缩放圆法巧解磁场中粒子运动的临界问题VIP

第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 高中物理缩放圆法巧解磁场中粒子运动的临界问题 编稿老师刘汝发一校杨雪二校黄楠审核王红仙 一 考点突破 一 考点突破 知识点知识点考纲要求考纲要求题型题型说明说明 缩放圆法巧 解磁场中粒 子运动的临 界问题 1 进一步熟悉粒子在磁 场中做圆周运动的圆心 半径 及轨迹的确定方 法 2 理解缩放圆法确定临 界的技巧 3 理解移动圆法确定临 界的技巧 选择题 计算题 本知识点属于高考重点难点 缩 放圆和旋转圆是确定临界非常有 效的方法 在考查同学们想象能 力的同时 也考查了数学运算能 力 因此高考命题者对这种方法 情有独钟 二 重难点提示 二 重难点提示 重点 重点 1 粒子在磁场中做圆周运动的圆心 半径及轨迹的确定方法 2 缩放圆法和移动圆法确定临界的技巧 难点 难点 缩放圆法和移动圆法确定临界的技巧 一 带电粒子在有界磁场中的运动一 带电粒子在有界磁场中的运动 这类问题综合性较强 解答时既要用到物理中的洛伦兹力 圆周运动的知识 又要用 到数学中的平面几何中圆及解析几何知识 1 一个基本思路 一个基本思路 定定圆心 圆心 找找半径 半径 画画轨迹 轨迹 求求时间时间 1 圆心的确定 因为洛伦兹力 F 指向圆心 根据 Fv 画出粒子运动轨迹中任意两 点 一般是射入和射出磁场两点 的 F 的方向 沿两个洛伦兹力 F 画其延长线 两延长线 的交点即为圆心 或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上 作出圆心位置 2 半径的确定和计算 qvB m R R v2 Bq mv 或是利用平面几何关系 求出该圆的可能半径 或圆心角 或是利用平面几何关系 求出该圆的可能半径 或圆心角 3 粒子在磁场中运动时间的确定 粒子在磁场中运动时间的确定 由公式 或 可求出粒子在磁场中的运动时间 qB m T 2 Tt 2 v R t 2 两个重要结论两个重要结论 1 如下图 带电粒子以速度 v 指向圆形磁场的圆心入射 出磁场时速度方向的反向 延长线肯定经过圆形磁场的圆心 第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 2 粒子从圆形磁场边界上某一点射入磁场区域 若粒子轨道半径和磁场半径相同 则粒子飞出磁场时速度方向相同 反之若从圆形磁场边界平行射出 则粒子的轨道半径和 圆形磁场半径相同 二 解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法二 解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法 1 轨迹圆的缩放 当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时 粒子做圆周运动的圆心一定在入射点 所受洛伦兹力所表示的射线上 但位置 半径 R 不确定 用圆规作出一系列大小不同的 轨迹图 从圆的动态变化中即可发现 临界点 如下图 2 轨迹圆的旋转 当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时 所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一 样大的 只是位置绕入射点发生了旋转 从定圆的动态旋转中 也容易发现 临界点 如下图 第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 例题例题 1 如图所示 正方形 abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场 O 点是 cd 边的 中点 一个带正电的粒子 重力忽略不计 若从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正 方形内 经过时间 t0刚好从 c 点射出磁场 现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30 角的方向 如图中虚线所示 以各种不同的速率射入正方形内 那么下列说法中正确 的是 A 该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B 若该带电粒子从 ab 边射出磁场 它在磁场中经历的时间可能是 t0 C 若该带电粒子从 bc 边射出磁场 它在磁场中经历的时间可能是 2 3 0 t D 若该带电粒子从 cd 边射出磁场 它在磁场中经历的时间一定是 3 5 0 t 思路分析 思路分析 随粒子速度逐渐增大 轨迹由 依次渐变 由图可知粒子从 四个边射出时 射出范围分别为 OG FE DC