2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 球

用心 爱心 专心 1 AB O O B B A AC C D D 9 119 11 球球 知识点精讲知识点精讲 1 1 球的概念 球的概念 半圆以它的直径为旋转轴 旋转所成的曲面叫做球面 球面 球面所围成的几何体 叫做球 球 半圆的圆心叫做球心 球心 连接球心与球上任意一点的线段叫做球半径 球半径 连接球面上两 点并且经过球心的线段叫做球的直径 球的直径 球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆 大圆 被不经 过球心的截面截得的圆叫做小圆 小圆 2 2 球的截面圆的性质 球的截面圆的性质 球心到截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系 r2 R2 d2 3 3 两点的球面距离的定义 两点的球面距离的定义 在球面大圆上两点间的劣弧的长度 求两点的球面距离的方法 将 A B 两点与球心 O 连线 先求出弦长 AB 在三角形 ABO 中 求出 AOB 的弧度数 由公式弧长 l R 得到 4 4 球的表面积与体积 球的表面积与体积 S S球面 4 R 4 R2 2 V 4 3 RV 4 3 R3 3 5 5 地球上的经度与纬度各指什么 地球上的经度与纬度各指什么 6 6 与球有关的结合体问题 内切内切 外接外接 的解法 先明确切点和接点的位置 确定有关元 素间的数量关系并作出合适的截面图 重点难点重点难点 球面与球体的有关概念 性质与计算公式是重点 球面上两点间的距离是本小节 的难点 例题选讲 例例 1 1 如图 在北纬 如图 在北纬 45450 0的纬度圈上有的纬度圈上有 A A B B 两点 它们分别在东经两点 它们分别在东经 70700 0与东与东 经经 1601600 0的经度圈上 设地球的半径为的经度圈上 设地球的半径为 R R 求 求 A A B B 两点的球面距离 两点的球面距离 解 解 如图设北纬 450圈的圆心为 O1 地球球心为 O 则 AO1B 1600 700 900 OBO1 450 OB R O1B O1A 2 2 R AB R 连接 AO AB 则 AO BO AB R AOB 600 RR 3 1 2 6 1 思维点拨 思维点拨 为求 A B 两点间的球面距离 要把它组织到 AOB 中去分析 只要求得 AOB 的度数便可求得球面距离 变式 变式 地球上地球上 A A B B 两点分别在北纬两点分别在北纬 60600 0与与 30300 0圈上 且经度差为圈上 且经度差为 1201200 0 设地球的半径为 设地球的半径为 R R 求求 A A B B 两点的球面距离 两点的球面距离 解 解 如图 连接 AO BO A B 分别在北纬 600与 300圈上 AC Rcos600 R 2 OC Rsin600 2 3 R BD Rcos300 2 3 R OD Rsin300 R 2 CD OC OD 2 13 R 又 A B 两点的经度 差为 1200 即平面 AOC 与平面 BOD 所成的二面角为 1200 AB2 AC2 BD2 CD2 2 AC O A B O1 如图 9 11 1 O 用心 爱心 专心 2 O O1 O2 A1 A C C1 O A B C D P O Q A O D Q P A O D Q P 甲 甲 乙 乙 BDcos1200 222 2 13 4 3 4 1 RRR 2 4 3 R2 cos AOB BOAO ABBOAO 2 222 2 222 2 432 R RRR 8 3 所球距离为 Rarccos 8 3 例例 2 2 在球内有相距 在球内有相距 9cm9cm 的两个平行截面 面积分别为的两个平行截面 面积分别为 49 cm49 cm2 2 400 cm400 cm2 2 则求的表面积为 则求的表面积为 解 作球的一个大圆 O 当两个截面在球心 O 的同侧时940049 22 RR 解得 R 25 当两个截面在球心 O 的两侧时940049 22 RR无解 S表 2500 cm2 思维点拨 思维点拨 立体几何中的相互位置关系 也应注意分类讨论 例例 3 3 求半径为 求半径为 R R 的球内接长方体体积的最大值 的球内接长方体体积的最大值 解 解 作截面 ACC1A1 设 CAC1 则 C1C 2Rsin AC 2Rcos 所以 AB 2Rcos 故 V AB2 CC1 2R2cos2 2Rsin 4R3 cos2 sin 222 3 sin2coscos 2 4 R 3 9 38 R 当且仅当 2sin2 cos2 即 tan 2 2时取 思维点拨思维点拨 立体几何中的最值问题 首先确定目标函数再求其最值 例例 4 4 已知球的半径为 已知球的半径为 R R 在球内作一内接圆柱 这个圆柱的底半径与高为何值时 它的侧 在球内作一内接圆柱 这个圆柱的底半径与高为何值时 它的侧 面积最大 侧面积的最大值为多少 面积最大 侧面积的最大值为多少 解 作轴截面图 令圆柱的高为 h 底面半径为 r 侧面积为 S 则 222 2 Rr h 即 h 22 2rR S 2 rh 4 r 22 rR 4 222 rRr 2 222 2 4 rRr 2 R2 取等号时 内接圆柱底面半径 为 2 2 R 高为2R 选讲题 选讲题 一个球内切于正三棱锥一个球内切于正三棱锥 P P ABCABC 1 1 若棱锥的侧面与底面所成的角为 若棱锥的侧面与底面所成的角为 60600 0 求棱锥的体积与球的体积之比 求棱锥的体积与球的体积之比 2 2 若棱锥的体积与球的体积之比等于 若棱锥的体积与球的体积之比等于 1 1 所求出的值 则棱锥的侧面与底面所成的角 所求出的值 则棱锥的侧面与底面所成的角 是否一定为是否一定为 60600 0 说明理由 说明理由 解 解 1 如图甲 由对称性可知 球心 Q 在棱锥的高 PO 上 取 BC 的中点 D 则 PD BC AD BC 故 PDA 是侧面与底面 所成二面角的平面角 即有 PDA 600 P ABC 是正三棱锥 O O CA 用心 爱心 专心 3 在 AD 上 故球心 Q 在平面 PAD 内 故过 P A D 三点的截面如图乙 其中圆 Q 是球的一个 大圆 设底面 ABC 的边长为 a 由 DQ 平分 PDA 得 R OQ OD tan300 2 3 3 1 a tan300 6 a 又 PO OD tan600 2 a 4 327 6 3 4 22 3 2 1 3 1 3 a a aa V V 球 锥 2 设正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为 2 仿 1 得 3 3 tan4 2tan33 tan 6 3 3 4 2tan 6 3 2 3 2 1 3 1 a aaa V V 球 锥 由题设得 3 tan4 2tan33 4 327 即 tan2 9tan3 化简并整理可得 tan2 1 3 或 tan2 2 3 又 为锐角 tan 3 3或 tan 3 6 即 2 3 或 2arctan 3 6 故棱锥侧面与底面所成的二面角未必为 3 思维点拨 思维点拨 1 组合体问题常涉及球与多面体的切 割 接等关系 解题的关键是作一个恰 当地过球心的截面 使有关元素集中在包括一个大圆在内的截面图形内 从而将空间元素的 关系化为平面内元素的关系 2 本例第 2 小题是一探索性问题 需给出正确结论并说明理由 解这类问题切忌盲目猜 测 要严密论证或举反例说明 课堂小结课堂小结 1 1 球的面积 体积及基本性质是解决有关问题的重要依据 它的轴截面图形 球半径 截 球的面积 体积及基本性质是解决有关问题的重要依据 它的轴截面图形 球半径 截 面圆半径 圆心距所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法 面圆半径 圆心距所构成的直角三角形