2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义课时规范训练 新人教A版选修1-1VIP

1 3 1 33 1 3 导数的几何意义导数的几何意义 基础练习 1 已知曲线y 2x2上一点a 2 8 则在点a处的切线斜率为 a 4 b 16 c 8 d 2 答案 c 2 设函数f x 在x x0处的导数不存在 则曲线y f x a 在点 x0 f x0 处的切线不存在 b 在点 x0 f x0 处的切线可能存在 c 在点x0处不连续 d 在x x0处极限不存在 答案 b 3 设f x 存在导函数且满足 1 则曲线y f x 在 lim x 0 f 1 f 1 2 x 2 x 点 1 f 1 处的切线的斜率为 a 1 b 2 c 1 d 2 答案 a 4 曲线y x3 3x2 1 在点p 1 1 处的切线方程为 a y 3x 4 b y 3x 2 c y 4x 1 d y 4x 7 答案 b 5 如图 函数f x 的图象是折线段abc 其中点a b c的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 则 lim x 0 f 1 x f 1 x 答案 2 解析 f 1 kab 2 lim x 0 f 1 x f 1 x 0 4 2 0 6 已知函数f x 的图象在点m 1 f 1 处的切线方程是y x 3 则f 1 f 1 1 2 2 答案 4 解析 点m 1 f 1 在切线y x 3 上 则f 1 1 3 根据导数的几何意 1 2 1 2 7 2 义可知f 1 所以f 1 f 1 4 1 2 7 2 1 2 7 求曲线f x x3 2x 1 在点p 1 2 处的切线方程 解 由y x3 2x 1 得 y x x 3 2 x x 1 x3 2x 1 3x2 2 x 3x x 2 x 3 3x2 2 3x x x 2 y x 当 x 0 时 3x2 2 3x x x 2 3x2 2 即f x 3x2 2 所以f 1 5 故点p处的切线斜率为k 5 所以点p处的切线方程为y 2 5 x 1 即 5x y 3 0 8 已知函数f x x3 3x 过点a 0 16 作曲线y f x 的切线 求此切线的方程 解 因为f x x3 3x 设切点为m x0 y0 y 3x2 3 lim x 0 x x 3 3 x x x3 3x x 所以k y x x0 3x 3 2 0 所以切线方程为y y0 3 x 1 x x0 2 0 因为点m在曲线上 所以y0 x 3x0 又点a 0 16 在切线上 有 16 x 3x0 3 03 0 3 x 1 0 x0 化简得x 8 解得x0 2 2 03 0 所以切点为m 2 2 切线方程为y 2 9 x 2 即 9x y 16 0 能力提升 9 曲线y x3 x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 1 3 1 4 3 a b 1 9 2 9 c d 1 3 2 3 答案 a 解析 由导数的定义知y lim x 0 y x lim x 0 2 即切线斜率为 2 所以切线方程为y 2 x 1 当 1 3 1 x 3 1 x 4 3 x 4 3 3 x 0 时 y 当y 0 时 x 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 9 故选 a 10 已知函数f x 的图象如图 则f xa 与f xb 的大小关系是 a f xa f xb b f xa f xb c f xa f xb d 不能确定 答案 b 解析 由导数的几何意义知f xa 与f xb 分别表示的是曲线在xa xb处的切线的 斜率 由图可得ka kb 所以f xa f xb 故选 b 11 已知函数f x ax3 x 1 的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则实数 a 答案 1 解析 f 1 a x 2 3a x 3a 1 lim x 0 f 1 x f 1 x lim x 0 3a 1 即切线斜率k 3a 1 f 1 a 2 切点为 1 a 2 又切线过点 2 7 3a 1 解得a 1 a 2 7 1 2 12 若存在过点 1 0 的直线与曲线y x3和y ax2 x 9 都相切 求a的值 15 4 解 设该切线在曲线y x3上的切点为 x1 x 在y ax2 x 9 上的切点为 x2 y2 3 1 15 4 则该切线的斜率为k x3 1 x1 1 根据导数的几何意义 知 k 3x lim x 0 y x lim x 0 x1 x 3 x3 1 x2 1 所以 3x 解得x1 或x1 0 x3 1 x1 12 1 3 2 1 当x1 0 时 k 0 切线方程为y 0 则y ax2 x 9 与x轴只有一个交点 即 15 4 2 36a 0 解得a 15 4 25 64 4 2 x1 时 k 切线方程为y x 1 3 2 27 4 27 4 又k y2 x