BA 之间 不可能从四个顶点射出 故 A 正确 当粒子从 O 点沿纸面垂直于 cd 边射入正方形内 轨迹恰好为半个圆周 即时间 t0 刚好为半周期 从 ab 边射出的粒子所用时间小于半周期 t0 从 bc 边射出的粒子所用时 间小于周期 t0 所有从 cd 边射出的粒子圆心角都是 所用时间为 即 3 2 3 4 300 6 5T t0 故 B C 错误 D 正确 3 5 第 4 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 答案 答案 AD 例题例题2 电子质量为 m 电荷量为 e 从坐标原点 O 处沿 xOy 平面射入第一象限 射入 时速度方向不同 速度大小均为 v0 如图所示 现在某一区域加一方向向外且垂直于 xOy 平面的匀强磁场 磁感应强度为 B 若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏 MN 上 荧光屏与 y 轴平行 求 1 荧光屏上光斑的长度 2 所加磁场范围的最小面积 思路分析 思路分析 本题可先作出这些射入第一象限的电子做圆周运动的轨道圆心的集合 必 在弧 O1O2上 如下图所示 然后设想以该弧上的各点 如图中的 O2等四点 为圆心作出粒子运动的轨迹 最终垂 直射到 MN 上的 PQ 间 所以荧光屏上光斑的长度即为 PQ R mv0 eB 所加磁场范围即 为图中由弧 OO4O3O 所围的区域 其中弧 O3O4可看成是由弧 O1O2向上平移 R 得到的 1 如图所示 求光斑长度 关键是找到两个边界点 初速度方向沿 x 轴正方向的电 子 沿弧 OB 运动到 P 初速度方向沿 y 轴正方向的电子 沿弧 OC 运动到 Q 电子在磁场中的半径 第 5 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 由图可知 2 沿任一方向射入第一象限的电子经电场偏转后都能垂直打到荧光屏 MN 上 所 加最小面积的磁场的边界是以 O 0 R 为圆心 R 为半径的圆的一部分 如图中实线所 示 所以磁场范围的最小面积为 20222 Be mv 1 2 R 4 1 R R 4 3 S 答案 答案 1 2 Be mv0 20 1 2 Be mv 易错警示易错警示 静摩擦力和洛伦兹力参与情况下的临界问题要点 1 能否相对滑动的依据是两物体间摩擦力是否达到最大值 2 洛伦兹力通常会影响最大静摩擦力 但不一定影响静摩擦力 3 常见的几种临界 1 恰好滑动 2 恰好匀速 3 恰好无摩擦力 满分训练 满分训练 如图所示 一根不光滑的长竖直绝缘杆 套有一个质量为 m 带正电 q 的 小球 匀强电场 E 与匀强磁场 B 互相垂直 E 和 B 都与杆垂直 当小球由静止开始下落后 A 小球加速度不断减小 最后为零 B 小球加速度先增加后减小 最后为零 C 小球速度先增加后减小 最后为零 D 小球动能不断增大 直到达到某一最大值 思路分析 思路分析 小球下滑过程中 受到重力 摩擦力 可能有 弹力 可能有 向右 的洛伦兹力 向右的电场力 开始阶段 摩擦力小于重力时 小球向下做加速运动时 速 度增大 洛伦兹力增大 小球所受的杆的弹力向左 大小为 N qE qvB N 随着 v 的增大 而增大 滑动摩擦力 f N 也增大 小球所受的合力 F合 mg f f 增大 F合减小 加速度 a 减小 当合力等于重力时 加速度最小为零 此时小球速度达到最大 以后小球将做匀 速运动 故选项 AD 正确 BC 错误 答案 答案 AD 第 6 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 答题时间 答题时间 30 分钟 分钟 1 如图所示 O 点处有一粒子源 在某时刻发射大量质量为 m 电荷量为 q 的带正电的 粒子 它们的速度大小相等 速度方向均在 xOy 平面内 在直线 x a 与 x 2a 之间存在 垂直于 xOy 平面向外的磁感应强度为 B 的匀强磁场 与 y 轴正方向成 60 角发射的粒子恰 好垂直于磁场右边界射出 不计粒子的重力和粒子间的相互作用力 关于这些粒子的运动 下列说法正确的是 A 粒子的速度大小为 2aBq m B 粒子的速度大小为 aBq m C 与 y 轴正方向成 120 角射出的粒子在磁场中运动的时间最长 D 与 y 轴正方向成 90 角射出的粒子在磁场中运动的时间最长 2 如图所示 圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场 磁感应强度的大小为 B1 P 为磁 场边界上的一点 相同的带正电荷粒子 以相同的速率从 P 点射入磁场区域 速度方向沿 位于纸面内的各个方向 这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上 这段圆弧的 弧长是圆周长的 