 1 解析 y y sin3x均为 1 1 上的奇函数 而对于f x 2x x4 1 ex 1 ex 1 f x f x e x 1 e x 1 1 ex 1 ex 此函数为奇函数 S 2 i 2 n i 1 1 n i n 1 n3 n i 1 n n 1 2n 1 1 n3 1 6 1 6 2 3 n 1 n2 7 S li m n 1 6 2 3 n 1 n2 1 3 即 2x2dx 2 1 0 1 3 2 3 17 已知函数f x 求f x 在区间 2 2 上的积分 解析 由定积分的几何意义知 2 4 18 利用定积分的定义计算xdx b a 解析 1 分割 将区间 a b n等分 则每一个小区间长为 xi i 1 2 n b a n 2 近似代替 在小区间 xi 1 xi 上取点 i a i 1 2 n i b a n Ii f i xi a i b a n b a n 3 求和 In i xi n i 1 f n i 1 a i b a n b a n b a n