2011年高考数学 第二章 第八节指数函数

1 同步检测训练同步检测训练 一 选择题 1 2009 石家庄市质检一 设 f x log2的反函数为 f 1 x 若 f 1 a 3 则 a 1 x 1 A 1 B 1 C 2 D 2 答案 A 解析 由题意 知点 3 a 在函数 f x 的图象上 所以 a log2 1 1 3 1 2 2009 石家庄市质检二 已知 f x a 是定义在 R 上的奇函数 则 f 1 的值 2 2x 1 7 9 是 A 3 B 7 9 C D 1 3 9 7 答案 A 解析 f x 为奇函数 f 0 0 得 a 1 设 f 1 b 则 f b 即 1 7 9 7 9 7 9 解得 b 3 2 2b 1 3 2009 江西协作体联考 函数 f x loga x2 x 1 在区间 1 2 上的最大值比最小值大 2 则 a 的值为 A B 5 55 C 或 D 不能确定 5 55 答案 C 解析 当 0 a1 时 f x 在 1 2 上是增函数 依题意有 f 1 f 2 5 5 2 即 loga1 loga5 2 由此解得 a 综上所述 选 C 5 4 给出下列三个等式 f xy f x f y f x y f x f y f x y 下列函 f x f y 1 f x f y 数中不满足其中任何一个等式的是 A f x 3x B f x sinx C f x log2x D f x tanx 答案 B 解析 对选项 A 满足 f x y f x f y 对选项 C 满足 f xy f x f y 对选项 D 满足 f x y 故选 B f x f y 1 f x f y 5 函数 y log x2 5x 6 的单调增区间为 1 2 A B 3 5 2 2 C D 2 5 2 答案 D 解析 由 x2 5x 6 0 得 x 3 或 x3 时 y x2 5x 6 为增函数 当 x1 则 x0的取值范围是 A 0 2 B 0 2 C 1 3 D 1 3 答案 C 解析 当 x0 2 时 由 f x0 log2 x0 1 1 得 x0 3 当 x0 2 时 由 f x0 x0 1 1 得 x0 1 所以 x0 1 1 2 3 故选 C 8 2009 保定市调研 若函数 f x log2的定义域和值域均为 1 则实 x2 ax 1 x 数 a 的取值集合为 A 0 B a 0 a 1 C a a 0 D a a 2 答案 A 解析 由题意得 log2 1 在 x 1 时恒成立 即 2 在 x 1 时恒成 x2 ax 1 x x2 ax 1 x 立 而 2 即 x a 2 函数 g x x a 在 1 上为增函数 x2 ax 1 x 1 x 1 x g x g 1 1 1 a 2 恒成立 a 0 由 g x 在 1 上为增函数 可知 f x 在 1 也为增函数 f 1 1 a 0 选 A 二 填空题 9 2009 成都市一诊测 设函数 f x e2 x 1 y f 1 x 为 y f x 的反函数 若函数 g x Error Error 则 g g 1 答案 1 解析 依题意得 g 1 1 2 1 g g 1 g 1 f 1 1 设 f 1 1 t 则有 f t 3 1 即 e2 t 1 1 t 1 所以 g g 1 1 10 2009 成都市外国语学校 已知函数 f x 2x 1 的反函数为 f 1 x g x log4 3x 1 若 f 1 x g x 则 x 的取值范围是 答案 0 1 解析 由 y 2x 1 得 y 1 y 1 2x x log2 y 1 f 1 x log2 x 1 x 1 f 1 x g x log2 x 1 log2 00 a 1 的图象恒过定点 A 若点 A 在直线 mx ny 1 0 上 其中 mn 0 则 的最小值为 1 m 2 n 答案 8 解析 y loga x 3 1 恒过点 2 1 A 2 1 又 A 在直线上 2m n 1 0 即 2m n 1 又 mn 0 m 0 n 0 而 1 m 2 n 2m n m 4m 2n n 2 2 4 2 8 n m 4m n4 当 n m 取 1 2 1 4 的最小值为 8 故填 8 1 m 2 n 三 解答题 12 定义在 R 上的奇函数 f x 有最小正周期为 2 且 x 0 1 时 f x 2x 4x 1 1 求 f x 在 1 1 上的解析式 2 判断 f x 在 0 1 上的单调性 3 当 为何值时 方程 f x 在 x 1 1 上有实数解 解 1 f x 是 x R 上的奇函数 f 0 0 又 2 为最小正周期 f 1 f 1 2 f 1 f 1 0 设 x 1 0 则 x 0 1 f x f x 2 x 4 x 1 2x 4x 1 f x 2x 4x 1 f x Error Error 2 设 0 x1 x20 2x1 2x2 1 2x1 x2 4x1 1 4x2 1 f x 在 0 1 上为减函数 3 f x 在 0 1 上为减函数 4 f x 21 41 1 20 40 1 即 f x 2 5 1 2 同理 x 在 1 0 上时 f x 1 2 2 5 又 f 1 f 0 f 1 0 当 或 0 时 f x 在 1 1 内有实数解 1 2 2 5 2 5 1 2 13 2009 安徽安庆质检 函数 f x log2的定义域为集合 A 关于 x 的不等式 22ax0 A x 1 x 2 2 x x 1 由 22ax a 2x 2ax a 2x 即 2 a 1 x a 1 2 若 a 1 0 即 a A B a 2 a 1 1 a a0 即 a 1 则 x a 2 a 1 A B 2 a 10 kx 1 x 1 1 求函数 f x 的定义域 2 若函数 f x 在 10 上单调递增 求 k 的取值范围 解 1 由 0 及 k 0 得 0 kx 1 x 1 x 1 k x 1 当 0 k 1 时 得 x 1 k 当 k 1 时 得 0 x R 且 x 1 x 1 x 1 当 k 1 时 得 x1 即 x 1 1 k 1 k 5 综上 所求函数的定义域 当 0 k1 时为 1 k 1 当 k 1 时为 x x R 且 x 1 1 k 2 由 f x 在 10 上是增函数 0 得 k 10k 1 10 1 1 10 又 f x lg lg 对任意的 x1 x2 当 10 x1 x2时 有 f x1 f x2 即 lg kx 1 x 1 k k 1 x 1 lg k k 1 x1 1 k k 1 x2 1 得 k 1 1 x1 1 1 x2 1 k 1 0 k 1 综上可知 k 的取值范围是 1 10 1 15 2008 江苏 已知函数 f1 x 3 x p1 f2 x 2 3 x p2 x R p1 p2为常数 函数 f x 定义为 对每个给定的实数 x f x Error Error 1 求 f x f1 x 对所有实数 x 成立的充分必要条件 用 p1 p2表示 2 设 a b 是两个实数 满足 a b 且 p1 p2 a b 若 f a f b 求证 函数 f x 在 区间 a b 上的单调增区间的长度之和为 闭区间 m n 的长度定义为 n m b a 2 解 1 由 f x 的定义可知 f x f1 x 对所有实数 x 等价于 f1 x f2 x 对所有实数 x 这又等价于 3 x p1 2 3 x p2 即 3 x p1 x p2 2 对所有实数 x 均成立 易知函数 x p1 x p2 x R 的最大值为 p2 p1 故 等价于 3 p2 p1 2 即 p2 p1 log32 这就是所求的充分必要条件 2 分两种情形讨论 当 p1 p2 log32 时 由 1 知 f x f1 x 对所有实数 x a b 则由 f a f b 及 a p1log32 时 不妨设 p1log32 于是 当 x p1时 有 f1 x 3p1 x 3p2 x3log32 3x p2 f2 x 从而 f x f2 x 6 当 p1 x p2时