若将磁感应强度的大小变为 B2 结果相应的弧长变为圆周长的 不 1 3 1 4 计粒子的重力和粒子间的相互影响 则等于 2 1 B B A B C D 3 4 3 2 6 2 2 3 3 如图所示 在一个边长为 l 的菱形区域内 有垂直于纸面的匀强磁场 磁感应强度大 小为 B 菱形的一个锐角为 60 在菱形中心有一粒子源 S 向纸面内各个方向发射速度大 小相同的同种带电粒子 这些粒子电量为 q 质量为 m 如果要求菱形内的所有区域都能 够有粒子到达 则下列粒子速度能够满足要求的有 第 7 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 A B C D 3 ql 2m B3 ql 6m Bql 2m Bql m B 4 如图所示 以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域 磁感应强度为 B A 60 AO L 在 O 点放置一个粒子源 可以向各个方向发射某种带负电粒子 已知粒子的比荷 为 发射速度大小都为 设粒子发射方向与 OC 边的夹角为 不计粒子间 m q 0 qBL v m 相互作用及重力 对于粒子进入磁场后的运动 下列说法正确的是 A 当 45 时 粒子将从 AC 边射出 B 所有从 OA 边射出的粒子在磁场中运动时间相等 C 随着角的增大 粒子在磁场中运动的时间先变大后变小 D 在 AC 边界上只有一半区域有粒子射出 5 如图所示 在 x 0 y 0 的空间中有恒定的匀强磁场 磁感应强度的方向垂直于 xOy 平面向里 大小为 B 现有一质量为 m 电量为 q 的带正电粒子 从在 x 轴上的某点 P 沿 着与 x 轴成 30 角的方向射入磁场 不计重力影响 则下列说法中正确的是 A 粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 Bq m 3 5 B 粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 2Bq m C 粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 Bq m D 粒子一定不能通过坐标原点 6 如图所示 在竖直放置的金属板 M 上放一个放射源 C 可向纸面内各个方向射出速率 均为 v 的粒子 P 是与金属板 M 平行的足够大的荧光屏 到 M 的距离为 d 现在 P 与 第 8 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 金属板 M 间加上垂直纸面的匀强磁场 调整磁感应强度的大小 恰使沿 M 板向上射出的 粒子刚好垂直打在荧光屏上 若粒子的质量为 m 电荷量为 2e 则 A 磁场方向垂直纸面向里 磁感应强度 B 的大小为 ed mv2 B 磁场方向垂直纸面向外 磁感应强度 B 的大小为 ed mv 2 C 在荧光屏上能观察到的亮斑区的长度为 2d D 在荧光屏上能观察到的亮斑区的长度为 3d 7 如图所示 圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场 三个质量和电荷量都相同的带电 粒子 a b c 以不同的速率对准圆心 O 沿着 AO 方向射入磁场 其运动轨迹如图 若带 电粒子只受磁场力的作用 则下列说法错误的是 A 三个粒子都带正电荷 B c 粒子速率最小 C c 粒子在磁场中运动时间最短 D 它们做圆周运动的周期 Ta Tb Tc 8 如图所示 半径为的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场 磁感应强度大小为r B 磁场边界上 A 点有一粒子源 源源不断地向磁场发射各种方向 均平行于纸面 且速 度大小相等的带正电的粒子 重力不计 已知粒子的比荷为 速度大小为 则粒k2kBr 子在磁场中运动的最长时间为 A B C D kB 2kB 3kB 4kB 9 如图甲 真空中竖直放置两块相距为 d 的平行金属板 P Q 两板间加上如图乙所示 最大值为 U0的周期性变化的电压 在 Q 板右侧某个区域内存在磁感应强度大小为 B 方 向垂直于纸面向里的有界匀强磁场 在紧靠 P 板处有一粒子源 A 自 t 0 开始连续释放初 速不计的粒子 经一段时间从 Q 板小孔 O 射入磁场 然后射出磁场 射出时所有粒子的速 度方向均竖直向上 已知电场变化周期 T 粒子质量为 m 电荷量为 q 不计 0 2 2 qU m d 第 9 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 粒子重力及相互间的作用力 求 1 t 0 时刻释放的粒子在 P Q 间运动的时间 2 粒子射入磁场时的最大速率和最小速率 3 有界磁场区域的最小面积 第 10 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 1 AC 解析 粒子在磁场中受洛伦兹力作用 做匀速圆周运动 由题意 2 mv qvB R 与 y 轴正方向成 60 角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出 说明该方向上的粒子匀速 圆周运动的圆心正好在 2a 点处 由几何关系可得 Rcos60 a 所以匀速圆周运动的半径 R 2a 所以粒子的速度 故 A 正确 B 错误 而粒子在磁场中运动的时间由圆心角决定 根据 2 v qBRaqB mm 圆的对称性可知 粒子与 y 轴正方向成 120 角射出时在磁场中运动对应的圆心角最大 故 运动时间越长 故 C 正确 D 错误 故选 AC 2 C 解析 设磁场所在圆的半径为 r 则磁感应强度为 B1时 从 P 点射入的粒子与磁 场边界的最远交点为 M 最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点 即打到圆弧上的粒 子在 PM 之间 则 POM 120 如图所示 所以粒子做圆周运动的半径 R 为 3 sin60 2 RrR o 同理 磁感应强度为 B2时 从 P 点射入的粒子与磁场边界的最远交点为 N 最远的点 是轨迹上直径与磁场边界圆的交点 PON 90 如图所示 所以粒子做圆周运动的半径 R 为 由带电粒子做圆周运动满足 则得 故 2 2 Rr 2 v Bqvm R 2 1 6 2 BR BR 选 C 3 AD 解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有 2 mv qvB r 解得 则速度越大 轨道半径越大 临界轨迹是轨迹经过菱形的上顶点 或下顶 mv r qB 点 且与边相切 如图所示 第 11 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 临界轨迹对应的圆心角为 60 故轨道半径为 要想菱形内的所有区域都 3 2 Rl 能够有粒子到达 则 r R 联立解得 故 AD 正确 BC 错误 故选 AD m Bql v 2 3 4 AD 解析 粒子在磁场中运动的半径为 当 45 时 由几何关系可知 0 mv RL qB 粒子将从 AC 边射出 选项 A 正确 所有从 OA 边射出的粒子在磁场中运动时所对应的弧 长不相等 故时间不相等 选项 B 错误 当 0 飞入的粒子在磁场中 粒子恰好从 AC 中 点飞出 在磁场中运动时间也恰好是 当 60 飞入的粒子在磁场中运动时间恰好也是 6 T 是在磁场中运动时间最长 故 从 0 到 60 粒子在磁场中运动时间先减小后增大 6 T 当 从 60 增大到 90 过程中 粒子从 OA 边射出 此时在磁场中运动的时间逐渐减小 故 C 错误 当 0 飞入的粒子在磁场中 粒子恰好从 AC 中点飞出 因此在 AC 边界上只有 一半区域有粒子射出 故 D 正确 故选 AD 5 ACD 解析 粒子在磁场中运动的周期为 由于 P 点的位置不定 所以粒 2 m T qB 子在磁场中的运动圆弧对应的圆心角也不同 当粒子从 P 点射入 并能从 x 轴上射出时 轨迹对应的圆心角最大 此时的圆心角为 300 则运动的时间为 而最小 55 63 Tm t qB 的圆心角为 P 点从坐标原点出发 圆心角为 120 所以运动时间 故粒子在 2 33 Tm t qB 磁场中运动所经历的时间为 选项 AC 正确 B 错误 粒子由 P 点成 30 25 33 mm t qBqB 角入射 则圆心在过 P 点与速度方向垂直的方向上 粒子在磁场中要想到达 O 点 转过的 圆心角肯定大于 180 而因磁场为有界 故粒子不可能通过坐标原点 故 D 正确 6 BC 解析 因为沿 M 板向上射出的粒子刚好垂直打在荧光屏上 由左手定则可判 断磁场方向垂直纸面向外 粒子的运动半径为 R d 根据 解得 2 2 v Be vm R 第 12 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 选项 A 错误 B 正确 沿 M 板向上射出的粒子 打到屏上时最远距离为 2 mv B ed d 同样沿 M 板向下射出的粒子 打到屏上时最远距离也为 d 所以在荧光屏上能观察 到的亮斑区的长度为 2d 选项 C 正确 D 错误 故选 BC 7 B 解析 从图中可得三个粒子都向上偏转 受到向上的洛伦兹力 所以根据左手定 则可得三个粒子都带正电 A 正确 因为三个粒子的电荷量 质量都相同 又是在同一个 匀强磁场中运动 所以根据公式可得半径越大 速度越大 故 c 粒子的速度最大 mv R Bq B 错误 根据公式可得三个粒子在磁场中的周期相同 故所对圆心角越大 运动 2 m T Bq 时间越长 所以 a 粒子运动